超实用高考数学专题复习：第七章不等式 第3节基本不等式及其应用

)
A.f(x)有最小值 4
B.f(x)有最小值－4
C.f(x)有最大值 4
D.f(x)有最大值－4
(2)(角度 2)(2019·天津卷)设 x>0，y>0，x＋2y＝5，则（x＋1）（xy2y＋1）的最小值为
________.
(3)(角度 3)若 a，b，c 都是正数，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值是(
第3节 基本不等式及其应用
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅 读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好 按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼 所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。总之，在 最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答 题方式，最重要的是以平常心去面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇 到难题要想“别人也难”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归 基础，单词最好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考 前30天冲刺复习方法。
4 a＋1
＋
1 b＋c
＝
4 a＋1
＋
1 2－a
＝
4（2－a）＋（a＋1） （2－a）（a＋1）
＝
9－3a －a2＋a＋2
＝
－（a－33）（2－3－5（a）a－3）－4＝－[（3－a）3＋3－4 a]＋53×－2×1 4＋5＝3，当且仅
当 a＝1 时等号成立，所以a＋4 1＋b＋1 c的最小值是 3. 答案 (1)A (2)4 3 (3)B
)
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 (1)f(x)＝x－＋x12 ＝－x2－x＋1＋1 1＝－x－1＋x＋1 1＝－x＋1＋x＋1 1－2 ＝－(x＋1)＋－（x1＋1）＋2. 因为 x<－1，所以 x＋1<0，－(x＋1)>0，所以 f(x)≥2 1＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝－（x1＋1），即 x＝－2 时，等号成立. 故 f(x)的最小值为 4. (2)∵x>0，y>0，∴ xy>0.
知识梳理 1.基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b__时取等号.
a＋b (3)其中____2___称为正数 a，b 的算术平均数，__a_b____称为正数 a，b 的几何平 均数.
2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥__2_a_b__ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号. (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
当且仅当 2a＝81b，即 a＝－3，b＝1 时取等号.故 2a＋81b的最小值为14.
答案
1 4
考点一 利用基本不等式求最值
多维探究
角度1 配凑法求最值
【例 1－1】 (1)(2020·乐山一中月考)设 0<x<32，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为
________.
(2)若 a>0，则 a＋2a8＋1的最小值为________.
＝4 时取等号，∴x＋y≥7，故 x＋y 的最小值为 7.
答案 C
规律方法 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值.
角度3 消元法求最值 【例1－3】 若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )
)
解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式a＋2 b≥ ab成立的条件是 a≥0，b≥0. (2)函数 y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数 f(x)＝sin x＋sin4 x没有最小值. (4)x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充分不必要条件.
故当 x＝18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元.
规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内 求解.
＋12＝a＋4 12，即 a＝32时等号成立.所以 a＋2a8＋1的最小值为72.
答案
9 (1)2
7 (2)2
规律方法 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配 凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做 到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
＝ 22，y＝122时取等号，故 x＋2y 的最小值为232. 答案 A
规律方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化 为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不 等式求解.但应注意保留元的取值范围.
【训练 1】 (1)(角度 1)已知函数 f(x)＝x－＋x12(x<－1)，则(
2225，当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝125时取等号.
答案
15
15 2
6.(2018·天津卷)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋81b的最小值为________. 解析 由题设知 a－3b＝－6，又 2a>0，8b>0，所以 2a＋81b≥2 2a·81b＝2·2a－23b＝14，
角度2 常数代换法求最值
【例 1－2】(2019·龙岩一模)已知 x>0，y>0，且x＋1 1＋1y＝12，则 x＋y 的最小值为(
)
A.3
B.5
C.7
D.9
解析
∵x>0
，
y>0
，
且
1 x＋1
＋
1 y
＝
1 2
，
∴x
＋
1
＋
y
＝
2
x＋1 1＋1y
(x
＋
1
＋
y)
＝
21＋1＋x＋y 1＋x＋y 1≥22＋2 x＋y 1·x＋y 1＝8，当且仅当x＋y 1＝x＋y 1，即 x＝3，y
3.利用基本不等式求最值 已知 x≥0，y≥0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y__时，x＋y 有最__小___值是 2 p(简记： 积定和最小). (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当__x_＝__y__时，xy 有最__大___值是s42(简记：和定 积最大).
解析 (1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋（32－2x）2＝92，当且仅当 2x＝3－2x，
即 x＝34时，等号成立.∵34∈0，32，∴函数 y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92.
(2)由题意可知 a＋2a8＋1＝a＋12＋a＋4 12－12≥2
a＋12×a＋4 12－12＝72，当且仅当 a
[常用结论与微点提醒]
1.ba＋ab≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2.
3.1＋2 1≤ ab≤a＋2 b≤ ab
a2＋2 b2(a>0，b>0).
4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会
出错.
5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，
【训练 2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业 的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019 年 1 月起开展网络 销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足函数关系式 x＝3－t＋2 1.已知 网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格为 32 万元，若 每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装 费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元.
答案 D
3.(新教材必修第一册 P45 例 1 改编)若 x<0，则 x＋1x(
)
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
解析 因为 x<0，所以－x>0，x＋1x＝－－x＋－1x≤－2
当且仅当 x＝－1 时，等号成立，所以 x＋1x≤－2.
22 A. 3
2 B. 3
3 C. 3
23 D. 3
解析
因为正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，所以 y＝1－6xx2.由xy>>00， ，即1x>－60xx，2>0，解
得 0<x<1.所以 x＋2y＝x＋1－3xx2＝23x＋31x≥2 23x·31x＝23 2，当且仅当23x＝31x，即 x
则一定要保证它们等号成立的条件一致.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.(
)
(2)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.(
)
(3)函数 f(x)＝sin x＋sin4 x的最小值为 4.(
)
(4)x＞0 且 y＞0 是xy＋yx≥2 的充要条件.(
∵x＋2y＝5，∴（x＋1）（xy2y＋1）＝2xy＋x＋xy2y＋1＝2xyx＋y 6＝2 xy＋ 6xy≥2 12＝ 4 3，
当且仅当 2
xy＝
6 ，即 xy
x＝3，y＝1
或
x＝2，y＝32时取等号.
∴（x＋1）（2y＋1）的最小值为 xy
4
3.
(3)由题意可得 b＋c＝2－a>0，所以 0<a<2.
解析 由题意知 t＝3－2 x－1(1<x<3)，设该公司的月利润为 y 万元，则 y＝48＋2txx －32x－3－t＝16x－2t －3＝16x－3－1 x＋12－3＝45.5－16（3－x）＋3－1 x≤45.5－ 2 16＝37.5，当且仅当 x＝141时取等号，即最大月利润为 37.5 万元. 答案 37.5
答案 D
（－x）·－1x＝－2，
4.(2020·安徽江南十校联考)已知实数
x
满足
log1x>1，则函数
2
y＝8x＋2x－1 1的最大值为
()
A.－4
B.8
C.4
D.0
解析
由
log1x>1
2
得
0<x<12，∴－1<2x－1<0.y＝8x＋2x－1 1＝4(2x－1)＋2x－1 1＋4＝
－4（1－2x）＋1－12x＋4≤－4＋4＝0，当且仅当 4(1－2x)＝1－12x，即 x＝14时，
解 (1)所用时间为 t＝13x0(h)，y＝13x0×2×2＋3x620＋14×13x0，x∈[50，100]. 所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y＝130×x 18＋2×361030x，x∈[50，100](或
y＝2 3x40＋1138x，x∈[50，100]). (2)y＝130×x 18＋2×361030x≥26 10，当且仅当130×x 18＝2×361030x，即 x＝18 10时等 号成立.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(新教材必修第一册 P48T1 改编)已知 x>2，则 x＋x－4 2的最小值是(
)
A.2
B.4
C.2 2
D.6
解析 ∵x>2，∴x＋x－4 2＝(x－2)＋x－4 2＋2≥2 （x－2）×x－4 2＋2＝4＋2＝6.当
x－2＝x－4 2，即 x＝4 时等号成立.
考点二 基本不等式的实际应用 【例 2】 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制
50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 2＋3x620升，司机的工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式； (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
取等号，故选 D.
答案 D
5.(多填题)(2019·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋22y2＝