2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版选修2-1讲义：

(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若△ABC 有一内角为π
3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )
A ．与原命题同为假命题
B ．与原命题的否命题同为假命题
C ．与原命题的逆否命题同为假命题
D ．与原命题同为真命题
解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π
3
”，它是真命题．
2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.1
8 B ．－18
C ．8
D ．－8
解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ， ∴1
a ＝－8， ∴a ＝－1
8
.
3．下列说法中正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价
C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D. 4．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.5 32
B.212
C.
372
D.3 52
解析：选D 由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)． 又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0. ∴2n ＝5，n ＝5
2
.∴|a |＝
1＋4＋254＝3 52
.
5．双曲线x 2m －y 2
n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，
则mn 的值为( )
A.3
16 B.38 C.16
3
D.83
解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 故双曲线x 2m －y 2
n ＝1中，
m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝
c m ＝ m ＋n
m ＝2，②
联立方程①②，解得⎩⎨⎧
m ＝1
4，
n ＝3
4.
故mn ＝
3
16
. 6．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范
围为( )
A ．(1，5)
B ．(5，＋∞)
C ．(1， 5 ]
D ．[5，＋∞)
解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有b
a >2，
故e ＝c
a ＝a 2＋
b 2a ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2> 5.
7．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2
n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.
当α＝
2π
3
时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( ) A ．41 B ．15 C ．9
D ．1
解析：选B 由S △F 1PF 2＝1
2|F 1F 2|·y P ＝3y P ，
知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大． 此时∠F 1PF 2＝2π
3
，
得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15.
8．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角ABDC 的正弦值为( ) A.5
5
B.33
C.255
D.
63
解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC
＝1，
则A ⎝⎛⎭
⎫
0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D
⎝⎛⎭
⎫32，0，0.
∴＝⎝⎛
⎭⎫0，0，
32，＝⎝⎛⎭⎫0，1
2，
32，
＝
⎝⎛⎭
⎫32，12，0. 由于
＝⎝⎛⎭
⎫
0，0，
32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，
∴cos 〈n ，
〉＝
5
5
，∴sin 〈n ，〉＝255
.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分) 9．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足·
＝4，则动点
P 的轨迹方程是________．
解析：由
·
＝4得x ×1＋y ×2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.
答案：x ＋2y －4＝0
10．点F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 是准线，A 是抛物线在第一象限内的点，直线AF 的倾斜角为60°，AB ⊥l 于B ，△ABF 的面积为3，则p 的值为________，点A 坐标为________．
解析：设A (x ，y )，∵直线AF 的倾斜角为60°，∴y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p
2①，∵△ABF 的面积为3，∴12·⎝⎛⎭⎫x ＋p 2·y ＝3②，∵A 是抛物线在第一象限内的点，∴y 2
＝2px ③，∴由①②③可得p ＝1，x ＝3
2
，y ＝ 3.
答案：1 ⎝⎛⎭⎫32，3
11．已知P 为抛物线C ：y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线C 的焦点，其准线方程为____________，若准线与x 轴交于点N ，直线NP 与抛物线交于另一点Q ，且|PF |＝3|QF |，则点P 坐标为____________．
解析：∵y 2＝4x ，∴焦点坐标F (1,0)，准线方程x ＝－1.过P ，Q 分别作准线的射影分别为A ，B ，则由抛物线的定义可知：|PA |＝|PF |，|QF |＝|BQ |，∵|PF |＝3|QF |，∴|AP |＝3|QB |，即|AN |＝3|BN |，∴P ，Q 的纵坐标满足y P ＝3y Q ，设P ⎝⎛⎭⎫y 2
4，y ，y ≠0，则Q ⎝⎛⎭
⎫y 2
36，y 3，N (－1,0)，
∵N ，Q ，P 三点共线，∴y
y 24＋1＝y
3
y 236
＋1，解得y 2
＝12，∴y ＝±23，此时x ＝y 24＝12
4＝3，即
点P 的坐标为(3，±23)．
答案：x ＝－1 (3，±23)
12．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为________，
渐近线方程为________．
解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝3
2
，
所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 2
2＝1＋b 2a 2＝
1＋14＝5
4
，
所以e 2＝52.渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±1
2
x .
答案：
52 y ＝±1
2
x 13．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.
解析：由题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧
|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，
解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，
又由已知可得c
a ＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |2
2|F 2A |·|F 1F 2|
＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝1
4.
答案：1
4
14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分
别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．
解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°， AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12.∴e ＝c
a ＝2.
答案：2
15．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD
的
中点，则EF 与平面CDD 1C 1所成角的正弦值为________，EF 与AB 所成角的正切值为
________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
E (2,0,1)，
F (1,2,0)，
∴
＝(－1,2，－1)．
又平面CDD 1C 1的一个法向量为
＝(0,2,0)，cos 〈
〉＝
4 6×2＝63，故所求角的正弦值为6
3.EF 与AB 所成角为∠EFC ，tan
∠EFC ＝ 5.
答案：
6
3
5
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． 解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件， ∴P ＝S ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，m ＝9，
这样的m 不存在．
(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m
∴m ≤3.
综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．
17．(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABCA
1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)求二面角AA 1CB 的正切值大小．
解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AB ⊥AA 1.
在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°. 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ， ∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1， ∴AB ⊥A 1C .
(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD .
∵AB ⊥A 1C ，AD ∩AB ＝A ， ∴A 1C ⊥平面ABD ， ∴BD ⊥A 1C ，
∴∠ADB 为二面角AA 1CB 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，
AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3× 36＝62.
在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝6
3
， ∴二面角AA 1CB 的正切值为
63
. 法二：(1)证明：∵三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC . 在△ABC 中，
AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°. 由正弦定理得∠ACB ＝30°，
∴∠BAC ＝90°，
即AB ⊥AC .如图，建立空间直角坐标系，
则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)，
∴＝(1,0,0)，＝(0，3，－3)．
∵
·
＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0，∴AB ⊥A 1C .
(2)取m ＝＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量．
由(1)知：
＝(－1，3，0)，设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·＝0，
n ·
＝0，
∴⎩⎨⎧
－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，
∴x ＝3y ，y ＝z .令y ＝1，则n ＝(3，1,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n
|m |·|n |
＝
3×1＋1×0＋1×0
(3)2＋12＋12·12＋02＋0
2＝15
5， ∴sin 〈m ，n 〉＝ 1－⎝⎛⎭
⎫1552＝105，
∴tan 〈m ，n 〉＝
6
3
. ∴二面角AA 1CB 的正切值为
63
. 18．(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA
1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.
(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值．
解：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .
因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ， 所以AA 1⊥平面ABC .
(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4， 所以AB ⊥AC .
如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．
设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
n ·
＝0，n ·＝0.
即⎩
⎪⎨⎪
⎧
3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝16
25.
由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角， 所以二面角A
1BC 1B 1的余弦值为16
25
.
19.(本小题满分15分)如图所示，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝2CD ＝2，AD ＝3，PE ＝2BE .
(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ；
(2)若二面角PACE 的大小为45°，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PC ⊥AD ，
又CD ⊥AD ，PC ∩CD ＝C ，∴AD ⊥平面PCD ，
又AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PCD . (2)取AB 的中点F ，连接CF ，则CF ⊥AB ，
如图，以C 为坐标原点，CF 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设PC ＝a ，
则P (0,0，a )(a >0)， E
⎝⎛⎭⎫233
，－23，a 3，A (3，1,0)，
＝(3，1,0)，
＝(0,0，a )，
＝
⎝⎛⎭⎫233
，－23，a 3，
设m ＝(x ，y ，z )是平面PAC 的一个法向量，
则⎩⎨⎧
m ·
＝3x ＋y ＝0，m ·
＝az ＝0，
取x ＝1，得m ＝(1，－3，0)， 设平面EAC 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·＝3x 1＋y 1＝0，
n ·
＝233x 1－2
3y 1＋a 3
z 1＝0，
取x 1＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－43a ，
∵二面角PACE 的大小为45°， ∴cos 45°＝|cos 〈m ，n 〉|＝
|m·n ||m |·|n |
＝4
2
4＋48a 2
＝2
2， 解得a ＝23，此时n ＝(1，－3，－2)，
∴
＝(3，1，－23)，
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈
，n 〉|＝
|·n |
|
|·|n |＝434·22＝64.
∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为
64
.
20．(本小题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点
为(－2,0)，离心率为1
2
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线l 过点S (4,0)，与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P ′，P ′与Q 两点的连线交x 轴于点T ，当△PQT 的面积最大时，求直线l 的方程．
解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，e ＝c a ＝12，
可得c ＝1，b ＝a 2－c 2＝ 3. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋4，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2
＝12 得(4＋3m 2)y 2＋24my ＋36＝0，
则Δ＝(24m )2－144(4＋3m 2)＝144(m 2－4)>0， 即m 2>4.
又y 1＋y 2＝－24m 4＋3m 2，
y 1y 2＝
36
4＋3m 2
，
直线P ′Q 的方程为y ＝y 2＋y 1
x 2－x 1
(x －x 1)－y 1， 则x T ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝(my 1＋4)y 2＋(my 2＋4)y 1
y 1＋y 2
＝
2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)y 1＋y 2＝72m
－24m
＋4＝1，
则T (1,0)，故|ST |＝3， 所以S △PQT ＝S △SQT －S △SPT
＝32|y 1－y 2|＝32·(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝18m 2－44＋3m 2， 令t ＝m 2－4>0，
则S △PQT ＝
18t 3t 2
＋16
＝18
3t ＋16t ≤
18
2
3t ·16
t
＝334，
当且仅当t 2＝163，即m 2＝28
3，
即m ＝±221
3
时取到“＝”，
故所求直线l 的方程为3x ±221－12＝0.。