专题二 不等式恒成立、能成立问题(原卷版)

强化专题2 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．
【技巧目录】
一、“Δ”法解决恒成立问题
二、数形结合法解决恒成立问题
三、分离参数法解决恒成立问题
四、主参换位法解决恒成立问题
五、利用图象解决能成立问题
六、转化为函数的最值解决能成立问题
【例题详解】
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]2,0-
B ．(]2,0-
C ．()2,0-
D ．()(),20,-∞-⋃+∞
【小结】(1)如图①一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集
为R ⇔二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象恒在x 轴上方⇔y min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ<0.
(2)如图②一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象恒在x 轴下方⇔y max <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，Δ<0.
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．
【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x
轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 若不等式x 2+ax +1≥0在x ∈[－2，0）时恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．52
D ．3 【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知[]1,1a ∈-，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为___________.
【小结】转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．
五、利用图象解决能成立问题
例5 当1<x <2时，关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则实数m 的取值范围为________．
【小结】结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x ∈R ，使得4x ＋m x 2－2x ＋3
≥2成立，求实数m 的取值范围． 【小结】能成立问题可以转化为m >y min 或m <y max 的形式，从而求y 的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．
【过关训练】
1．若关于x 的不等式220mx x m ++>的解集是R ，则m 的取值范围是（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（0，1）
C ．（-1，1）
D ．[1，+∞）
2．若集合2{|10}A x ax ax =-+≤=∅，则实数a 的取值集合为（ ）
A ．{|04}a a <<
B ．{|04}a a ≤<
C ．{|04}a a <≤
D ．{|04}a a ≤≤
3．若R x ∈，210ax ax ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()4,0-
B ．(]4,0-
C ．[)4,0-
D ．[]4,0-
4．“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”的充要条件是（ ）
A ．12a -<<
B ．0<<3a
C ．13a <<
D ．35a <<
5．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1
C ．()(),01,-∞⋃+∞
D ．(][),01,-∞+∞
6．已知关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，则有（ ）
A ．4m ≤-
B ．3m ≥-
C ．30m -≤<
D ．40m -≤<
7．若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．[4,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．(,2]-∞
8．若两个正实数,x y 满足12+1=x y ，且不等式2
+32+<y x m m 有解，则实数m 的取值范围是（
）
A ．(4,1)-
B ．(1,4)-
C ．()(),41,-∞-+∞
D ．()(),14,-∞-⋃+∞
9．已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．4a C ．4a > D ．4a >-
10．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞
B ．(,2)-∞-
C ．(6,)-+∞
D ．(,6)-∞-
11．已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．(,2)-∞
D ．(2,)+∞
12．设函数2()2f x ax ax =--，若对任意的[1,3]x ∈，()22f x x a >--恒成立，则实数a 的取值范围为_____________.
13．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．
(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．
14．设2(1)2y ax a x a =+-+-， 若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；
19．设函数()21f x mx mx =--．
(1)若对于2,2x ，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围；
(2)若对于[]2,2m ∈-，()5f x m <-+恒成立，求x 的取值范围．
20．已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围．。