云南省师范大学附属中学高三第七次月考数学(文)试题

云南省师范大学附属中学高三第七次月考数学（文）试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合，集合，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】=，是自然数集，所以=，
故选C．
2. 已知在R上单调递增，且满足f(1)=2，则y=f(x)的反函数恒过点
A. (1，2)
B. (0，2)
C. (2, 0)
D. (2，1)
【答案】D
【解析】由反函数定义可知恒过点，
故选D．
3. 复数是的根，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】复数是的根，所以，，
故选C．
4. 在△ABC中，，BC=2，则△ABC外接圆半径为
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】D
【解析】由正弦定理可得外接圆半径，
故选D．
5. 如图所示的程序框图源于我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出的“三斜求积术”，执行此程序输出的值为
A. B. C. D.
【答案】D
故选D．
6. 表示的曲线一定不是
A. 抛物线
B. 双曲线
C. 椭圆
D. 直线
【答案】A
【解析】当一正一负时，表示双曲线；当不相等时，表示椭圆；当有一个为0时，表示直线；当
相等为正时，表示圆；当都小于等于0是，图形不存在。

无法表示抛物线，故选A。

7. 正项数列是等比数列，公比为q，且，则实数q为
A. 或1
B. 1
C. 2
D. 或
【答案】B
【解析】由题意，，解得。

故选B。

8. 双曲线其中，且a， b取到其中每个数都是等可能的，则直线l: :与双曲线C左右支各有一个交点的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线：与双曲线左右支各有一个交点，则，
总基本事件数为，
满足条件的的情况有：，共6个.
概率为，
故选B．
点睛：本题主要考查古典概型概率公式，属于容易题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个
数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，
….. 依次…. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
9. 一道判断命题为真命题的单选题，题干模糊，只能看清选项，四个选项分别为
A. ，
B.
C. ，
D. ，
【答案】C
若是真命题，则至少可选择AB，与单选题矛盾，故是假命题，
故选C．
则正确答案为
A. A
B. B
C. C
D. D
10. 已知m为所有介于区间[1，32]，并且在二进制表示式中1的个数恰有3个的整数的个数，则m=
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
【答案】A
【解析】，因为介于区间[1，32]之间，所以本题即在5个空里放3个1的方法，
所以。

故选A。

11. 已知抛物线C: 的焦点为F，过F的直线l交C于A,、B两点，分别以A， B为切点作抛物线C 的切线，设其交点为Q，下列说法都正确的一组是
①;②;③;④.
A. ①③
B. ① ④
C. ②③
D. ②④
【答案】A
【解析】设，，，联立得，，，，
，，，，所以①③正确，故选A．
点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线的切线方程。

本题中设直线AB后，关键就是写出切线AQ、BQ的直线方程，求出交点Q，判断垂直关系即可。

本题最好是记住抛物线切线的相关结论。

12. .函数，若恰有五个不同的实根，则2a+b的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出的图象如图所示：
令，由的图象可得，的两根分别为，，
故由线性规划可得，
故选B．
点睛：本题主要考查方程根的个数的应用，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键；在该题中最大的难点为临界位置的确定，即直线与曲线相切的时对应的参数的范围，同时必须熟练掌握系数对幂函数图象的影响.
二。

填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 为了估计今年来昆明的红嘴鸥数量，随机对500只红嘴鸥做上记号后放回，
发现有2只标有记号，今年来昆明的红嘴鸥总数最可能为________石.
【答案】
【解析】，故红嘴鸥总数为125000．
故答案为：125000.
14. 若，且，则与的夹角为_________.
【答案】
【解析】．
故答案为：.
15. ,若，则
【答案】【答题空15-1】
【解析】，
令，平方得，
因为，所以，
所以，
解得，，．
故答案为：.
16. 直三棱柱，点M, N分别为和的中点，则三棱锥的外接球表面积为___________·
【答案】
【解析】直三棱柱中，,,
.
所以.即，又面，所以，
所以，外接圆半径为，外接球半径，外接球的表面积为．
故答案为：.
点睛：求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 已知等差数列满足
(I)求的通项公式;
(II)若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）因为是等差数列，得，所以；（2）所以分组求和，得．
试题解析：
（Ⅰ）已知，
由于是等差数列，设公差为，
整理得，∴，
∴.
（Ⅱ），
数列的前2018项和为．
18. 2017年12月29日各大影院同时上映四部电影，下表是2018年I月4日这四部电影的猫眼评分x(分).和上座率y(%)的数据.
利用最小二乘法得到回归直线方程: (四舍五人保留整数)
(I)请根据数据画残差图;(结果四舍五人保留整数)( )
(II)根据(I)中得到的残差，求这个回归方程的拟合优度R2，并解释其意义.
()(结果保留两位小数)
【答案】（1）见解析（2）0.36，猫眼评分解释了36%的上座率
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据表格数据利用求得残差，进而画图即可；
（Ⅱ）利用求解，说明猫眼评分解释了36%的上座率.
试题解析：
（Ⅰ），，，，
残差图如图．
（Ⅱ），
猫眼评分解释了36%的上座率．
19. 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=CD=4, AC=BC=AD=BD=3.
(I)证明:AB CD;
(II) E在线段BC上，BE=2EC, F是线段AC的中点，求三棱锥E-BFD的体积。

【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）取中点，连接，，得，，所以，
所以；（2）由体积的比例关系，得。

试题解析：
（Ⅰ）证明：取中点，连接，，
，
，，，
，，
．
（Ⅱ）解：，
，
，，
，
．
20. 平面直角坐标系xOy中，F(-1, 0)是椭圆的左焦点，过点F且方向向量为
的光线，经直线反射后通过左顶点D.
(I)求椭圆的方程;
(II)过点F作斜率为的直线交椭圆于A, B两点，M为AB的中点，直线OM (0为原点)与直线
交于点P，若满足，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由关于对称得到点，在光线直线方程上，
的斜率为得，解方程即可；
（Ⅱ）由得，直线，与椭圆联立得，利
用韦达定理即中点坐标公式得，求得，由垂直得斜率乘积为-1，进而得解. 试题解析：
（Ⅰ）由关于对称得到点，在光线直线方程上，
的斜率为，，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由，得，直线，
联立
得，
设，则所以，即，
所以，，，，
直线与直线垂直，，
．
点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点即直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程的方法可以简化基本运算.
21. 已知函数
(I)求f(x)在处的切线方程;
(II)当恒成立，求的取值范围
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用导数求得切线为；（2）构造函数，直接求导，进行分类讨论求解，得．
试题解析：
（Ⅰ），，
，，
故在处的切线方程为．
（Ⅱ）连续函数，，
都有成立，则必须满足，
，解得，
，，
．
当时，，在上单调递增，；
当时，由于在上恒成立，在上单调递减，
且，存在唯一使得，
在上单调递增，在上单调递减，，
，．
点睛：本题考查导数的综合应用。

在处理不等式恒成立问题时，首先全部移到一遍，构造新函数，本题中采取直接求导，进行分类讨论求解参数的范围，也可以利用分参来处理含参的导数问题。

22. 【选修4-4:坐标系与参数方程】
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为
(I)求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程;
(II)直线l: y=kx与曲线C1交于A,、B两点，P是曲线C2上的动点，求的取值范围.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由，及可得解；
（Ⅱ），由可得范围.
试题解析：
（Ⅰ）由得，
由.,得．
（Ⅱ）两点关于坐标原点对称，是曲线上的动点，
，，
所以的取值范围为．
23. 【选修4-5:不等式选讲】
已知实数，实数.
(I)求的取值范围;
(II)求证:
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）由范围知得，利用范围求解即可；
（Ⅱ）先证和，两式相加得，进而得，整理即可证得. 试题解析：
（Ⅰ）解：已知
，，
，，，解得，．
（Ⅱ）证明：
，，①
成立，即②
①+②得：，所以成立，故，即．
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