压轴02 填空题最后一个-2019年高考数学二轮核心考点总动员 Word版含解析

2019届高考数学考点总动员【二轮精品】第三篇
压轴2 填空题最后一个
【热点考法】填空题最后一题，主要考查函数的综合问题、方程解得问题、数列的综合问题、三角函数及正余弦定理的应用问题、导数的综合应用、创新试题、圆锥曲线的综合问题等，考查运用数学知识和方法解决综合问题的能力，难度较大，分值为5分. 【热点考向】
考向一 函数的综合问题
【解决法宝】
对考查函数综合问题填空题压轴题，先对函数解析式进行化简、变形，再研究函数的性质，再根据性性质画出函数图象，利用函数图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，使问题得以顺利解决.
例1【重庆市2019届高三4月调研测试】设函数()22log ,12142
,
13
33x x f x x x x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭⎧⎪⎪⎨=-++>-⎪⎪⎩，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[]8,1--
考向二 数列的综合问题
【解决法宝】数列的综合问题主要是数列与函数、不等式的综合，对数列与函数的综合问题，主要理由函数关系建立递推公式或通项公式，然后接祖于数列知识加以解决.
对数列与不等式的恒成立问题，要充分利用数列自身的特点，注意应用特殊项、特殊数列等
方法求解.
例2【河北省石家庄市高三数学一模】已知数列{}n a 中, 1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数的取值范围为__________． 【答案】7a >-
考向三 创新问题类
【解决法宝】认真阅读新定义或新运算，把握新定义的本题，利用新定义对所给问题进行判定或求解，或利用新运算将所给问题转化为熟悉问题，再利用相关知识知识求解认真阅读新定义或新运算，把握新定义的本题，利用新定义对所给问题进行判定或求解，或利用新运算将所给问题转化为熟悉问题，再利用相关知识知识求解。

例3 【2019届山东省德州市高三下学期第1次月考】已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数，使得()2017
k
f x x ≤对所有实数均成立，则称函数()f x 为“期望函数”，给出下列函数：
①()2
f x x =；②()x
f x xe =；③()21x f x x x =
-+；④()1
x x
f x e =+； 其中为“期望函数”的是__________．（写出所有正确的序号） 【答案】③④
【解析】依题意，①不成立，因为2
y x =与2017k y x =有两个交点， ()2017k
f x x ≤不恒成立. ②不成立，由于函数()f x 为指数增长，比
2017k x 为直线增长快， ()2017
k
f x x ≤不恒成立. ③成立，因为当0x ≤时()0f x ≤，故()2017
k
f x x ≤
恒成立；当0x >时， ()1
0111f x x x
<=
≤+-，存在使()2017k f x x ≤
恒成立. ④成立，当2017k =时， 11x x x
x xe x e e --=++，上式当0x >时值小于零，当0x <时值大于零，故满足()2017
k f x x ≤. 考向四 导数的综合问题
【解题法宝】先利用题中条件构造函数，再利用导数研究所构造函数或已知函数的图象与性质，画出草图，结合图形，利用相关知识求解.
例4【江西省2019届高三4月新课程教学质量监测】已知点P 为函数()x f x e =的图象上任意一点，点Q 为圆(
)
2
2
211x e y --+=上任意一点（为自然对数的底），则线段PQ 的长度的最
小值为__________． 【答案】
211e e +-
考向五 与向量结合圆锥曲线综合问题
【解决法宝】对与向量有关的圆锥曲线综合问题，利用向量的有关知识和圆锥曲线的定义、性质及设而不求思想转化为较为容易的问题，利用相关知识和方法求解。

例5【山西省三区八校2019届高三第二次模拟】双曲线22
221x y a b
-=（0a >， 0b >）的右焦
点为F ，直线4
3
y x =与双曲线相交于A 、B 两点，若AF BF ⊥，则双曲线的渐进线方程为__________． 【答案】2y x =±
【解析】由题意可知：双曲线22
221x y a b
-=（0a >， 0b >）焦点在x 轴上,右焦点F (c ,0)，
则22
22
431
y x x y a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,整理得： ()22222
9169b a x a b -=,即222229916a b x b a =-， ∴A 与B 关于原点对称,设44,
,,33A x x B x x ⎛
⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 44,,,33FA x c x FB x c x ⎛⎫⎛⎫
=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r u u u r ,
∵AF BF ⊥，
∴0FA FB ⋅=u u u r u u u r ，即()()44033x c x c x x ⎛⎫
---+⨯-= ⎪⎝⎭
,
整理得： 2
2
259
c x =
， ∴22
2
2
222599916a b a b b a
+=⨯-,,即4224932160b a b a --=，
∴()()
222
24940b a b
a -+=，
∵>0,b>0，
∴22940b a +≠， ∴2240b a -=， 故b =2a ，
双曲线的渐近线方程2b
y x x a
=±=±， 故答案为2y x =±.
考向六 与方程有关的综合问题
【解题法宝】若是关于某个函数的方程问题，先研究函数的图象与性质，将方程问题问题转化为方程根的分布问题，利用数形结合思想求解，若是复杂的方程问题，可以利用局部分类，转化为两个简单函数的交点问题处理.
例6【2019届浙江台州市书生中学高三下学期第一次月考】设定义域为(0,)+∞的单调函数
()f x ，对任意的(0,)∈+∞x ，都有2[()log ]6-=f f x x 成立，若0x 是方程()()4
'-=f x f x 的一个解，且*
0(,1)()∈+∈x a a a N ，则=a _______． 【答案】1
【解析】根据题意，对任意的x ∈（0，+∞），都有2[()log ]6-=f f x x ， 又由f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数， 则()2log f x x -为定值，
设()2log t f x x =-，则()2log f x x t =+， 又由f （t ）=6，可得2log 6x t +=， 可解得t=4，故()2log 4f x x =+，()'
1
ln 2
f
x x =
， 又0x 是方程f （x ）-f ′（x ）=4的一个解， 所以0x 是函数F （x ）=f （x ）-f ′（x ）-4=21
log ln 2
x x -的零点， 分析易得F （1）=1ln 2-
＜0，F （2）=112ln 2-=11ln 4
-＞0， 故函数F （x ）的零点介于（1，2）之间，故a=1 【热点集训】
1.【河北省唐山市2019届高三年级第二次模拟】在ABC ∆中， 3
A π
=， 3BC =， D 是BC
的一个三等分点，则AD 的最大值是__________．
1 【解析】
如图所示，以BC所在直线为轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则
3
,0
2
B
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
3
,0
2
C
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
1
,0
2
D
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
取点E，使得120
BEC
∠=o，则E点坐标为
3
0,
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
∵
3
A
π
=，∴,,,
A B E C四点共圆，可得圆的方程为
2
2
3
3
x y
⎛⎫
+-=
⎪
⎪
⎝⎭
，故可设点A坐标为
3
3cos,3sin
2
θθ
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎭
，()
0,
θπ
∈，
∴
2
2
213
3cos3sin423sin
26
AD
π
θθθ
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=+++=++
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎭
，故
()2
max
423
AD=+，故AD的最大值是31
+，故答案为31
+.
2. 【2019届淮北市高三第二次模拟】梯形ABCD中//
AB CD，对角线,
AC BD交于
1
P，过
1
P 作AB的平行线交BC于点1Q，1
AQ交BD于
2
P，过
2
P作AB的平行线交BC于点
2
,.
Q L，若,
AB a CD b
==，则
n n
P Q=______
(用,,
a b n表示)
【答案】,*
ab
n N
a nb
∈
+
,
【解析】由题意得
11111111111111
11
,11
PQ BQ PQ CQ PQ PQ PQ PQ ab
PQ
CD BC AB BC CD AB b a a b ==⇒+=⇒+=⇒=
+
222221222222222
22 111111
,11
2
P Q BQ P Q Q Q P Q P Q P Q P Q ab
P Q
ab
PQ BQ AB BQ PQ AB a a b
a b
==⇒+=⇒+=⇒=
+
+
类推可得
n n
ab
P Q
a nb
=
+
3.【2019届湖南省长沙市高三上学期统一模拟】矩形ABCD 中， 3AB =， 2AD =， P 矩形内部一点，且1AP =，若AP x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r
，则32x y +的取值范围是__________． 【答案】(
1,2⎤⎦
4.【2019届河南三门峡市一高二模】如图ABC ∆中，已知点D 在BC 上，
22
,sin ,32,33
AD AC BAC AB AD ⊥∠=
==，则BD 的长为 ．
3【解析】试题分析：因为AD AC ⊥，所以090DAC ∠=，所以
090BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+，所以
()
022
sin sin 90cos 3
BAC BAD BAD ∠=∠+=∠=
，在ABD ∆中， 32,3AB AD ==，根据余弦定理得： 2222cos 189243BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=+-=，所以
3BD =
5. 【河南省安阳市2019届高三第二次模拟】已知在直三棱柱111ABC A B C -中， ABC ∆为等腰直角三角形， 4AB AC ==， 1AA a =，棱1BB 的中点为E ，棱11B C 的中点为F ，平面AEF 与平面11AAC C 的交线与1AA 所成角的正切值为2
3
，则三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为__________． 【答案】23【解析】
如图，在面11BCC B 延长1EF CC P ⋂=，连AP ，则AP 是两平面的交线，故2tan 3
QAP ∠=，由于13,422CP a a a PQ AC =
+===，故424332
a a =⇒=，又ABC ∆的外接圆的半径
1
4222,22r AM OM ==⨯==，球半径()
2
2241223R =
+==，应填答案
23
6. 【江西师范大学附属中学2019届高三3月月考】已知数列{}n a 与{}n b 满足
()*1
23
n n a b n N =+∈，若{}n b 的前项和为()
321n n T =-且()832n n a b n λλ-≥-+对一切
*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是_________.
【答案】[)4,+∞
【解析】依题设，当1n =时， 113b T ==；
当2n ≥时， ()(
)
11132132132n n n n n n b T T ---=-=---=⨯， 又∵当1n =时， 111332b -==⨯， ∴132n n b -=⨯. ∴122n n a -=+. ∴()832n n a b n λλ-≥-+等价于(
)
()1
12232832n n n λλ--+-⨯≥-+，
即()()1
3283n n λ--⋅≥-，∴
3
3
16
2
n n λ--≥
对一切*n N ∈恒成立， 令()32n n f n -=
，则()()123
122
n n n n f n f n +--+-=- ()()1
1
223422n n n n n ++----==
，∴当4n ≤时， ()()1f n f n +≥，
当5n >时， ()()1f n f n +<，∴当4n =或时， ()f n 取得最大值，
∴()()max 1416f n f ==
， ∴311616
λ-≥， ∴4λ≥. 7. 【2019届河北省五个一名校联盟高三上学期一模】已知函数()()R f x x ∈满足
()()()4f x f x f x -=-=-，当()0,2x ∈时，()()2ln f x x x b =-+．若函数()f x 在区间
[]2,2-上有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
114b <≤或5
4
b = 【解析】因为函数满足()()x f x f -=-，即函数是奇函数，关于原点对称，所以当0=x 时，满足()00=f ，又因为函数满足()()()x f x f x f -=-=-4，令2=x ，那么
()()()222f f f =-=-，所以()()022=-=f f ，所以函数()x f 在区间[]2,2-上有零点，
2-=x ，0=x 和2=x ，
要使函数在区间[]2,2-有5个零点，即方程12=+-b x x 在()2,0有唯一的实数根，分离参数b 得452112
2
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=++-=x x x b ，()2,0∈x ，结合函数
()12++-=x x x g 的图像（实线），要使()b x g =只有一个实数根，则(]1,1-∈b ，过顶点时
也满足，即4
5
21=
⎪⎭
⎫
⎝⎛=g b 也符合，因为()2,0∈x 时，真数04141212
2
>-≥-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+-b b x b x x ，所以41>b ，故实数的取值范围是114b <≤或
45=
b ，故填：114b <≤或4
5
=b .
8.【福建省2019届高三4月单科质量检测】已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛
⎫
=+> ⎪⎝
⎭在,123ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是__________． 【答案】3
,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有最大值，但没有最小值，所以
33
(,3)12
4
2
3
4
24
π
π
π
π
π
πω
ω
ω+
<
<+
≤
⇒∈. 9. 【福建省2019届高三4月单科质量】在三棱锥S ABC -中， ABC ∆是边长为3的等边三角形， 3,23SA SB ==，二面角S AB C --的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】21π
10. 【广西桂林市、崇左市、百色市2019届高三下学期第一次联合模拟】在ABC ∆中，
4
C π
∠=
， O 为外心，且有OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r
，则m n +的取值范围是__________．
【答案】)
2,1⎡-⎣
【解析】设ABC ∆外接圆的半径为1，因为=
4
C π
∠,所以2
AOB π
∠=
,由OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r
,
两边平方有2
2
12cos ,m n mn AOB =+-∠ 所以221m n += ,
因为2
2222m n m n ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
,所以22m n -≤+≤又由题意有m,n 不能同时为正，所以
1m n +<,所以21m n -≤+< .
11.【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】已知关于的方程
()1cos sin 2t x t x t +-=+在()0,π上有实根，则实数的最大值是__________．
【答案】1-
【解析】由()1cos sin 2t x t x t +-=+得：
()2
2(1+sin 2t t x t φ++=+）有解的条件为
()
()2
2
212t t t ++≥+，解得3,1t t ≥≤-，因为()0,θπ∈，当3t ≥时显然不成立，故1t ≤-，
所以实数的最大值1-．
12.【四川省资阳市2019届高三4月模拟】已知函数()()2
2e 2
x
k f x x x kx =--
+（k 是常数，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）在区间()02，内存在两个极值点，则实数k 的取值范围是________．
【答案】()()
21e e e ⋃，，．
13.【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】已知函数()()ln 1f x x a x =+-，当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，则的取值范围是__________． 【答案】()0,1
【解析】()()ln 1f x x a x =+-的定义域为0+∞（，）， ∴11'ax
f x a x x
-=
-=
（）， 若0a ≤，则()'0f x >，∴函数()f x 在0+∞（，）上单调递增， ()f x 在0+∞（，）上无最大值； 若0a >，则当1
0x a ∈（，）时， ()'0f x >，当1x a
∈+∞（，）
时， ()'0f x <，所以()f x 在1
0a （，）
上单调递增，在1a +∞（，）上单调递减，故()f x 在1x a =取得最大值，最大值为1
1f lna a a
=-+-（），∵122f a a ⎛⎫
>- ⎪⎝⎭
，∴10lna a +-<， 令()1g a lna a =+-，∵()g a 在0+∞（，）单调递增， 10g =（），
∴当01a <<时， ()0g a <，当1a >时， ()0g a >，∴的取值范围为()0,1，故答案为()0,1. 14.【江西省南昌市十所省重点中学2019届高三第二次模拟】在如图所示的直角坐标系xOy 中，AC ⊥OB ，OA ⊥AB ，|OB | = 3，点C 是OB 上靠近O 点的三等分点，若(0)k
y x x
=
>函数的图象（图中未画出）与△OAB 的边界至少有2个交点，则实数k 的取值范围是_______________．
【答案】920,
8⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【解析】当k < 0时显然不成立；当k
= 0时，直线y = 0与△OAB 边界有无数个交点，成立． 当k > 0时，由题设， ()
1,2A ， ()3,0B ， ()1,0C ．若函数与△OAB 的边界分别交于
OA ，AB ，则()y f x =应满足()12f k =≤．若函数与△OAB 的边界AB 交于两点（不含A
点），则临界位置为相切．由题设AB 的直线方程为22220x y +-=． 设切点为00,
k x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()2k f x x '=-，则()02022
k f x x '=-=-
，即2
022k x =．将切点代入直线AB 方程得032
x =
， 92
k =．综上， 920k ≤<．
15.【2016届河南省禹州市名校高三三模】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2
3
2cos
sin 2A A =， ()sin 4cos sin B C B C -=，则b c
=__________． 【答案】16+
16.【广西桂林市桂林中学2019届高三2月月考】设,m n R ∈，若直线
()()1120m x n y +++-=与圆()()
22
111x y -+-=相切，则+m n 的取值范围为_________.
【答案】[()
,222222,-∞-⋃++∞ 【解析】因为直线与圆相切，所以d=r ()()
22
112
1111m n mn m n m n +++-=⇒=+++++，因此
()22
11022m n m n m n mn m n m n ++⎛⎫⎛⎫
++=≤⇒-+-≥⇒+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
][(),22
2222,-∞-⋃++∞，故答案为][()
,222222,-∞-⋃++∞.
17.【湖北省六校联合体2019届高三4月联考】从随圆22
221y x a b +=（0a b >>）上的动点M
作圆2
2
2
2
b x y +=的两条切线，切点为P 和Q ，直线PQ 与轴和y 轴的交点分别为E 和F ，
则EOF ∆面积的最小值是__________．
【答案】3
4b a
【解析】设()()()001122,,,,,,M x y P x y Q x y 直线MP 和MQ 的方程分别为
2112b x x y y +=,2
222
b x x y y +=.因为点M 在MP 和MQ 上,所以
210102b x x y y +=,2
20202
b x x y y +=.可知P , Q 两点坐标满足方程2002b x x y y +=,所以直线
PQ 的方程为2
002b x x y y +=
,可得直线PQ 与轴和y 轴的交点分别为20,02b E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和200,2b F y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,所以EOF ∆的面积是4
001.28EOF b S OE OF x y ∆==
因为22222200b y a x a b +=,又2
2
2
2
00002b x a y ab x y +≥,所以00.2ab x y ≤所以43
00,84EOF b b S x y a
∆=≥当且仅当
222
2
2
2
002a b b y a x ==时, EOF ∆面积取得最小值3
4b a
.
18.【2019届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试】已知数列
满足
，其中
，若
对
恒成立，则实数的
取值范围为__________． 【答案】
【解析】由
得：
，令
，则的奇数项和偶
数项分别成首项为，且公差为的等差数列，所以
， ,
，故
，
，
，因为
对恒成立，所以
恒成立，同时恒成立，即
恒成立，当
时，，而时，所以即可，当时，恒成
立，综上
，故填
．
19.【吉林省梅河口市第五中学2019届高三一模】已知函数()f x kx =，
()212ln 2g x x e x e e ⎛⎫
=+≤≤ ⎪⎝⎭
，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点,M N ，使得MN 关于
直线y e =对称，则实数的取值范围是__________． 【答案】2,2e e ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
20.【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断检测】在ABC ∆中， 22AC CB ⋅=u u u r u u u r
2则2tan sin2A B ⋅的最大值是__________． 【答案】322-【解析】 由题意得，在ABC ∆中， 22AC CB ⋅=u u u r u u u r
2，
所以()cos cos 22cos 22ab C ab C ab C π-=-=⇒=-， 且1
sin 2sin 222
S ab C ab C =
=⇒=， 所以tan 1C =-，又因为()0,C π∈，所以34C π=
，所以4
B A π
=-， 所以()
22
2
22
2
sin tan sin2tan sin 2tan cos22cos 14
cos A A B A A A A A A π⎡⎤⎛⎫⋅=⋅-=⋅=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()2
2
21sin 2cos 1cos A A A
--=
, 设2
cos t A =，即22
2311tan sin22323t t A B x t x -+-⎛
⎫⋅=
=-++≤- ⎪⎝
⎭.。