高考数学试卷答案及解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 下列各式中，等式成立的是（）
A. \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
B. \( \sqrt{x^2} = |x| \)
C. \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
D. \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c \)
答案：B
解析：选项A是平方差公式，选项C是完全平方公式，选项D是比例的性质。

只有选项B中的根号和绝对值是等价的，所以选B。

2. 函数 \( y = \sqrt{2x - 1} \) 的定义域是（）
A. \( x \geq \frac{1}{2} \)
B. \( x < \frac{1}{2} \)
C. \( x > \frac{1}{2} \)
D. \( x \leq \frac{1}{2} \)
答案：A
解析：由于根号下的表达式必须大于等于0，所以 \( 2x - 1 \geq 0 \)，解得 \( x \geq \frac{1}{2} \)。

3. 已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的前n项和为 \( S_n = 2n^2 + n \)，则该数列的公差是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：A
解析：等差数列的前n项和公式为 \( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \)，代入 \( S_n = 2n^2 + n \) 解得 \( d = 2 \)。

4. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的单调递增区间是（）
A. \( (-\infty, -\sqrt{3}) \)
B. \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \)
C. \( (\sqrt{3}, +\infty) \)
D. \( (-\infty, \infty) \)
答案：C
解析：函数的导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) > 0 \) 解得
\( x > \sqrt{3} \) 或 \( x < -\sqrt{3} \)，所以单调递增区间是
\( (\sqrt{3}, +\infty) \)。

5. 已知向量 \( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (3, 4) \)，则 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 的值是（）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
答案：B
解析：向量的点积公式为 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \)，代入 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的坐标解得 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 7 \)。

（以下省略其余题目及答案解析，共计48题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

）
1. \( 2^3 \times 2^{-2} = \) __________
答案：2
解析：指数的乘法法则，\( 2^3 \times 2^{-2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2 \)。

2. 等差数列 \( \{a_n\} \) 的第10项是 \( a_{10} = 30 \)，公差 \( d = 2 \)，则第5项 \( a_5 \) 是 __________
答案：20
解析：等差数列的通项公式 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，代入 \( a_{10} = 30 \) 和 \( d = 2 \) 解得 \( a_5 = a_{10} - 5d = 30 - 10 = 20 \)。

3. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是 __________
答案：0
解析：函数 \( f(x) = (x - 2)^2 \)，最小值为0，当 \( x = 2 \) 时取得。

4. 已知 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，则 \( \cos \theta \) 的值是
__________
答案：\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
解析：由于 \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)，代入 \( \sin
\theta = \frac{1}{2} \) 解得 \( \cos \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)。

5. 二项式 \( (x + y)^4 \) 的展开式中，\( x^3y \) 的系数是 __________
答案：4
解析：二项式展开式的通项公式为 \( T_{r+1} = C_n^r x^{n-r} y^r \)，代
入 \( n = 4 \)，\( r = 1 \) 解得 \( C_4^1 = 4 \)。

6. 三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，则三角形ABC是 __________
答案：直角三角形
解析：根据勾股定理，若 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，则三角形ABC是直角三角形。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

）
（以下省略解答题及答案解析，共计6题）。