北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．复数 z 满足() 11z z i -=+，则 z 的值是（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ． i
D ．i -
2．若202031i i
z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知复数z 满足121i
z i i
+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )
A ．1
B ．2
C D 4．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ）
A 1
B 1
C 1
D 1
5．若复数1a i
a i
-+为纯虚数，则实数的值为 A ．i
B ．0
C ．1
D ．－1
6．已知复数i z x y =+（,x y ∈R ）满足|2|z -=，则y
x
的最大值为（ ）
A ．
12
B C D 7．已知复数1z ，2z 满足12121z z z z -=-，则有（ ） A ．10z <且21z < B ．11z <或21z < C ．11z =且21z =
D ．11z =或21z =
8．已知2
(1i)=1i z
(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）
A ．1i --
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i +
9．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围
是（ ） A ．(,1)-∞ B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2,
(1,)3⎛
⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
10．已知复数z 满足21i
z i
=+，那么z 的虚部为（ ） A ．1
B ．-i
C ．1-
D ．i
11．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )
A ．1
B ．2
C D ．3
12．在复平面内，复数3i
12i
+在复平面中对应的点在 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题
13．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.
14．已知复数z 在复平面内对应点是()1
2-，，i 为虚数单位，则2
1
z z +=-_______. 15．若复数(2)
3i =2+i a b (,a b ∈R )，则
34a i b i
_________．
16_________． 17．若复数z 满足2018z i 34i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =_____________． 18．已知i 是虚数单位，则复数
1
1i
+所对应的点位于复平面内的第__________象限． 19．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 20．设m R ∈，复数22235(23)z m m m m i =--+--，当m =_________时，z 为纯虚数.
三、解答题
21．若关于x 的二次方程2
120x z x z m +++=的两根为α，β，满足αβ-= （1）若1z ，2z ，m 均是实数，且2
12416z z -=，求m 的值；
（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且2
1241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值．
22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.
23．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．
（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．
24．已知z 是复数，121z z ==，12z z +=12z z -.
25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．
26．当实数m 取何值时，复数22(56)(3)i z m m m m =-++- (Ⅰ)是纯虚数；
(Ⅱ)在复平面内表示的点位于直线20x y -=上．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由() 11z z i -=+，求出复数 z ，把 z 写出() ,a bi a b R +∈的形式，即求 z .
【详解】
()()()()2
2
2
1112 11,1111i i i i z z i z i i i i i
++++-=+∴====--+-， z i ∴=-.
故选： D . 【点睛】
本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.
2．A
解析：A 【分析】
化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】
()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.
故选：A . 【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
3．D
解析：D 【分析】
按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】
21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 1222(2)121i i
z i i z i z i i i i i
+-∴
⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，
12||z i z ∴=-+⇒==
故选：D 【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
4．A
解析：A 【分析】
由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】 因为21z i -=，
所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，
所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，
即min
111z i ++==， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】
分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 详解：不妨设
()1a i
ki k R i
-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+， 由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即1
1a k =⎧⎨=-⎩
， 即实数a 的值为1. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．D
解析：D 【分析】
根据复数的几何意义求出复数i z x y =+的轨迹方程再根据
y
x
的几何意义求解即可.
因为|2|3z -=,故()23x yi -+=,即()2
223x y -+=.又
y
x
的几何意义为(),x y 到()0,0的斜率.故当过原点的直线与()2
223x y -+=切于第一象限时
y
x
取得最大值.此时设切线的倾斜角为θ则3
sin 2
θ=
,易得3πθ=.故y x 的最大值为tan 33π=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
利用2
z z z =⋅，结合2
212
121z z z z -=-，化简出2
2
22
121210z z z z +--=，通过分
解因式推出1z ，2z 中至少又一个值为1可得答案． 【详解】
由12121z z z z -=-，得
2
2
12121z z z z -=-，即(
)()()()12
121212
11z z z z z z z z --=--，
∴()()()()1
2
1
2
12
12
11z z z z z z z z --=--，
∴22
22
1121221212121z z z z z z z z z z z z --+=--+．
∴2
2
2
2
121210z z z z +--=，
即(
)(
)
2
2
121
10z z --=．
得211z =或2
2
1z =．
∴11z =或21z =．
【点睛】
本题考查了复数的模的运算性质：2
z z z =⋅，对已知等式12121z z z z -=-两边平方后，利用运算性变形是解题关键，属于中档题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，复数满足2
(1)=1i i z
，即221(1)2=11111i i i i
z
i i i
i i
，
所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
9．B
解析：B 【分析】
根据复数的几何意义建立不等式关系即可. 【详解】
(3)(2)(32)(1)z m i i m m i =+-+=-+-，
若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则32010
m m -<⎧⎨
-<⎩，解得2
3m <，
所以m 的取值范围是2(,)3
-∞， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.
10．A
解析：A 【分析】
根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部. 【详解】 因为22(1)112
i i i z i i -=
==++，所以虚部为1，故选A.
本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.
11．D
解析：D 【解析】
因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.
12．A
解析：A 【解析】
复数()()()3123631212125i i i i i i i ⨯-+==++-，它在复平面内对应的点的坐标为63,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故对应的点在第一象限 故选A
二、填空题
13．【分析】首先求出一元二次方程的虚根进一步因式分解求出结果【详解】解：首先求出的虚根为：所以：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用主要考查学生的运算能力和转化能力属于
解析：3x x ⎛- ⎝⎭⎝⎭
【分析】
首先求出一元二次方程的虚根，进一步因式分解求出结果． 【详解】
解：首先求出23640x x -+=的虚根为：12x x =
=
所以：2
3643x x x x ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭
，
故答案为：3x x ⎛- ⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
14．【分析】写出对应的复数利用复数的除法运算化简所求表达式由此得出正确结论【详解】依题意故原式【点睛】本小题主要考查复数除法运算考查复数对应的点的坐标属于基础题
解析：3
12
i +
【分析】
写出z 对应的复数，利用复数的除法运算化简所求表达式，由此得出正确结论. 【详解】
依题意12z i =-，故原式()()()()
32232463
122242i i i i i i i i --+====+--. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的点的坐标，属于基础题.
15．【解析】【分析】由复数相等的充要条件求得进而利用复数的化简即可求解【详解】由题意复数满足所以解得所以复数【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的运算其中解答中熟记复数相等的条件和复数的四则运算 解析：i -
【解析】 【分析】
由复数相等的充要条件，求得4,3a b ==，进而利用复数的化简4334i
i
，即可求解． 【详解】
由题意，复数满足(2)
3i =2+i a
b ，所以22
3
a b -=⎧⎨=⎩，解得4,3a b ==，
所以复数
4334343254343
43425
i i a
i i i
i b
i i
i
i
．
【点睛】
本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的运算，其中解答中熟记复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
16．【解析】【分析】先对分母进行化简然后再用复数的除法进行运算【详解】【点睛】本题主要考查复数的乘与除两方面的运算知识需注意公式的准确使用
解析：
14--
【解析】 【分析】
先对分母)2
i +进行化简，然后再用复数的除法进行运算。

【详解】
2
114i
=====-
． 【点睛】
本题主要考查复数的乘与除两方面的运算知识，需注意公式的准确使用。

17．5【解析】
解析：5 【解析】
2018201820182018i 34i |i ||34i ||||i |5|||i |5||5z z z z z ⋅=+⇒⋅=+⇒⋅=⇒⋅=⇒=．
18．四【解析】复数该复数对应的点为在第四象限故答案为四
解析：四 【解析】
复数()1111 11(1)22i i i i i -==-++-，该复数对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
在第四象限，故答案为四. 19．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实
解析：5 【解析】
试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复
数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b ，模为22a b +，共轭为a bi -
20．【解析】∵z 为纯虚数∴且解得：m=点睛：对于复数当且仅当b=0时复数a+bi(ab ∈R)是实数a ；当b≠0时复数z=a+bi 叫做虚数；当a=0且b≠0时z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时z 就是
解析：52
【解析】
∵z 为纯虚数，∴22350m m --=且2230m m --≠，解得：m=
52
. 点睛：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0
三、解答题
21．（1）3m =-；（2）7，最小值为7 【分析】
（1）先由题意，根据根与系数关系得到1α
β
z ，2
αβz m ，求出
12284()2+-=z z m ，再由题意，得出42816+=m ，即可得出结果；
（2）先由题意设m
a bi ，（,a
b ∈R ），得到
[]212444(4)(5)--=-+-z z m a b i ，再结合题中条件，得到222(4)(5)7-+-=a b ，将
复数模的问题，转化为圆上的点到与定点的距离问题，进而可求出结果. 【详解】
（1）因为1z ，2z ，m 均是实数，关于x 的二次方程2
120x z x z m +++=的两根为α，
β
，
所以1αβ
z ，2αβz m ，
又αβ-=()2
428αβαβ=-+，即122
84()2+-=z z m ， 即1228442=+-z z m ，又2
12416z z -=，所以42816+=m ，解得：3m =-；
（2）因为1z ，2z ，m 均是复数，设m
a bi ，（,a
b ∈R ），
则[]2
12441620444(4)(5)--=+--=-+-z z m i a bi a b i ，
由αβ-=2
28αβ
-=，即()2
428αβαβ+-=，
所以122
8442-=-z z m ，即(4)(5)7-+-=a b i ， 所以2
2
2
(4)(5)7-+-=a b ，
即复数m 对应的点(,)a b 在圆222
(4)(5)7-+-=a b 上，
77=，最小值为：
77=
因此=m 的最大值为7，最小值为7
【点睛】
本题主要考查根与系数关系的应用，以及复数模的计算，熟记复数的运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.
22．【解析】 【分析】
(1) 因为12x i =+是方程的根,代入方程化简即可求得p q 、的值,即可求得p q +的值; (2) 根据22p q +=，代入原式的系数化为q 的方程,由判别式的情况即可求得q 的取值范围,而两个根的乘积记为q ,即可求得q 的最大值. 【详解】
(1) 因为12x i =+是方程20x px q -+=的根
代入得()()2
12120i p i q +-++=
化简可得()3420q p p i --+-= 则30420q p p --=⎧⎨-=⎩
解方程求得25p q =⎧⎨=⎩ 所以7p q +=
(2) 因为22p q +=，则22p q =-
所以原方程可化为()2
220x q x q --+= 由韦达定理可知方程的两个根之积为q
判别式()()
22224431q q q q --=-∆+= 当0∆≥时,方程有两个实数根,所以()24310q q -+≥
解不等式可得q ≥q ≤当∆<0时,方程有两个互为共轭复数的复数根
当 32q -+≥时不存在最大值,当32q -≤
综上可知q 的最大值为
32-- 【点睛】
本题考查一元二次方程的复数根的概念和运算,韦达定理的基本应用,属于基础题. 23．（1）4m =-；（2）1m =.
【解析】
试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果.
试题
（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，
∴ 2234224m m m m +-=--，
解得 4m =-.
（2）复数z 为纯虚数，
∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46
m m m m =-=≠-≠或且 解得 1m =.
24．1
【分析】
画出12,z z 对应的图象，根据复数加法的几何意义确定12,OZ OZ 的夹角，由此确定12
z z -
的大小.
【详解】 由于121z z ==，故12,z z 对应的点12,Z Z 在单位圆上，根据123z z +=可知以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形为菱形，对角线相互垂直平分，且一条对角线长3OA =，而111OZ AZ ==,所以11π6
Z OA Z AO ∠=∠=，根据菱形的性质可知12OZ Z ∆是等边三角形，故1212121z z Z Z OZ OZ -====.
【点睛】
本小题主要考查复数的几何意义，考查复数加法和减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
25．242z i =+
【解析】
解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）
设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， （12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）
26．(Ⅰ) 2m =；(Ⅱ)3m =或2m =-.
【分析】
(Ⅰ)利用纯虚数的定义，列方程求解即可；(Ⅱ) 利用()
2256,3m m m m -+-在直线
20x y -=上，列方程求解即可.
【详解】
(Ⅰ) 因为复数22(56)(3)i z m m m m =-++-是纯虚数，
所以22560{30
m m m m -+=-≠， 解得2m =；
(Ⅱ)因为复平面内表示复数z 的点位于直线20x y -=上，
即()2256,3m m m m -+-在直线20x y -=上，
所以225626m m m m -+=-，
解得3m =或2m =-
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.。