2016-2017学年高中数学人教A版必修4课件：1.1.2 弧度制
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第十六页，编辑于星期五：十六点 六分。
[活学活用] 已知扇形的周长是 30 cm，当它的半径和圆心角各取什 么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 答案：r＝125 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积 为2245 cm2.
第十七页，编辑于星期五：十六点 六分。
[例 3] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内 (不包括边界)的角的集合．
第二页，编辑于星期五：十六点 六分。
[导入新知] 1．角度制与弧度制 (1)角度制 ①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1 ②1 度的角：周角的 360 作为一个单位． (2)弧度制 ①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．
第三页，编辑于星期五：十六点 六分。
的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，
0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k
∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为
xx＝α＋k·π2，k∈Z
.
在进行区间合并时，一定要做到准确无误．
别有如下关系时，求 β.
(1)若 α，β 的终边关于 x 轴对称；
(2)若 α，β 的终边关于 y 轴对称；
(3)若 α，β 的终边关于原点对称；
(4)若 α，β 的终边关于直线 x＋y＝0 对称． 答案：(1)β＝23π＋2kπ，k∈Z (2)β＝－π3＋2kπ，k∈Z
(3)β＝π3＋2kπ，k∈Z
[导入新知] 1．弧度与角度的换算
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad
π 1°＝ 180 rad≈ 0.017 45 rad
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
1 rad＝ 1π80°≈57.30°
第七页，编辑于星期五：十六点 六分。
2 ．一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧
π π π π 2π 3π 5π
度0 6 4 3 2 3
46
π
第八页，编辑于星期五：十六点 六分。
[化解疑难] 角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记 180°＝π rad， 充分利用 1°＝1π80 rad, 1 rad＝1π80°进行换算． (2)方法： 设一个角的弧度数为 α，角度数为 n， 则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80 rad.
第十二页，编辑于星期五：十六点 六分。
[类题通法] 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝ 180°是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度 数×1π80＝度数．
第十三页，编辑于星期五：十六点 六分。
[活学活用] 已知 α＝15°，β＝1π0，γ＝1，θ＝105°，φ＝71π2，试比 较 α，β，γ，θ，φ 的大小．
答案：α<β<γ<θ＝φ
第十四页，编辑于星期五：十六点 六分。
[例 2] (1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2，则扇形 的面积为________ cm2.
(2)已知一半径为 R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长， 那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
[解] (1)4 (2)设扇形的弧长为 l，由题意得 2πR＝2R＋l，所以 l＝2(π －1)R，所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.
第五页，编辑于星期五：十六点 六分。
[提出问题] 问题 1：周角是多少度？是多少弧度？ 提示：360°，2π. 问题 2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 提示：180°，π. 问题 3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么 它们之间如何换算？ 提示：π＝180°.
第六页，编辑于星期五：十六点 六分。
第十八页，编辑于星期五：十六点 六分。
[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相 同，将－30°化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 θ2kπ－π6<θ<2kπ＋51π2，k∈Z .
(2)如题图②，∵30°＝π6，210°＝76π，这两个角的终边所 在的直线相同，因此终边在直线 AB 上的角为 α＝kπ＋π6，k∈Z，
1．1.2 弧 度 制
[提出问题] 问题 1：在角度制中，把圆周等分成 360 份，其中的一 份是多少度？ 提示：1°.
第一页，编辑于星期五：十六点 六分。
问题 2：半径为 1 的圆的周长是 2π，即周长为 2π 时， 对应的圆心角是 360°，那么弧长为 π 时，对应的圆心角是 多少？
提示：180°. 问题 3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：确定．
[答案] －113π，－53π，π3，73π
第二十四页，编辑于星期五：十六点 六分。
[多维探究] 在弧度制下，常见的对称关系如下 (1)若 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则 α＋β＝2kπ(k∈Z)； (2)若 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)； (3)若 α 与 β 的终边关于原点对称，则 α－β＝(2k＋1)π(k∈Z)； (4)若 α 与 β 的终边在一条直线上，则 α－β＝kπ(k∈Z)．
第二十一页，编辑于星期五：十六点 六分。
[活学活用]
以弧度为单位，写出终边落在直线 y＝－x 上的角的
集合．
答案：αa＝34π＋kπ，k∈Z
第二十二页，编辑于星期五：十六点 六分。
1.弧度制下的对称关系 [典例] 若角 α 的终边与角π6的终边关于直线 y＝x 对称， 且 α∈(－4π，4π)，则 α＝________. [解析] 如图所示，设角π6的终边为 OA，OA 关于直线 y ＝x 对称的射线为 OB，
第九页，编辑于星期五：十六点 六分。
[导入新知]
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
α 为度数
α 为弧度数
扇形的弧长
παR l＝ 180
l＝ αR
扇形的面积
παR2
S＝ 360
1 S＝ 2lR
＝
12αR2
第十页，编辑于星期五：十六点 六分。
[化解疑难] 扇形的弧长及面积公式的记忆 (1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的 变形：|α|＝rl⇔l＝r|α|. (2)扇形的面积公式 S＝12lR 与三角形的面积公式极为相 似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．
5．设答角案：α＝α－α5＝702°3π＋，2βk＝π，35πk. ∈Z (1)将 α 用弧度制表示出来，并指出它所在的象限； (2)将 β 用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出 与它有相同终边的所有角． 答案：(1)α＝－196π；α 在第二象限； (2)β＝108°；在－720°～0°之间与 β 有相同终边的角的 大小为－612°和－252°.
第二十五页，编辑于星期五：十六点 六分。
[活学活用] 1．若 α 和 β 的终边关于 x 轴对称，则 α 可以用 β 表示为( )
A．2kπ＋β (k∈Z) B．2kπ－β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z) 答案：B
第二十六页，编辑于星期五：十六点 六分。
2．在平面直角坐标系中，α＝－23π，β 的终边与 α 的终边分
2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数 ， 零角的弧度数是 0 . 3．角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，
l 角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
第四页，编辑于星期五：十六点 六分。
[化解疑难] 角度制和弧度制的比较 (1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1 弧度的角与 1 度的角所指含义不同，大小更不同． (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角 的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省 略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 通常省略不写.
第十九页，编辑于星期五：十六点 六分。
又终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋π2，k∈Z，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θkπ＋π6<θ<kπ＋π2，k∈Z
.
第二十页，编辑于星期五：十六点 六分。
[类题通法]
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下
(4)β＝π6＋2kπ，k∈Z
第二十七页，编辑于星期五：十六点 六分。
[随堂即时演练]
1．下列命题中，错误的是
()
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π
C．1 rad 的角比 1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 答案：D
第十五页，编辑于星期五：十六点 六分。
[类题通法] 弧度制下涉及扇形问题的攻略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α 是扇形的圆心角)． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键 是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、 扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是 α 为弧度．
第十一页，编辑于星期五：十六点 六分。
[例 1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－29π. [解] (1)72°＝72×1π80＝25π；
(2)－300°＝－300×1π80＝－53π；
(3)2＝2×1π80°＝3π60°；
(4)－29π＝－29π×1π80°＝－40°.
第二十三页，编辑于星期五：十六点 六分。
Hale Waihona Puke 则以OB为终边且在0到2π之间的角为π3，
故以OB为终边的角的集合为 ∵α∈(－4π，4π)，
αa＝π3＋2kπ，k∈Z
.
∴－4π<π3＋2kπ<4π(k∈Z)，
∴－163<k<161(k∈Z)．
∵k∈Z，
∴k＝－2，－1,0,1，
∴α＝－113π，－53π，π3，73π.
第三十页，编辑于星期五：十六点 六分。
课时达标检测见课时达标检测(二)
第三十一页，编辑于星期五：十六点 六分。
第二十八页，编辑于星期五：十六点 六分。
2．若 α＝－2 rad，则 α 的终边在
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：C
3．－135°化为弧度为______，113π化为角度为______．
答案：－34π 660°
第二十九页，编辑于星期五：十六点 六分。
4．已知半径为 12 cm，弧长为 8π cm 的弧，其所对的圆心角 为 α，则与角 α 终边相同的角的集合为______________．
[活学活用] 已知扇形的周长是 30 cm，当它的半径和圆心角各取什 么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 答案：r＝125 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积 为2245 cm2.
第十七页，编辑于星期五：十六点 六分。
[例 3] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内 (不包括边界)的角的集合．
第二页，编辑于星期五：十六点 六分。
[导入新知] 1．角度制与弧度制 (1)角度制 ①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1 ②1 度的角：周角的 360 作为一个单位． (2)弧度制 ①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．
第三页，编辑于星期五：十六点 六分。
的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，
0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k
∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为
xx＝α＋k·π2，k∈Z
.
在进行区间合并时，一定要做到准确无误．
别有如下关系时，求 β.
(1)若 α，β 的终边关于 x 轴对称；
(2)若 α，β 的终边关于 y 轴对称；
(3)若 α，β 的终边关于原点对称；
(4)若 α，β 的终边关于直线 x＋y＝0 对称． 答案：(1)β＝23π＋2kπ，k∈Z (2)β＝－π3＋2kπ，k∈Z
(3)β＝π3＋2kπ，k∈Z
[导入新知] 1．弧度与角度的换算
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad
π 1°＝ 180 rad≈ 0.017 45 rad
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
1 rad＝ 1π80°≈57.30°
第七页，编辑于星期五：十六点 六分。
2 ．一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧
π π π π 2π 3π 5π
度0 6 4 3 2 3
46
π
第八页，编辑于星期五：十六点 六分。
[化解疑难] 角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记 180°＝π rad， 充分利用 1°＝1π80 rad, 1 rad＝1π80°进行换算． (2)方法： 设一个角的弧度数为 α，角度数为 n， 则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80 rad.
第十二页，编辑于星期五：十六点 六分。
[类题通法] 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝ 180°是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度 数×1π80＝度数．
第十三页，编辑于星期五：十六点 六分。
[活学活用] 已知 α＝15°，β＝1π0，γ＝1，θ＝105°，φ＝71π2，试比 较 α，β，γ，θ，φ 的大小．
答案：α<β<γ<θ＝φ
第十四页，编辑于星期五：十六点 六分。
[例 2] (1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2，则扇形 的面积为________ cm2.
(2)已知一半径为 R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长， 那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
[解] (1)4 (2)设扇形的弧长为 l，由题意得 2πR＝2R＋l，所以 l＝2(π －1)R，所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.
第五页，编辑于星期五：十六点 六分。
[提出问题] 问题 1：周角是多少度？是多少弧度？ 提示：360°，2π. 问题 2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 提示：180°，π. 问题 3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么 它们之间如何换算？ 提示：π＝180°.
第六页，编辑于星期五：十六点 六分。
第十八页，编辑于星期五：十六点 六分。
[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相 同，将－30°化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 θ2kπ－π6<θ<2kπ＋51π2，k∈Z .
(2)如题图②，∵30°＝π6，210°＝76π，这两个角的终边所 在的直线相同，因此终边在直线 AB 上的角为 α＝kπ＋π6，k∈Z，
1．1.2 弧 度 制
[提出问题] 问题 1：在角度制中，把圆周等分成 360 份，其中的一 份是多少度？ 提示：1°.
第一页，编辑于星期五：十六点 六分。
问题 2：半径为 1 的圆的周长是 2π，即周长为 2π 时， 对应的圆心角是 360°，那么弧长为 π 时，对应的圆心角是 多少？
提示：180°. 问题 3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：确定．
[答案] －113π，－53π，π3，73π
第二十四页，编辑于星期五：十六点 六分。
[多维探究] 在弧度制下，常见的对称关系如下 (1)若 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则 α＋β＝2kπ(k∈Z)； (2)若 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)； (3)若 α 与 β 的终边关于原点对称，则 α－β＝(2k＋1)π(k∈Z)； (4)若 α 与 β 的终边在一条直线上，则 α－β＝kπ(k∈Z)．
第二十一页，编辑于星期五：十六点 六分。
[活学活用]
以弧度为单位，写出终边落在直线 y＝－x 上的角的
集合．
答案：αa＝34π＋kπ，k∈Z
第二十二页，编辑于星期五：十六点 六分。
1.弧度制下的对称关系 [典例] 若角 α 的终边与角π6的终边关于直线 y＝x 对称， 且 α∈(－4π，4π)，则 α＝________. [解析] 如图所示，设角π6的终边为 OA，OA 关于直线 y ＝x 对称的射线为 OB，
第九页，编辑于星期五：十六点 六分。
[导入新知]
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
α 为度数
α 为弧度数
扇形的弧长
παR l＝ 180
l＝ αR
扇形的面积
παR2
S＝ 360
1 S＝ 2lR
＝
12αR2
第十页，编辑于星期五：十六点 六分。
[化解疑难] 扇形的弧长及面积公式的记忆 (1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的 变形：|α|＝rl⇔l＝r|α|. (2)扇形的面积公式 S＝12lR 与三角形的面积公式极为相 似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．
5．设答角案：α＝α－α5＝702°3π＋，2βk＝π，35πk. ∈Z (1)将 α 用弧度制表示出来，并指出它所在的象限； (2)将 β 用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出 与它有相同终边的所有角． 答案：(1)α＝－196π；α 在第二象限； (2)β＝108°；在－720°～0°之间与 β 有相同终边的角的 大小为－612°和－252°.
第二十五页，编辑于星期五：十六点 六分。
[活学活用] 1．若 α 和 β 的终边关于 x 轴对称，则 α 可以用 β 表示为( )
A．2kπ＋β (k∈Z) B．2kπ－β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z) 答案：B
第二十六页，编辑于星期五：十六点 六分。
2．在平面直角坐标系中，α＝－23π，β 的终边与 α 的终边分
2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数 ， 零角的弧度数是 0 . 3．角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，
l 角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
第四页，编辑于星期五：十六点 六分。
[化解疑难] 角度制和弧度制的比较 (1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1 弧度的角与 1 度的角所指含义不同，大小更不同． (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角 的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省 略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 通常省略不写.
第十九页，编辑于星期五：十六点 六分。
又终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋π2，k∈Z，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θkπ＋π6<θ<kπ＋π2，k∈Z
.
第二十页，编辑于星期五：十六点 六分。
[类题通法]
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下
(4)β＝π6＋2kπ，k∈Z
第二十七页，编辑于星期五：十六点 六分。
[随堂即时演练]
1．下列命题中，错误的是
()
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π
C．1 rad 的角比 1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 答案：D
第十五页，编辑于星期五：十六点 六分。
[类题通法] 弧度制下涉及扇形问题的攻略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α 是扇形的圆心角)． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键 是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、 扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是 α 为弧度．
第十一页，编辑于星期五：十六点 六分。
[例 1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－29π. [解] (1)72°＝72×1π80＝25π；
(2)－300°＝－300×1π80＝－53π；
(3)2＝2×1π80°＝3π60°；
(4)－29π＝－29π×1π80°＝－40°.
第二十三页，编辑于星期五：十六点 六分。
Hale Waihona Puke 则以OB为终边且在0到2π之间的角为π3，
故以OB为终边的角的集合为 ∵α∈(－4π，4π)，
αa＝π3＋2kπ，k∈Z
.
∴－4π<π3＋2kπ<4π(k∈Z)，
∴－163<k<161(k∈Z)．
∵k∈Z，
∴k＝－2，－1,0,1，
∴α＝－113π，－53π，π3，73π.
第三十页，编辑于星期五：十六点 六分。
课时达标检测见课时达标检测(二)
第三十一页，编辑于星期五：十六点 六分。
第二十八页，编辑于星期五：十六点 六分。
2．若 α＝－2 rad，则 α 的终边在
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：C
3．－135°化为弧度为______，113π化为角度为______．
答案：－34π 660°
第二十九页，编辑于星期五：十六点 六分。
4．已知半径为 12 cm，弧长为 8π cm 的弧，其所对的圆心角 为 α，则与角 α 终边相同的角的集合为______________．