微积分(数学分析)练习题及答案

统计专业和数学专业数学分练习题 计算题
1. 试求极限
.4
2lim
)0,0(),(xy
xy y x +-→
2. 试求极限.)()
cos(1lim 222222)
0,0(),(y x y x e
y x y x ++-→
3. 试求极限.1
sin 1sin )(lim )0,0(),(y
x y x y x +→
4. 试讨论.lim 4
22
)0,0(),(y x xy y x +→
5. 试求极限
.1
1lim
2
2
22)
0,0(),(-+++→y x y x y x
6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求.,y
u x u ∂∂∂∂ 7. ,arctan xy z =,x
e y = 求
.dx
dz 8. 求抛物面2
22y x z +=在点)3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程.
9. 求5362),(2
2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.
10. 求函数)2(),(2
2y y x e y x f x
++=的极值.
11. 表达隐函数的定义.
12. 表达隐函数存在唯一性定理的容. 13. 表达隐函数可微性定理的容.
14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线
所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程
在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数23
(,,)f x y z xy z =, 方程
2223x y z xyz ++=.
(1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; (2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18. 讨论方程组
在点)2,1,1,2(0P 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。

19. 设方程组 问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定,u v 是,x y 的可微函数? (2)由方程组可以唯一确定,u x 是,v y 的可微函数?
20. 求球面502
2
2
=++z y x 与锥面2
2
2
z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与
法平面方程。

21. 求曲面3z
e z xy -+=在点0(2,1,0)M 处的切平面与法线方程.
22. 抛物面z y x =+2
2
被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最
短距离.
23. 表达含参量x 的正常积分定义.
24. 表达含参量x 的正常积分的连续性定理的容. 25. 表达含参量x 的无穷限反常积分定义.
26. 表达含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27. 表达含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准那么. 28. 表达含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法. 29. 表达含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法. 30. 表达含参量反常积分的可积性定理容. 31. 求).0(ln 1
>>-=
⎰
a b dx x
x x I a
b 32. 计算积分 1
1sin ln (0,0)ln b a
x x
dx a b x x
-⎛⎫>> ⎪
⎝⎭⎰. 33. 计算 并由此计算
34. 利用公式
2
2
x e dx +∞
-=
⎰
, 计算
2
()cos x r e rxdx ϕ+∞
-=⎰.
35. 利用可微性计算关于参数a 的含参量反常积分
sin ()(0,0)kx
k ax
I a e dx k a x
+∞
-=>≥⎰. 并由此计算 36. 计算⎰L ds y ||，其中L 为单位圆周122
=+y x
.
37.计算
⎰-+-++L
dz x z dy z y dx y x )()()(，其中L 为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
38.求积分()()()
3
4
4
3
2
,5254sin C B A x y dx x y x y dy -+-+⎰,其中曲线(),C A B 与x 轴围成的
面积为S .
39.求()2332
1323413C x y y x dx x xy x dy ⎛⎫++++++ ⎪⎝
⎭⎰,其中2222:1x y C a b +=.
40.求全微分dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(2
2
2
+++++的原函数.
41.求(),D
x y dxdy +⎰⎰
其中D 由2
,y x y x ==围成. 42.求
()2
22V
x
y z dxdydz ++⎰⎰⎰,其中V 由222z x y =+,()22220x y z R z ++=≥所围成的
有界闭区域.
43.求2
x y x y a b a b
⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭()0,0a b >>与0y =所围成区域D 的面积.
44.求2
2222sin D
x y dxdy a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰,其中D 是22221x y a b +≤. 45.求V zdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 由()()2
22221,403
z x y x y z z =
+++=≥所围成的有界闭区域. 46.求S
zd σ⎰⎰
,其中()2222
:0S x y z a h z a ++=<<<. 47.求
S
zdxdy ⎰⎰
,S 是2222
(0,0)x y z a x y ++=≥≥,取球面的外侧为正侧. 48.设()f u 具有连续导数,求
2232
3312sin S y y y x dydz f y dzdx f z dxdy z z y z ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 其中S 为()22222222222
,,0y x z y x z a y x z b a b +=++=++=<<所围立体的外表的
外侧. 49.求
3323111sin cos 2333x y S x z dydz y x dzdx z e dxdy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰,其中S 是(){}
2
222,,V x y z x
y z a =
++≤的外表,取外侧为正侧()0a >.
50.计算积分⎰⎰++=S
dxdy zx dzdx yz dydz xy I 2
2
2
，其中S
是椭球面122
2222=++c z b y a x 的
外侧. 1. 试求极限.4
2lim
)0
,0(),(xy xy y x +-→
解
(,)(0,0)(,)lim
lim
x y x y →→=(,)1lim 4x y →==.
2. 试求极限.)()
cos(1lim 222222)
0,0(),(y x y x e
y x y x ++-→
解 由
2222
22
2
22222222(,)(0,0)(,)(0,0)2
2sin
1cos()2lim lim ()4()2x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→+-++=•++1002=⨯=.
3. 试求极限.1
sin 1sin )(lim )0,0(),(y
x y x y x +→
解 由于
(,)(0,0)(,)(0,0)111111lim ()sin sin lim (sin sin sin sin )x y x y x y x y x y x y x y →→+=+,
又2
y x =,
所以
(,)(0,0)11lim
sin sin 0x y x x y →=，(,)(0,0)11lim sin sin 0
x y y x y →=, 所以
(,)(0,0)11lim ()sin sin 0x y x y x y →+=.
4. 试讨论.lim 4
22
)0,0(),(y x xy y x +→
解 当点),(y x 沿直线x y =趋于原点时，
23
2424
000
lim lim 0x x y x xy x x y x x →→=→==++.
当点),(y x 沿抛物线线2
y x =趋于原点时，
2
242444000
1lim lim 2y y x y xy y x y y y →→=→==++.
因为二者不等，所以极限不存在. 5. 试求极限.1
1lim
2
2
22)
0,0(),(-+++→y x y x y x
解 由
=(,)(0,0)
lim 1)2
x y →=.
6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求.,y
u x u ∂∂∂∂ 解令,,xy w y x v =+= 那么
7. ,arctan xy z =,x
e y = 求
.dx
dz 解 由
2221(1)()1()1x x x
x x e x e xe xe x e +=+=++.
8. 求抛物面2
22y x z +=在点)3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程。

解 由于
4,
2x y z x z y ==,
在)3,1,1(M 处,4)3,1,1(=x z 2)3,1,1(=y z ，
所以, 切平面方程为
4(1)2(1)3x y z -+-=-.
即
法线方程为
113
421x y z ---==-.
9. 求5362),(2
2
+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.
解 由
(,)2,
(1,2)2yy yy f x y f =--=-.
得
22(,)52(1)(1)(2)(2)f x y x x y y =+---+-+.
10. 求函数)2(),(2
2y y x e y x f x
++=的极值. 解 由于
解得驻点)1,1(--，222222(22),(22),
2x x xx x xy x
yy f e x y y e f e y f e =++++=+=
所以)1,1(--是极小值点,极小值为.2)1,1(2
--=--e f
11. 表达隐函数的定义.
答: 设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯ 对于方程0),(=y x F , 假设存在集合
X I ⊂与Y J ⊂，使得对于任何I x ∈，恒有唯一确定的J y ∈，使得(,)x y 满足方程
0),(=y x F ,那么称由方程0),(=y x F 确定了一个定义在I 上，值域含于J 的隐函数。

一
般可记为)(x f y =.,J y I x ∈∈ 且成立恒等式 12. 表达隐函数存在唯一性定理的容. 答: 假设(,)F x y 满足以下条件:
〔i 〕函数F 在以0P ),(00y x 为点的某一区域2
R D ⊂上连续;
〔ii 〕0),(00=y x F 〔通常称为初始条件〕; 〔iii 〕在D 存在连续的偏导数()y x F y ,; 〔iv 〕()00,y x F y ≠0,
那么在点0P 的某邻域D P U ⊂)(0，方程()y x F ,=0唯一地确定了一个定义在某区间
),(00αα+-x x 的函数〔隐函数〕)(x f y =，使得
1º()00y x f =,),(00αα+-∈x x x 时)())(,(0P U x f x ∈且()0)(,≡x f x F ； 2°()x f 在),(00αα+-x x 连续. 13. 表达隐函数可微性定理的容. 答: 假设(,)F x y 满足以下条件:
〔i 〕函数F 在以0P ),(00y x 为点的某一区域2R D ⊂上连续; 〔ii 〕0),(00=y x F 〔通常称为初始条件〕; 〔iii 〕在D 存在连续的偏导数()y x F y ,; 〔iv 〕()00,y x F y ≠0,
又设在D 还存在连续的偏导数),(y x F x ，那么由方程0),(=y x F 所确定的隐函数在
)(x f y =在其定义域),(00αα+-x x 有连续导函数，且
14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答: 设)(x f y =在0x 的某邻域有连续的导函数'()f x ，且00)(y x f =; 考虑方程 由于
0),(00=y x F , 1=y F , 000(,)'(),x F x y f x =-
所以只要0'()0f x ≠，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程(,)()0F x y y f x =-=能确定出在0y 的某邻域)(0y U 的连续可微隐函数)(y g x =，并称它为函数)(x f y =的反函数.反函数的导数是
15. 解: 显然axy y x y x F 3),(3
3
-+=及y x F F ,在平面上任一点都连续，由隐函数定理知
道，在使得()()
03,2
≠-=ax y y x F y 的点()y x ,附近，方程033
3
=-+axy y x 都能确定隐
函数)(x f y =；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于x 的导数〔其中y 是x 的函数〕并以3除之，得
22''0x y y ay axy +--=,
或
()()2
2'0.x
ay y ax y -+-= 〔1〕
于是
2
2'.ay x y y ax
-=-().02≠-ax y 〔2〕
再对〔1〕式求导，得：2
2'(2')'()''0,x ay yy a y y ax y -+-+-= 即
22''()2'2'2.y y ax ay yy x -=-- 〔3〕
把〔2〕式代入〔3〕式的右边，得 再利用方程就得到
16. 解: 由于z y x z F F F F F F ,,,,01)0,0,0(,0)0,0,0(≠-==处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点)0,0,0(附近能惟一确定连续可微得隐函数),(y x f z =，且可求得它得偏导数如下：
17. 解: (1)令2
2
2
(,,)3F x y z x y z xyz =++-, 那么有
23,23,23 x y z F x yz F y xz F z xy =-=-=-.
由于0()0,,, x y z F P F F F =均连续,且
00()()10y z F P F P ==-≠,
故在点0(1,1,1)P 附近由上述方程能确定隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =. (2)当0y F ≠时, 由定理知
2323x x y F x yz y F y xz
-=-
=--; 同理, 当0z F ≠时, 由定理知
2323x x z F x yz z F z xy
-=-
=--. 于是求得
并且有
(1,(1,1),1)1x f y =-, (1,1,(1,1))2x f z =-.
18. 解: 首先，,0)()(00==p G P F 即0P 满足初始条件. 再求出F ，G 的所有一阶偏导数
容易验算，在点0P 处的所有六个雅可比行列式中只有
因此，只有,x v 难以肯定能否作为以,y u 为自变量的隐函数. 除此之外，在0P 的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.
如果我们想求得),(),,(v u y y v u x x ==的偏导数，只需对方程组分别关于v u ,求偏导数，得到
⎩⎨
⎧=---=--,
01,
022u u u u xy yx y xx u 〔1〕 ⎩
⎨
⎧=--=--.01,
022v v v v yx xy y xx v 〔2〕 由〔1〕解出
由〔2〕解出 19. 解: 设
2222(,,,)1F x y u v u v x y =+++-,
(,,,)G x y u v u v xy =-+.
(1),F G 关于v u ,的雅可比行列式是
22(,)2()11(,)
u v
F G u v u v ∂==-+-∂, 当u v ≠-时, 在满足方程组的任何一点(,,,)x y u v 的一个邻域, 由方程组可以唯一确定,u v 是,x y 的可微函数;
(2),F G 关于,x u 的雅可比行列式是
22(,)2()1(,)
x u F G x uy y x u ∂==-∂, 当x uy ≠时, 在满足方程组的任何一点(,,,)x y u v 的一个邻域, 由方程组可以唯一确定,x u 是,y v 的可微函数.
20. 解: 设 50),,(222-++=z y x z y x F ，222),,(z y x z y x G -+=. 它们在)5 ,4 ,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：
和
160),(),(-=∂∂z y G F ， (,)120(,)
F G z x ∂=∂， 0),()
,(=∂∂y x G F .
所以曲线在)5 ,4 ,3(处的切线方程为：
5
12041603-=
-=--z y x ， 即
法平面方程为
0)5(0)4(3)3(4=-+-+--z y x ，
即
034=-y x .
21. 解: 令(,,)3z
F x y z e z xy =-+-, 那么
(,,),(,,),(,,)1 z x y z F x y z y F x y z x F x y z e ===-,
故0
1,2,0 x
y
z
M M M F F F ===, 因此曲面在点0(2,1,0)M 处的法向量为
(1,2,0)n =,
所求切平面方程为
1(2)2(1)0x y ⋅-+⋅-=,
即
240x y +-=.
法线方程为 即
22. 解: 这个问题实质上就是要求函数
222),,(z y x z y x f ++=〔空间点(,,)x y z 到原点(0,0,0)的距离函数的平方〕
在条件02
2
=-+z y x 及01=-++z y x 下的最大、最小值问题. 应用拉格朗
日乘数法，令
()()22222(,,,,)1L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-.
对L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，那么有 求得这方程组的解为 与 .32,2
3
1 =±-=
=z y x 〔1〕 〔1〕就是拉格朗日函数),,,,(μλz y x L 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于
所求问题存在最大值与最小值〔因为函数在有界闭集{}
1,),,(22=++=+z y x z y x z y x 上连续，从而必存在最大值与最小值〕，故由
所求得的两个值359 ，正是该椭圆到原点的最长距离359+与最短距离359-. 23. 表达含参量x 的正常积分定义. 答: 用积分形式所定义的这两个函数
[].,,),()(⎰∈=d
c
b a x dy y x f x I 〔1〕
与 [].,,),()()
()
(⎰
∈=
x d x c b a x dy y x f x F , 〔2〕
通称为定义在[]b a ,上含参量x 的〔正常〕积分，或简称含参量积分.
〔1〕式的意义如下：设),(y x f 是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上的二元函数。

当
x 取[]b a ,上某定值时，函数),(y x f 那么是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘假设
这时),(y x f 在[]d c ,可积，那么其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为)(x I ，就有
[].,,),()(⎰∈=d
c
b a x dy y x f x I .
〔2〕式的意义如下：一般地，设
),(y x f 为定义在区域
{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上的二元函数，其中)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上的
连续函数，假设对于[]b a ,上每一固定的x 值，),(y x f 作为y 的函数在闭区间[])(),(x d x c 上可积，那么其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记作)(x F 时，就有
[].,,),()()
()
(⎰
∈=x d x c b a x dy y x f x F
24. 表达含参量x 的正常积分的连续性定理的容.
答: 设二元函数),(y x f 在区域
上连续，其中)(),(x d x c 为[]b a ,上的连续函数，那么函数
⎰
=)
()
(),()(x d x c dy y x f x F 〔6〕
在[]b a ,上连续.
25. 表达含参量x 的无穷限反常积分定义.
答: 设二元函数),(y x f 定义在无界区域{}
(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，假设对于[]b a ,上每一固定的x 值，反常积分
(,)c
f x y dy +∞
⎰
(1)
都收敛, 那么它的值是x 在[]b a ,上取值的函数, 当记这个函数为()I x 时, 那么有
[]()(,),, c
I x f x y dy x a b +∞
=∈⎰
,
称(1)式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分, 或简称含参量反常积分. 26. 表达含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛性定义. 答: 假设含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
⎰
与函数()(,)c
I x f x y dy +∞
=⎰
对任给的正数ε，总存
在某一实数,c N >使得当N M >时，对一切[]b a x ,∈，都有 即
那么称含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
⎰
在[]b a ,上一致收敛于)(x I ，或简单地说含参量积分
(,)c
f x y dy +∞
⎰
在[]b a ,上一致收敛.
27. 表达含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准那么. 答: 含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
⎰
在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存
在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切[]b a x ,∈，都有
2
1
(,)A A f x y dy ε<⎰
.
28. 表达含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
答: 设
)(i 对一切实数N>c ，含参量正常积分⎰N
c
dy y x f ),(对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存
在正数M ，对一切N>c 及一切∈x []b a ,，都有
)(ii 对每一个∈x []b a ,，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量
),(,y x g x 一致地收敛于0.
那么含参量反常积分 在[]b a ,上一致收敛．
29. 表达含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法. 答: 设
)
(i ⎰
+∞
c
dy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛；
)(ii 对每一个[]b a x ,∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量x ，),(y x g 在[]b a ,上
一致有界，那么含参量反常积分 在[]b a ,上一致收敛。

30. 表达含参量反常积分的可积性定理容.
答: 设),(y x f 在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，假设⎰
+∞
=c
dy y x f x I ),()(在[]b a ,上一致收
敛，那么)(x I 在[]b a ,上可积，且
设),(y x f 在[)[)+∞⨯+∞,,c a 上连续.假设
)
(i ⎰
+∞
a
dx y x f ),(关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，⎰
+∞
c
dy y x f ),(
关于x 在任何区间[]b a ,上一致收敛；
)(ii 积分⎰
⎰⎰
⎰+∞
+∞+∞
+∞a
c
c
a
dx y x f dy dy y x f dx ),(),(与 〔18〕
中有一个收敛，
那么〔18〕中另一个积分也收敛，且 31. 解: 因为
,ln x
x x dy x a
b b
a
y
-=⎰
所以⎰⎰=b a y dy x dx I .10 由于函数y x 在[][]b a R ,1,0⨯=上
满足定理6.19的条件，所以交换积分顺序得到
32. 解: 因为
01lim sin ln 0ln b a
x x x x x
+
→-⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以该积分是正常积分. 交换积分次序, 得
()
1
1100
111sin ln sin ln sin ln ln b a
b
b y y a
a
x x I dx x dy dx x dx dy x x x x -⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰
⎰⎰.
在上面的层积分中作变换1
ln
u x
=,有 1
(1)20011sin ln sin 1(1)y y u
x dx e udu x y +∞-+⎛⎫== ⎪++⎝⎭
⎰⎰, 于是
12011sin ln arctan(1)arctan(1)1(1)b
b y a a I x dx dy dy b a x y ⎡⎤
⎛⎫===+-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣
⎦⎰⎰⎰.
解法二: 取b 为参量, 利用积分号下求导数的方法,有
积分上式,可得
由于()0I a =,即有arctan(1)c a =-+,于是有
()arctan(1)arctan(1)I I b b a ==+-+.
33. 解: 因为
⎰=-b a xydy x
ax
bx cos sin sin ，所以 ⎰⎰+∞
-=0
cos b
a
px xydy e dx 〔21〕
由于px px e xy e --≤cos 及反常积分⎰
+∞
-0
dx e px 收敛，根据尔斯特拉斯M 判别法，含参量反
常积分
在[]b a ,上一致收敛.由于xy e
px
cos -在[][b a ,),0⨯+∞上连续，根据定理19.11交换积分〔21〕
的顺序，积分I 的值不变.于是
在上述证明中，令0=b ，那么有
sin ()arctan (0)px
ax a
F p e dx p x p
+∞
-==>⎰, (22) 由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在0≥p 上一致收敛.于是由定理19.9，)(p F 在
0≥p 上连续，且
又由〔22〕式
在上式中，令1a =，那么有2
I π=.
34. 解: 由于2
2
cos x x e rx e
--≤对任一实数r 成立及反常积分⎰+∞
-0
2
x e 收敛①，所以原积分在
()+∞∞-∈,r 上收敛.
考察含参量反常积分
(
)
2
2
'
cos sin x x r
e
rx dx xe rxdx +∞
+∞
--=-⎰
⎰, (24)
由于2
2
sin x x xe rx xe
--≤-对一切+∞<<-∞≥r x ,0成立及反常积分⎰+∞
-0
2
dx xe x 收敛，
根据尔斯特拉斯M 判别法，含参量积分〔24〕在()+∞∞-,上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得
于是有
()2
ln ln 4
r r c ϕ=-+,
()24
r r ce
ϕ-
=.
从而()c =0ϕ，又由原积分，()2
00
2
π
ϕ=
=
⎰
∞
+-dx e x ，所以2
π
=
c ，因此得到
35. 解: 把含参数a 的反常积分
sin ()(0,0)kx
k ax
I a e dx k a x
+∞
-=>≥⎰. 中的被积函数关于a 求偏导数, 可得
cos kx e axdx +∞
-⎰
,
当0k >时, 有
cos kx kx e xy e --≤,
因此,由M 判别法,0
cos kx e axdx +∞
-⎰
关于参量0a ≥是一致收敛的,因此对()k I a 可以在积分
号下求导,即
2
2
0()cos kx k d k
I a e axdx da a k +∞-==+⎰. 因为(0)0k I =,所以
1
220
1()arctan a
k k a
I a da a k k
==+⎰
. 于是
000sin sin ()lim lim arctan 2
kx k k ax ax a I a dx e dx x x k π+++∞
+∞-→→====⎰
⎰. 令1a =,有0
sin 2
x I dx x π
+∞
==⎰
. 36.解：
||L
y ds ⎰
θθθθπ
d 2220
cos sin |sin |+=⎰4sin 20
==⎰π
θθd .
37.解： 直线段的参数方程是：
1032≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧===t t z t y t
x ， 于是，
⎰
-+-++L
dz x z dy z y dx y x )()()(⎰-+-++=1
)]3(3)32(2)2[(dt t t t t t t
2
771
=
=⎰tdt . 38.解:原式(),C B A AB
AB
Pdx Qdy Pdx Qdy →
→
+=
+-
+⎰
⎰y
39.解:
()2332
1333C x y y dx x xy dy ⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭⎰ ()()2222334334
D
D
x y x y dx dx ⎡⎤=++-+==⎣⎦⎰⎰⎰⎰40.解： 由于
x yz dx z xy x z z y y x d )2()2()(22222+++=++，因此，全微分
dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(222+++++的原函数是C x z z y y x +++222.
41.解:(Ⅰ).画出积分区域 (Ⅱ).()
D
x y +⎰⎰.
42.解:
(2
2
V
x y +⎰⎰⎰ 2
4 0
d π
π
θ=⋅⎰
⎰. 43.解:y v
(Ⅰ). 由2
x y a b ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭于是2
4B AC ∆=-0,得
0,x x a ==.故x a ⎛ ⎝
(
Ⅱ).令,.x y u a b x y v a b
⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ,
那么()(
),2.
2a x u v b y u v ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故 ()(
),22,222
x x a
a
x y ab u v
y y b b u v u v ∂∂∂∂∂=
==-
∂∂∂-∂∂. (Ⅲ).
''22D D D ab ab S dxdy dudv dudv ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2 1
12
0 02212u u ab ab ab du dv u u
du =⋅=-
=⎰⎰⎰. 44.解:222
22sin D
x y dxdy a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 2 122
sin d r rdr πθ
=⋅⎰⎰
1
2
2
2
0sin r dr π=⎰2 1
2 01cos 22r dr π-=⎰1
22011sin 224r r π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦4
π=.
45.解:
V zdxdydz ⎰⎰⎰2
2 0
3
r d z rdz π
θ=⋅⎰
⎰
⎰
2 22 0
3
12r
d z dr πθ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
5 23
0 01429r d r r dr πθ⎫=--⎪⎝
⎭⎰⎰.
624 01113
2224544r r r ππ⎡⎤=⋅--=⎢⎥⎣
⎦. 46.解：因为z =,故x y z z ''====.
于是
1xy
S D d z σ=⎰⎰()22xy D adxdy a a h π==-⎰⎰. 47.解：S 是2
2
2
2
(0,0)x y z a x y ++=≥≥分解为两局部:
()22221:0,0,0S x y z a x y z ++=≥≥≥, ()22222:0,0,0S x y z a x y z ++=≥≥≤.
故
S
zdxdy ⎰⎰1
2
S S zdxdy zdxdy =+⎰⎰⎰⎰
2xy
D =
3
2
16
a
d a π
ϕπ==
⎰⎰. 48.解：原式=222222
2122333V y y y y x f y f z dxdydz z z z y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰
4
4
6sin b
a
d r dr π
πϕϕ=⎰
⎰44
6125b a π⎛-=- ⎝⎭
. 49.解:(Ⅰ).画出积分区域 (Ⅱ).原式=
()222
V
x y z dxdydz ++⎰⎰⎰ 2 22 0
.sin a
d d r r dr π
πθϕϕ=⎰⎰⎰5
45
a π=
. 50.解：由Gauss 公式，得⎰⎰⎰⎰⎰++=++=V
S
dV z y x dxdy zx dzdx yz dydz xy I )(2
22222，由广义
球坐标变换 ⎪⎩
⎪⎨⎧===ϕθϕθ
ϕcos sin sin cos sin cr z br y ar x , ϕθϕsin ),,(2
abcr r J =，得。