山西大学附中2021高三年级数学4月月考及答案理科

山西大学附中
2020—2021学年第二学期高三年级3月模块诊断
数 学 试 题（理科）
考查时间：120 分钟 满分：150 分 考查内容： 高考全部内容
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1.已知集合{}
21A x x =-<，{}
2log 1B x x =<，则A B =（ ）
A ．()0,2
B ．()0,3
C ．()1,2
D ．(),3-∞
2．已知复数21i
z i
=
-，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i
D ．i -
3．“()()ln 2ln 10a b --->”是“1a
b
>”成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S S =，且348a a +=，则5a 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．10
5．若将函数3sin 2y x =的图像向右平移6
π
个单位长度，平移后图像的一条对称轴为（ ）．
A ．56x π=
B ．512x π=
C ．3x π=
D ．23
x π= 6．已知1a =，2b =，且()
a a
b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 7．函数cos 3sin ||2()51
x x f x -=
-在3(2π-，3)2π上的大致图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知抛物线2
4
1x y =上的动点P 到直线l ∶3-=y 的距离为d ，A 点坐标为(2，0)，则d PA +的最小值等于（ ）
A ．4
B
．2+ C
．D
．3+9．若01x <<，则22ln3111
,,3x x x x e e
+++的大小关系是（ ） A ．221ln 3113x x x x e e +++>> B ．2211ln 31
3x x x x e e
+++>> C ．22
ln 31113x x x x e e +++>> D ．22ln 3111
3x x x x e e +++>> 10．已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x T 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与双曲线的左右两支
分别交于B A ,两点，0,02211=⋅=+BF BF AF AB ，则双曲线的离心率为（ ） A
B
C
D
1
11．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（ ）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)
A ．21e -
B ．2e 1- C
D ．e
12．在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB
上的一点，且
=，则
y x 1
1+的最小值为（ ） A
．
712
+ B
．
712
+ C
．
712
+ D
．
712
+
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13．若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则23x y -的最大值为__________.
14．已知圆2
2
:1214600M x y x y +--+=，圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，
则圆N 的标准方程为________．
15．在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是BC 和11D C 的中点，经过点F E A ,,的平面把正方体1111D C B A ABCD -截成两部分，则截面与11B BCC 的交线段长为________．
16．已知函数()f x kx =，21x e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
，()121x g x e +-
=+，
若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ､N ，使得M ､N 关于直线1y x =+对称，则实数k 的取值范围是________．
三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（12分）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()cos 2cos 0c A a b C ++=. （1）求C 的大小；
（2）ABC
的面积等于D 为BC 边的中点，当中线AD 长最短时，求AB 边长.
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，
且22,CD AB BC ===，
90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．
（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；
（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 19．（12分）在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为P ，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为
2
3
，其余各局甲队获胜的概率均为
12
. （1）求甲队以3:2获胜的概率；
（2）现已知甲队以3:0获胜的概率是
1
12
，若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望.
20．（12分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x M 的左、右顶点分别为B A ,，上、下顶点分别为D C ,，
右焦点为F ，离心率为2
1，其中2
4CD FB FA ⋅=．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于H E ,两点，记ABE ∆与ABH ∆的面积分别为1S 和2S ，求21S S -的最大值．
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的方程为，点，点是曲线上的动点，为线段的中点,以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）写出曲线的参数方程，并求出点的轨迹的直角坐标方程；
()2
ln f x x x k x =-+k ∈R ()f x ()f x 1x 2x ()()121
24
f x f x k -<
-xoy 1
C 22(4)(12x y ++-=(4,0)M N 1C Q MN x
l sin()6
πρθ+
=
1C Q 2C
（2）已知点，直线与曲线的交点为，若线段的中点为，求线段长度. 23．（10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()3122
3
x x f x x +--=+的最大值M .
（1）求M ；
（2）已知a 、b 、c 均为正实数，且a b c M ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
山西大学附中2020—2021学年第二学期高三年级三月模块诊断理科数学试题评分细则
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1--5:CAACB; 6--10:BABBC; 11--12:DD
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．6 14．2
2
(6)(1)1x y -+-= 15．
103 16．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-e e 2,2 三、解答题：共70分。

解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。

第17-21题为必考题，每小题考生都
必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()cos 2cos 0c A a b C ++=. （1）求C 的大小；
（2）ABC
的面积等于D 为BC 边的中点，当中线AD 长最短时，求AB 边长. （1）由()cos 2cos 0c A a b C ++=得()sin cos sin 2sin cos 0C A A B C ++=… 即()()2sin cos sin sin sin B C A C B B π-=+=-=，0180B <<，sin 0B ∴>，
从而1
cos 2C =-
，而0180C <<，所以120C =； ………5分 （2
）13
sin12024
S ab ab ===16ab ∴=， ………6分
在ACD △中，由余弦定理可得22
2222cos1202222a a a ab AD b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯
=++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
32422ab ab
≥==
，
当且仅当1
2
b a
=时，即当a =
b
=时，等号成立.………10分
此时2
13282562AB ⎛⎫=
+-⨯-= ⎪⎝⎭
，故AB =.……12分
18．如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,CD AB BC ===，
90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．
（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ； （2）若二面角P DM A --为
30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．
（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,AB CD BM CM ====
可得22
3,6AM DM =
=，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ， 则1,DE AE ==29AD =，
则222AD AM DM
=+，∴DM AM ⊥． ………2分
P l 2C ,A B AB D ||PD
∴PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =，∴DM ⊥平面PAM ， ∴DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ； 5分
（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，……7分
则tan301PA AM =⋅︒=． ………8分
以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，
(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-．
设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，
由22020
n PD x y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得2321,,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． ………10分 ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：
||230
|cos ,|30||||106
PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅． ………12分
19．在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为P ，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为
2
3
，其余各局甲队获胜的概率均为
12
. （1）求甲队以3:2获胜的概率；
（2）现已知甲队以3:0获胜的概率是
1
12
，若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望. （1）记事件A ：甲队以3:2获胜，则第五局甲队胜，前面四局甲队赢两局
()()33
123312*********
P A P C P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…4分 （2）记甲队以3:0获胜为事件B ，则()2
1112412P B P P ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭
，解得13P =. …5分
记甲队得分为X ，则X 的可能取值有0、1、2、3， 若X 0=，则甲队以0:3或1:3落败，所以，
()233
12111111301113232328
P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⋅-+⋅+-⋅⋅=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；
若1X =，则甲队以2:3落败，所以，()3
3
12331112111
13233238
P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
若2X =，则甲队以3:2获胜，所以，()()1
24P X P A ===；
若3X =，则甲队以3:0或3:1获胜，所以，()2
2
3
1211111211
332322324
P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
X X
0 1
2
3
P
38
18
14
14
因此，()311111
012388448
E X =⨯+⨯+⨯
+⨯=. ………12分 20.已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为
F ，离心率为
12
，其中2
4||||||FA FB CD =⋅． （1）求椭圆的标准方程．
（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记ABE △与ABH 的面积分别为1S 和2S ，
求12S S -的最大值．
（1）有条件可知2
4()()(2)a c a c b +=-，∴2
131a c e b a c e
++=
==--，又1
2c a =，
2
2134a a -=，∴2
4a =，∴椭圆方程为22143
x y +=． ………4分
（2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，此时12331,,1,,022D C S S ⎛
⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ (5)
分
当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y
联立得22
143
(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消掉y 得()2222
3484120k x k x k +++-=， 显然0∆>，方程有根，22121222
8412
,3434k k x x x x k k -+=-=
++． …… … 7分 此时()()12212121122
12||
2
||||22112(2)34k S S y y y y k x k x k x x k
-=-=+=+++=++=+‖． … 9分
因为0k ≠
，所以
12123
4||||
S S k k -=
≤
==+
（k =时等号成立）， 所以12S S -
…… … 12分 21．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，，证明：． 解:（1）函数的定义域为，， ...... (1)
分
设，判别式．
∴当，即时，恒成立，恒成立，此时在单调递增；… 2分
∴当，即时，令，得，． （i ）当时，，此时，．当时，，则，()2
ln f x x x k x =-+k ∈R ()f x ()f x 1x 2x ()()121
24
f x f x k -<-()f x ()0,∞+()2221k x x k
f x x x x
-+'=-+=()2
2g x x x k =-+18k ∆=-0∆≤1
8
k ≥()0g x ≥()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>18k <
()0g x
=1x
=2x =0k ≤12
02
k x x =≤10x ≤20x >()20,x x ∈()0g x <()0f x '<()f x
调递减；当时，，则，单调递增； …… … 4分
（ii ）当时，，，∴．
当时，，则，单调递增；当时，，则，
单调递减；当时，，则，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增； …… … 6分
（2）由（1）及题意知，，为方程的两根，不妨设，则
，且，，∴．要证
，即证，即证
， …… … 7分
，而
，，故， 因为． 10分
设，则，∴．
设，则，当时，，在上单调递增，∴
，而，∴，即，命题
得证．… 12分
22．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点，点是曲线上的动点，为线段的中点.
（1）写出曲线的参数方程，并求出点的轨迹的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线的交点为，若线段的中点为，求线段长度.
()2,x x ∈+∞()0g x >()0f x '>()f x 1
08
k <<
1202k x x =>12102x x +=>120x x <<()10,x x ∈()0g x >()0f x '>()f x ()12,x x x ∈()0g x <()0f x '<()f x ()2,x x ∈+∞()0g x >()0f x '>()f x 0k ≤()f
x ⎛ ⎝
⎭
⎫
+∞⎪⎝⎭1
08k <<()f
x ⎛ ⎝
⎭⎫+∞⎪⎝
⎭⎝⎭
1
8
k ≥()f x ()0,∞+1
08
k <<1x 2x 220x x k -+=120x x <<()()12f x f x >1212x x +=122
k x x =()()22
1212121424x x x x x x k -=+-=-()()121
24
f x f x k -<-()()()21212f x f x x x -<-()()()2
1212f x f x x x -<-()()()()2212111222ln ln f x f x x x k x x x k x -=-+--+()()()1212121ln ln x x x x k x x =+--+-1212x x +=122
k x x =()()12f x f x -=()()()1112121212221ln 2ln 2x x k x x x x x x x x x x --=-+-()()()()()()22
1121212121212
2
2ln x f x f x x x x x x x x x x x x ---=-+---1112222ln 1x x x x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭12
x t x =01t <<()()()21212122(ln 1)f x f x x x x x t t ---=-+()ln 1h t t t =-+()11h t t
'=-01t <<()0h t '>()h t ()0,1()()10h t h <=120x x >()()()2
12120f x f x x x ---<()()()2
1212f x f x x x -<-xoy 1
C 22(4)(12x y ++-=x
l sin()6
πρθ+=
(4,0)M N 1C Q MN 1C Q 2
C P l 2C ,A B AB
D ||PD
（1）的参数方程为为参数）. 设，所以，即的参数方程为
为参数），化简为直角坐标方程为. 所以点的轨迹的直角坐标方程为. …… … 5分
（2）直线的直角坐标方程为，易知直线过点，
设的参数方程为参数），将其代入曲线的直角坐标方程得，
设对应的参数分别为，所以，所以
… 10分 23．设函数()3122
3
x x f x x +--=+的最大值M .
（1）求M ； （2）已知a 、b 、c 均为正实数，且a b c M ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. （1）由绝对值三角不等式可得()()()
31223122
13
3
x x x x f x x x +--+--=
≤
=++，
当且仅当1≥x 时，等号成立，所以，1M =； …… … 5分
（2）由（1）可得1a b c ++=，111a b c a a a -+∴-==，同理可得11a c b b +-=，11a b c c
+-=， 由基本不等式可得()()()1111118b c c a a b a b c abc abc +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
当且仅当13a b c ===时，等号成立，因此，1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. …… 10分
1C 4(x y θ
θθ
⎧=-+⎪⎨
=⎪⎩(4,)N θθ-+)Q θθ2C (x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩22(3x y +-=Q 2C 22(3x y +=l 0x +=l P l (12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
2C 2
(330t t -++=,A B 12,t t 12123,3t t t t =+=123||22
t t PD ++=
=。