高考数学第一轮知识点 第六章 不等式、推理与证明课时复习课件 理

第1课时 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0⇔__a_＞__b_；a－b＝0⇔___a_＝_b__； a－b＜0⇔__a_＜__b_.
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔__b_＜__a_.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒__a_＞__c_.
(3)加法性质：a＞b⇒a＋c_＞___b＋c； a＞b，c＞d⇒a＋c_＞__b＋d. (4)减法性质：a＞b，c＜d⇒a－c_＞__b－d. (5)乘法性质：a＞b，c＞0⇒ac_＞__bc；
•
解析： 令 a＝－2，b＝1，(－2)2>12/⇒－2>1， 充分性不成立． 令 a＝1，b＝－2,1>－2/⇒12>(－2)2，必要性
不成立． 答案： D
2．若 m＜0，n＞0 且 m＋n＜0，则下列不等式 中成立的是( ) A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n
所以(2)正确．
因为 c＜d，所以－c＞－d. 因为 a＞b，所以 a＋(－c)＞b＋(－d)， 即 a－c＞b－d，所以(3)正确． 因为 a＞b，d－c＞0，
所以 a(d－c)＞b(d－c)，(4)正确，故选 C. 答案： C
1．要注意不等式性质的正用或反用，也就是 说每条性质是否具有可逆性．只有 a＞b⇔b＜a， a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b⇔ac＞bc(c＞0)是可 以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用 性质时要准确把握条件是结论的充分条件还 是必要条件．
a＞b，c＜0⇒ac_＜__bc； a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac_＞__bd.
(6)倒数法则：a＞b，ab＞0⇒1a_＜___1b； 1a＜1b，ab＞0⇒a__＞__b.(同号即可，而不要求 a， b 均大于 0)
(7)乘方性质：a＞b＞0⇒an__＞__bn(n∈N，n＞1)．
【思考探究】 a＞b⇔1a＜1b成立吗？ 提示： 不成立．只有当 a、b 同号时
其中错误之处的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析： ①a＞b⇒/ ac＞bc，②c＞d⇒/ bc＞bd，
③ac＞bd⇒/ ad＞bc. 答案： D
4．某地规定本地最低生活保障金不低于 300 元，上述不等关系写成不等式为________． 解析： 设最低生活保障金为 x 元，则 x≥300. 答案： x≥300
5．若－π2＜α＜β＜π2，则 α－β 的范围是________． 解析： ∵－π2＜α＜β＜π2， ∴－π2＜α＜π2，－π2＜－β＜π2， 因此，－π＜α－β＜π， 又 α＜β，所以 α－β＜0，故－π＜α－β＜0.
答案： (－π，0)
利用不等式表示不等关系
1．用不等式(组)表示实际问题时，应注意实 际问题中的关键性的文字语言与对应的数 学符号之间的正确转换．
这个条件，则 a＞b⇒ac2＞bc2 就是错误结论(当 c
＝0 时，取“＝”)．
(3)“a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n＞1)”成立的 条件是“n 为大于 1 的自然数，a＞b＞0”，假 如去掉“n 为大于 1 的自然数”这个条件，取 n ＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1＞2－1， 即13＞12”的错误结论；假如去掉“b＞0”这个 条件，取 a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现 “32＞(－4)2”的错误结论．
解析： 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆，
40x＋90y≤1 000， 则yx≥≥65.，
x，y∈N*，
4x＋9y≤100， 即xy≥≥65，，
x，y∈N*.
【变式训练】 1.某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．该车队每天至少要运 360 t 矿石至 冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次， 乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述 所有不等关系的不等式．
x，y∈N.
x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 即0≤x≤4， 0≤y≤7，
x，y∈N.
比较实数或代数式的大小 1．作差比较法 可直接作差或间接作差，作差后要注意变形彻 底，即差式易于与 0 进行大小比较． 2．作商比较法 一般看形式，当比较式子含指数问题时，多用
作商比较，注意变形以及与 1 进行比较大小．但
c≠0 这个条件，则 a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论
(∵当 c＝0 时，取“＝”)．
对于实数 a，b，c，判断下列命题的真假． (1)若 a>b，则 ac>bc； (2)若 a＞b，则 ac2＞bc2； (3)若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2；
(4)若 a＜b＜0，则1a＞1b.
解析： (1)因未知 c 的正负或是否为零，无法 确定 ac 与 bc 的大小，所以是假命题． (2)因为 c2≥0，所以只有 c≠0 时才能正确．c ＝0 时，ac2＝bc2，所以是假命题． (3)a＜b，a＜0⇒a2＞ab；a＜b，b＜0⇒ab＞b2， 命题是真命题． 变式：若 ac2＞bc2，则 a＞b，命题是真命题．
解析： 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡 车 y 辆．根据题意应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶 员人数； (2)车队每天至少要运 360 t 矿石；
(3)甲型卡车不能超过 4 辆，乙型卡车不能超
过 7 辆．
用关于 x，y 的不等式表示上述不等关系即可．
x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4， 0≤y≤7，
∴当 x＞1 时，x3＞x2－x＋1.
不等式性质的应用
在使用不等式的性质时，要先确定独立变量，再 搞清它们成立的条件． (1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个 带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过 去的．如 a≤b，b<c⇒a<c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符
号”．例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无
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1.了解合情推理的含义，能利用归纳和 类比等方法进行简单的推理，体会认识 合情推理在数学发现中的作用． 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用 它们进行一些简单推理． 推理与 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系 证明 和差异． 4.了解直接证明的两种基本方法——分析
法和综合法；了解分析法和综合法的思 考过程、特点． 5.了解数学归纳法的原理，能用数学归 纳法证明一些简单的数学命题.
．
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简单的线 性规划
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1.会从实际情境中抽象出二元一 次不等式组． 2.了解二元一次不等式的几何意 义，能用平面区域表示二元一次 不等式组． 3.会从实际情境中抽象出一些简 单的二元线性规划问题，并能加 以解决．
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基本不等式
1.了解基本不等式的证明过 程．
2.会用基本不等式解决简单 的最大(小)值问题．
q41－q
＝－qq－4 1＜0，所以有Sa33＜Sa55.综上可知有Sa33＜Sa55.
【变式训练】 2.比较下列各组中两个代数式的 大小： (1)(x－3)2 与(x－2)(x－4)；
(2)当 x＞1 时，x3 与 x2－x＋1.
解析： (1)(x－3)2－(x－2)(x－4) ＝x2－6x＋9－(x2－6x＋8)＝1＞0， ∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)． (2)x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1 ＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)， ∵x＞1，∴x3－(x2－x＋1)＞0，
成立．
1．已知 a，b 都是实数，那么“a2>b2”是“a>b” 的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/302022/1/30
2．注意区分“不等关系”和“不等式”的异 同，不等关系强调的是关系，可用“＞”， “＜”，“≥”，“≤”，“≠”表示，不等 式则是表现不等关系的式子． 3．对于实际问题中的不等关系，可以从“不
超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把
握，并考虑实际意义．
某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车， 计划使用不超过 1 000 万元的资金购买单价分 别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽 车．根据需要，A 型汽车至少买 5 辆，B 型汽 车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关系的 不等式．
3≤xy2≤8,4≤xy2≤9，则xy43的最大值是______． 【全解全析】 由 4≤xy2≤9，得 16≤xy24≤81. 又 3≤xy2≤8，∴18≤x1y2≤13， ∴2≤xy43≤27.又 x＝3，y＝1 满足条件，这时xy43＝27. ∴xy43的最大值是 27. 答案： 27
第六章 不等式、推理与证明
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不等关 了解现实世界和日常生活中存在着大 系与不 量的不等关系，了解不等式(组)的实际 等式 背景．
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等
一元二 次不等 式及其 解法
式模型． 2.通过函数图象了解一元二次不等式与 相应的函数、方程的联系． 3.会解一元二次不等式，对给定的一元 二次不等式，会设计求解的程序框图
(4)由性质定理 a＜b＜0⇒1a＞1b，命题是真命题．
【变式训练】 3.若 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，
则下列命题成立的有( )
(1)ad＞bc；(2)ad＋bc＜0；(3)a－c＞b－d；
(4)a(d－c)＞ 个
C．3 个
D．4 个
解析： 因为 a＞0＞b，c＜d＜0，所以 ad＜0， bc＞0， 所以 ad＜bc，(1)错误． 因为 a＞0＞b＞－a，所以 a＞－b＞0. 因为 c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 所以 a(－c)＞(－b)(－d)， 所以 ac＋bd＜0， 所以ad＋bc＝ac＋cdbd＜0，
2．在使用不等式的性质时，要先确定变量，再 搞清它们成立的条件． (1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带 等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去 的．如 a≤b，b＜c⇒a＜c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，
例如当 c≠0 时，有 a＞b⇒ac2＞bc2；若无 c≠0
D．m＜－n＜n＜－m
【解析】 方法一(取特殊值法)： 令 m＝－3，n＝2 分别代入各选项检验可知只 有 D 正确． 方法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于 m＜0＜n，
故 m＜－n＜n＜－m 成立． 答案： D
3．下面的推理过程
ac＞＞db⇒⇒bacc＞＞bbdc⇒ac＞bd⇒ad＞bc，
从近两年的高考试题来看，不等关系、不等 式的性质及应用等是高考的热点，题型既有 选择题，又有填空题，难度为中低档；客观 题突出对不等式性质的灵活运用，与不等式 有关的集合的运算，也是常考题型；主观题 考查绝对值不等式、不等式性质的应用，有 时考查转化思想、数形结合思想．
(2010·江 苏 卷 ) 设 x ， y 为 实 数 ， 满 足
要注意两个实数(代数式)的正负．
已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项 和为 Sn，试比较Sa33与Sa55的大小．
解析：
当
q＝1
时，S3＝ a3
3，Sa55＝5，所以Sa33＜Sa55；
当 q＞0 且 q≠1 时，
Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q－aa11q41－1－q5q＝ q21－q3－1－q5