广东省湛江第一中学高二数学下学期中段考试题 文

高二下学期中段考数学（文）试题
考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师 ：李琼尧 审题教师 ：贺启君 参考公式与数据
:
1
1
2
2
2
1
1
()()ˆ()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑, x b y a ˆˆ-=,
∑∑==---
=n i i
n
i i i
y y
y y
R 1
2
1
22)
()ˆ(1,
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
10.0)706.2(2
≈≥K P ，
2( 3.841)0.05P K ≥≈，010.0)635.6(2≈≥K P ， 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1. i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A. i ∈S B. i2∈S C. i3∈S
D. 2i
∈S
2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于( ) A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理 3．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法测的结构图正确的是（ ） 4．将点P(－2,2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( )
⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝13x
y ′＝2y
B.
A.
⎩⎪⎨⎪⎧
x
′＝12x y ′＝3y
C. ⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝3x y ′＝1
2y D. ⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝3x
y ′＝2y
5．下面是调查某地区男女中学生是否喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的
百分比，从下图可以看出( )
A ．性别与是否喜欢理科无关
B ．女生中喜欢理科的比为80%
C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D ．男生中喜欢理科的比为2
3
6．某市质量监督局计量认证审查流程图如图示：
从上图可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处
7． 独立性检验中，假设H0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)≈0.010表示的意义是
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“变量X 与变量Y 有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“变量X 与变量Y 无关”
C ．有99%以上的把握认为“变量X 与变量Y 无关
D ．有99%以上的把握认为“变量X 与变量Y 有关”
8．记I 为虚数集，设a ，R b ∈，,x y I ∈。

则下列类比所得的结论正确的是( ) A ．由R b a ∈⋅，类比得I y x ∈⋅
B ．由2222)(b ab a b a ++=+，类比得2
222)(y xy x y x ++=+
C ．由02≥a ，类比得02
≥x
D ．由b a b a ->⇒>+0，类比得y x y x ->⇒>+0
9．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ=
C ．
4sin 3
ρθπ⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭ D ．
4sin 3
ρθπ⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭
10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程ˆ
0.7450y x =+
则m+n 的值为：
A ．137 B. 129 C. 121 D. 118
二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分
11 若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+⎧⎨
=-⎩为参数，则直线的斜率为 ;
12．下列表述中：
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理；
正确的是 ；
13．已知复数1z ai =+()a ∈R （i 是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且
5z z ⋅=，则a = ；
14．如图，PAB 、PCD 是圆的两条割线，已知PA ＝6，AB ＝2，PC ＝21
CD ．则PD ＝________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知复数(1)(1)z m m m i =-+-. （I ）实数m 为何值时，复数z 为纯虚数？
（II ）若2m =，计算复数1z i +.
16．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋2＝0，
曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cosαy ＝sinα
(α为参数)．
（I ）已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴
正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为22π⎛⎫ ⎪
⎝⎭，，判断点P 与直线l 的位置关系；
（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．
17．（本小题满分14分）．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8 y
30
40
50
60
70
（I ）请画出上表数据的散点图.
（II ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆ
ˆy bx a =+.
（III ）经计算，相关指数2
0.98R =，你可得到什么结论？
(参考数值：2×30+4×40+5×50+6×60+8×70==1390) 18．（本小题满分14分）我校为了了解高二级学生参加体育活动的情况，随机抽取了100名高二级学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均参加体育活动时间的频率分布直方图：
将日均参加体育活动时间不低于40分钟的学生称为参加体育活动的“积极分子”．根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为 非积极分子 积极分子 合计 男 15 45 女 合计
19．（本小题满分14分）已知数列
{}n a 的前三项分别为1a λ=，22a λ+，
34a λ=+（其中λ为正常数）。

设22223123f
x a x a x a x =+++（）2n n a x ⋅⋅⋅+。

（I ）归纳出数列
{}n a 的通项公式，并证明数列{}n a 不可能为等比数列；
（II ）若λ=1，求2f （）的值；
（III ）若λ=4，试证明：当2n ≥时，112n n n a a a +-+<．
20．（本小题满分14分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力与技术水平的限制，会产生
一些次品.根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）()*
N x ∈之间
大体满足如框图所示的关系（注：次品率
生产量次品数
=
P ）.又已知每生产一件合格的仪器可
以盈利A （元），但每生产一件次品将亏损2A
（元）. (其中c 为小于96的常数)
（I ）若c=50，当x=46 时，求次品率P ；
（II ）求日盈利额T （元）与日产量x （件）（
)*
N x ∈的函数关系； （III ）当日产量为多少时，可获得最大利润？
湛江一中2013—2014学年度第二学期期中考试 高二级数学（文科）参考答案
16．解析：（I ）把极坐标系下的点P 22π⎛⎫ ⎪
⎝⎭，化为直角坐标，得P(0,2)．... (3)
分
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋2＝0，所以点P 在直线l 上． ……………………………………4分
（II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cosα，sinα)，从而点Q 到直经l 的距离为
2cos 23cos sin 2622d πααα⎛
⎫++ ⎪-+⎝⎭=
=
(9)
分
由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1时，d 取得最大值，且最大值为22.…………………12分
解：（I ）
……………………………………4分
（II ）x ＝5
，y ＝50，∑i ＝15xiyi ＝1 390，∑i ＝1
5
x2i ＝145，
b ^＝
∑i ＝1
5
xiyi －5x
·y
∑i ＝1
5
x2i －5x －
2＝7, ……………………………………8分
a
^
＝
y
－－
b
^x
－＝
15
，
[ ……………………………………10分 ]
由2×2列联表中数据代入公式计算，得：
K2＝n(ad －bc)2(a ＋c)(b ＋d)(a ＋b)(c ＋d)＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝100
33≈3.030. …………11分
因为3.030<3.841，
所以，在犯错误的概率不超过5%的前提下， 没有理由认为“积极分子”与性别有关． …………………………14分
19．（I ）数列{}n a 的通项公式为22n a n λ=
+-。

(2)
分
下面证明数列
{}n a 不可能为等比数列：
假设数列{}n a 为等比数列，则2213a a a =，
即2
24λλλ+=+（0λ>），
法一：当2n ≥时，欲证 112n n n a a a +-+<， 只需证242222n n n +<+只需证22422422422n n n n n +++<+
只需证221n n n +<+ 只需证2
22(1)n n n +<+
只需证 01<
显然 不等式01<成立，
因此 当2n ≥时，112n n n a a a +-+<． ……………………………………14分
法二：
1212222422n n a a n n n n +∴-=+++++（）
=
（）（）
1
n n
a a
-
-=
>11
n n n n
a a a a
+-
∴-<-，
故112
n n n
a a a
+-
+<． (14)
分
20．（I）若c=50，当x=46 时，
11
0.02
964650
P===
- (3)
分
（II）当1x c
≤≤时，
11
(1)
9696
T xA xA
x x
=--
--=
3
[]
2(96)
x
x A
x
-
-，
当x c
>时，
12
332
A
T xA x
=-=
，
因此，
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
-
=
]
)
96
(2
3
[A
x
x
x
T
)
(
)
1(
*
*
N
x
c
x
N
x
c
x
∈
>
∈
≤
≤
……………………………………8分
（III）（1）当c
x>时，每天的盈利额0
=
T；
（2）当c
x≤
≤
1且N
x∈时，
A
x
x
x
T]
)
96
(2
3
[
-
-
=
令t
x=
-
96，则)
(
95
96
0N
t
t
c∈
≤
≤
-
<，
396195144
[96]
22
t
T t A t A
t t
-⎛⎫
=--⋅⋅=--
⎪
⎝⎭
令t
t
t
g
144
)(+
=
当84
1<
≤c时，95
96
12≤
<
-
<t
c，)(t
g在区间（12，95）为单增函数，
11 c c c g t g -+-=-=96144
)96()96()(min ，
021922189]96144)96(2195[2
>--=----≤A c c c A C C T （当且仅当c x =时取等号）
∴当x c =时，
2max 18921922c c T A c -=-。

……………………………………12分 84≥c 时，24144
2)(=⋅≥t t t g ，0
2147)242195(>
=-≤A A T
∴当12t =即84x =时，max 1472T
A
=
综上，当841<≤c 时，2
max 18921922c c T A c -=-；84≥c 时，max 147
2T
A
=。

……………………………………14分。