贵州省遵义航天高级中学2016-2017学年高二下学期第三次月考数学(理)试题含答案

2016～2017学年度第二学期第三次月考
高二数学（理）
卷Ⅰ（选择题共60分)
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。

）
1.设命题:0,ln
∀>>。

则p⌝为（）
p x x x
A. 0,ln
x x x
x x x
∀><
∀>≤ B. 0,ln
C。

000
0,ln
∃>>
x x x
∃>≤ D. 000
x x x
0,ln
2．复数i i-+21的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0。

5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率是（) A．0.6B．0.7C．0.8 D．0.9
4．直线y＝4x与曲线3x
y=在第一象限内围成的封闭图形的面积为（)
A．2 B．4 C．2错误! D．42
5．已知在某项射击测试中，规定每人射击3次，至少2次击中8环以上才能通过测试。

若某运动员每次射击击中8环以上的概率为3
2，且各次射击相互不影响，则该运动员通过测试的概率为（ ） A ．27
20 B ．94 C ．27
8 D ．
96
6.已知双曲线
112
42
2=-y x 的离心率为e ，抛
物线
2
my x =的焦点为)0,(e ，则实数m 的值为（ ） A 。

4 B.4
1 C 。

8
D 。

8
1
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．163
B ．203
C ．152
D ．132
8．有6个座位连成一排，安排3个人就座,恰有两个空位相邻的不同安排方法共有（ )种？
A ．48
B ．72
C ．96
D ．120
9.若)1(x +8
822107)21(x a x a x a a x ++++=- ,则721a a a +++ 的值是（
)
A ．—2 B.-3 C 。

125 D 。

—131
10．过抛物线px y 22
=（p 〉0）的焦点
F 且倾斜角为120°的直线l 与抛
物线在第一象限与第四象限分别交于A ，B 两点，则错误!的值等于( )
A ．错误!
B ．错误!
C ．错误!
D ．错误!
11．当0>a 时，函数2
()(2)x f x x
ax e =-的图象大致是( )
12．已知实数b
a ,满足
225ln 0
a a
b --=,
c ∈R ,则
2
2)()(c b c a ++-的最小值为
（ )
A ．2
1
B ．
2
3 C ．2
23 D ．
29
卷Ⅱ（非选择题 共90分)
二．填空题（共4小题,每题5分，共20分。

) 13。

已知
)
3
1,4(~B ξ，并且33+=ξη,则方差)(ηD = .
14。

设圆O 1：0
222
=++x y x 与圆O 2：0
422
=-+y y x
相交于A ，B 两点，则弦
长｜AB ｜= 15。

已知过点)1,1(-M 的直线l 与椭圆1
342
2=+y x 相交于B A ,两点，若点M
是
AB
的中点,则直线l 的方程为 .
16。

数式⋅
⋅⋅+++
11111是一个确定值(数式中的省略号“…”表示按此规
律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得:令原式t =,则11t
t +=，
则2
10t
t --=，取正值得
51
t +=
=⋅⋅⋅+++222 。

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步.第17题10分,18——22题每题12分，共70分。

)
17。

在直角坐标系xOy中，直线l
的参数方程为
1
3
2
x t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩(t为参数）．以原
点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C
的极坐标方程为
ρθ
=．
（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标．
18.已知函数()bx
ax
x
x
f-
-
=2
33，其中b a,为实数。

（Ⅰ）若()x f在1=x处取得的极值为2，求b a,的值；
（Ⅱ)若()x f在区间[]2,1-上为减函数，且a
b9
=，求a的取值范围.
19．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利润分布如下表：
年利润 1.2万元 1。

0万元 0。

9万元
频数
20
60
40
对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在
每次抽查中，产品合格的概率均为31
,在一年之内要进行
2次独立的
抽查,在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表：
合格次数
2次 1次 0次 年利润 1。

3万元
1.1万元
0。

6万元
记随机变量Y X ,分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润.
（1）求Y X >的概率;
（2）
某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资
价值,并说明理由．
20。

如图，四棱锥ABCD P -的底面是直角梯形， CD
AB //，AD AB ⊥，
PAB
∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4=DC 。

（I ）求证： 平面PBD ⊥平面ABCD ； (II ）求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦
值。

21.已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于错误!，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4错误!。

直线
m kx y l +=:与y 轴交于点
P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．
(I)求椭圆E 的方程；
（II ）若PB AP 3=，求2
m 的取值范围．
22.已知函数1
()(0,0)x f x e a x ax =+
≠≠在
x=1处的切线与直线(1)20170
e x y --+=平行.
（Ⅰ）求a 的值并讨论函数)(x f y =在(,0)x ∈-∞上的单调性. （Ⅱ）若函数11
)()(++--
=m x x x f x g (m 为常数)有两个零点1212,()x x x x <。

求实数m 的取值范围；
求证:1
20x
x +<.
遵义航天高级中学2016——2017学年度第三次月考参考答案
高二数学（理科）
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意）
1——5：CDABA 6-—10：DDBCA 11——12：BD
二．
填空题（共4小题,每题5分，共20分。

）
13.
8 14.
5
5
4 15。

0743=--y x 16.
2
三、解答题（解答应写出文字说明,证明过程或演算步.第17题10分，18—-22题每题12分，共70分.) 17。

18。

解 （Ⅰ）由题设可知:
()01='f 且()21=f ,
即⎩⎨
⎧=--=--2
310
63b a b a ，解得.5,3
4-==b a （Ⅱ）()a
ax x b ax x
x f 9636322
--=--=' ， 又()x f 在[]2,1-上为减函数，
()x f '∴0
≤对[]2,1-∈x 恒成立, 即09632
≤--a ax x
对[]2,1-∈x 恒成立.
∴()01≤-'f 且f ()02≤， 即
1741
0912120963≥⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥⇒⎩⎨
⎧≤--≤-+a a a a a a a
∴a 的取值范围是.1≥a
19．解（1）Y X >的所有情况有：
272544323161)1.1,2.1(1
2==⨯⨯⨯=
==C y x P ，
94)32()6.0(22
2=
⨯==C y P ， 所以
27
1494272)(=+=
>Y X P 。

（2）随机变量X 的分布列为：
X 1.2
1.0
0.9
P
61
21
31
所以1)(=X E 万元 随机变量Y 的分布列为:
Y 1。

3 1.1
0。

6
P
91
94
94
所以9.0)(=Y E 万元
)
()(Y E X E > ,且Y X >的概率与Y X <的概率相当
所以从长期投资来看，项目甲更具有投资价值.
20。

(I ）证明：设O 为BD 的中点,
PB=PD ，∴PO ⊥BD 连接OA, AB ⊥AD ,∴
1
22OA BD =
=222PO PD OD =-=222
OA OP PA +=,PO OA ⊥,又AO
BD O = ,
∴PO ⊥平面
ABCD ，
PO ⊂平面
PBD
∴平面PBD ⊥平面ABCD 。

（II)解:过点O 分别作AD 、AB 的平行线（如图),并以它们分别为x 、
y 轴，以
OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得:()0,1,1--A ，)0,1,1(-B ，)0,3,1(C ，()0,1,1-D ,()0,1,1--A ，()2,0,0P 。

设平面PDC 的法向量为),,(111z y x n =，直线CB 与平面PDC 所成角θ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0,
0PD n PC n 即
⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+0
20
23111111z y x z y x 解得
⎩⎨
⎧==1
1120
z x y 令11
=z
，则平面PDC 的一个法向量
为
)
1,0,2(=n
又
)0,2,2(--=CB ，
3
32
2322cos sin =
⨯=
><=CB n ，θ即为直线CB 与平面PDC 成角的正弦值为3
3。

21. 解：（I)根据已知设椭圆E 的方程为错误!＋错误!＝1（a 〉b >0）,焦距为2c ，
由已知得错误!＝错误!，∴c ＝错误!a ，b 2＝a 2－c 2＝错误!.
∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4错误!， ∴4错误!＝2错误!a ＝4错误!，∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的方程为错误!＋x 2＝1。

(II)根据已知得P (0，m ），设A （x 1，kx 1＋m ),B （x 2，kx 2＋m ), 由
｛
y ＝kx ＋m ，
4x 2＋y 2
－4＝0
得,（k 2＋4）x 2＋2mkx ＋m 2
－4＝0。

由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4）〉0,即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋
x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!。

由
得x 1＝－3x 2。

∴3（x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 错误!－12x 错误!＝0. ∴错误!＋错误!＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0。

当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立，∴k 2＝错误!。

∵k 2－m 2＋4>0，∴错误!－m 2＋4〉0，即错误!>0。

∴1〈m 2〈4。

∴m 2的取值范围为（1，4）．
22.解：（Ⅰ）
211'(),'(1)1,1x f x e f e e a ax a
=-
∴=-=-∴=
222
11
'()x x
x e f x e x x -∴=-=
,令
22()1,'()(2)x x
h x x e h x x x e =-=+，
()
h x 在
(,2)
-∞-上单调递增，在(2,0)
-上单调递减,所以
(,0)
x ∈-∞时,
2
4
()(2)10h x h e ≤-=
-<，即
(,0)
x ∈-∞时，
'()0
f x <,
所以函数y=f （x)在(,0)
x ∈-∞上单调递减.
（Ⅱ）由条件可知,
,1)(++-=m x e x g x 1)('-=x
e x g ）上单调递增，）上单调递减，在（在（∞+∞-∴00,)(x g ，
要使函数有两个零点，则.2,02)0()
(min
-<∴<+==m m g x g
由可知,1
2
2
x <0<x ,-x <0∴，
22x -x 12222g(x )-g(-x )=g(x )-g(-x )=e -e -2x ∴02)()0(2)(>-+=>--=--x x x x e e x x x e e x m 则ｍ＇，令，
所以m(x)>(0)m 即1
2
g(x )>g(-x )
又g(x)在(-,0)∞上单调递减,所以1
2
x <-x ,即1
20x
x +<。

学必求其心得，业必贵于专精。