2025届安徽省合肥六中高考仿真卷数学试题含解析

2025届安徽省合肥六中高考仿真卷数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()4sin 5πα+=
，且sin 20α<，则tan 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A ．7
B ．7-
C ．
17
D ．17
-
2．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
12
D ．12
-
3．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）
A 3
B 6
C 3
D 33 4．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为(
)
3
2
222x y x y +=.给出下
列四个结论：
①曲线C 有四条对称轴；
②曲线C 上的点到原点的最大距离为
14
； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
18
；
④四叶草面积小于
4
π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．①②④
5．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.8
6．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与
平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤
⎥⎝⎦
；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC
内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1
B ．1
C ．3
D ．4
7．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则
()3log 2a f =，3
12b f ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
8．若复数5
2z i
=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +
B ．2i -
C ．12i +
D ．12i -
9．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
（ ） A ．
1
3
B ．22
3
-
C ．23
-
D ．13
-
10．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足
()12log 2f a f ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()4,+∞
11．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1
B ．-1
C ．0
D ．2
12．M 是抛物线2
4y x =上一点，N 是圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最
小值是（ ） A ．
1112
- B ．31- C ．221-
D ．
32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()121x
x
f x e e
b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是________.
14．8
122x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式的第5项的系数为_____.
15．已知向量()1,1m =，()2,1n =-，()1,g λ=，若()
2g m n ⊥+，则λ=______. 16．已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设数列
的前项和为，且
，数列
满足
，点
在
上，
（1）求数列，
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和． 18．（12分）已知()21f x x =+，()3g x x =-. （1）解()()f x g x ≥；
（2）若21a b -≤，证明：()()4f a g b +≥.
19．（12分）已知函数()2
x ax f x e
=，直线1y x e =为曲线()y f x =的切线（e 为自然对数的底数）．
（1）求实数a 的值；
（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()()1min ,0g x f x x x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭
，若函数
()()2h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．
20．（12分）在①53A B =，②122
114a a B -=，③535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d .设,n n A B 分别是数列{}{},n n a b 的前n 项和，且
123,3b A ==， ，
（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）设1
3
2n
a n n n c
b b +=+
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,
3sin x y αα=⎧⎨
=⎩
（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 6ρθρθ+=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若射线m 的极坐标方程为3
π
θ=
（0ρ≥）.设m 与C 相交于点M ，m 与l 相交于点N ，求||MN .
22．（10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线. （1）求B ；
（2
）若b =3a =，且2AD DC =，求BD 的长度.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
由()4
sin 5
πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】
因为()4sin 5
πα+=
，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3
cos 5α=，
4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13
πααα--
-⎛⎫-=
== ⎪+⎝
⎭-. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2、B 【解析】
由等差数列的性质和已知可得623
a π=，即可得到9343a a π
+=，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623
a π
=， 9633
24a a a π+=
=∴， (
)394sin
sin s si in 333n a a ππππ∴⎛
⎫=+=-= =⎪⎝+⎭
故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题． 3、C 【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,A D F 三点重合，记作D ，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，表示出三角形EGH 的三条边长，用余弦定理即可求得cos EGH ∠. 【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,A D F 三点重合，记作D ：
则G 为BD 中点，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，设正四面体的棱长均为a ， 由中位线定理可得//GH BC 且1122
GH BC a =
=， 所以EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，
2
2
132EG EH a a ⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
， 由余弦定理可得222
cos 2EG GH EH EGH EG GH
+-∠=
⋅ 2223133444631
2a a a
a a
+-==⨯⋅， 所以直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为3
6
， 故选：C. 【点睛】
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题. 4、C 【解析】
①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4
π. 【详解】
①：当x 变为x -时， ()
3
2222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；
当y 变为y -时，()
3
2222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；
当y 变为x 时，()
3
22
22x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；
当y 变为x -时，()
3
22
22x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；
综上可知：有四条对称轴，故正确； ②：因为(
)
3
2222x y x y +=，所以()
2
223
2222
2x y x y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
所以2
2
14
x y +≤
12≤，取等号时22
18x y ==，
所以最大距离为1
2
，故错误；
③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为()
3
22
22x y x y +=，所以()()33
22222x y x y xy =+≥，所以18
xy ≤，
取等号时4
x y ==
，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；
④：由②可知2
2
14
x y +≤
，所以四叶草包含在圆22
14x y +=的内部，
因为圆的面积为：144S π
π=⋅=，所以四叶草的面积小于4
π，故正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明. 5、B 【解析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为51
0.5102
==. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题. 6、C 【解析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】 画出图形：
若O 为ABC 的外心，则2OA OB OC ===
，
PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥
可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得
222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，②错误;
若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ 可得2,2OC OA OB PC ===
=，
设C 到平面PAB 的距离为d 由C PAB P ABC V V --=可得
1111
2223232
d AC BC ⋅⋅⋅=⋅ 即有22
2242
AC BC AC BC d
+⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.
可得d 2，2sin 2
2
d θ=
即θ的范围为0,4
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
，③正确；
取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN
由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而1
22
KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【点睛】
此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 7、C 【解析】
∵y=f （x+1）是偶函数，∴f （-x+1）=f （x+1），即函数f （x ）关于x=1对称．
∵当x≥1时，()112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
为减函数，∵f （log 32）=f （2-log 32）= f （923
log ）
且
-=34，log 34＜923log ＜3，∴b ＞a ＞c ，
故选C 8、B
【解析】
根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】
55(2)10522(2)(2)5
i i
z i i i i ++=
===+--+, ∴2z i =-,
故选：B 【点睛】
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 9、D 【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】
//a b ∴
1
cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫
∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题. 10、C 【解析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分
析可得()()()1
222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫
<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭
，解可得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】
将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，
由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称， 即函数()y f x =为偶函数，由()12
log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝
⎭
，得()()2
log 2f
a f <，
函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得
1
44
a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题. 11、A 【解析】
根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】
复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++
-，
所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 12、C 【解析】
求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的
对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解. 【详解】 如下图所示：
设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，
则12
1022
211
a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，
所以，圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2
231x y -+=，
设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()
2
24222213948416216y y y MC y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭
当2y =±时，MC 取最小值min min 11MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、((
)
1,,1e e e --
【解析】
设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，设()1122t t g t e e +-=-，函数为奇函数，()1122'0t t
g t e e +-=+>，函数单调递增，
()()
'021g e =<-，画出简图，如图所示，根据()221b e <<-，解得答案.
【详解】
()1112122x x x x f x e e b x e e b x --=---=---
，设12t x =-，11,22t ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则12x t =+. 原函数等价于函数11
2
2
2t t y e e
b t +-=--，即112
2
2t t e
e
b t +--=有两个解.
设()112
2
t t g t e
e
+-=-，则()()112
2
t t g t e
e
g t -+-=-=-，函数为奇函数.
()1
12
2
'0t t g t e
e
+-=+>，函数单调递增，()00g =，112g e ⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
，112g e ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭. 当0b =时，易知不成立；
当0b >时，根据对称性，考虑0x ≥时的情况，()()'021g e =<-，
画出简图，如图所示，根据图像知：故()221b e <<-1b e <<-，
根据对称性知：(()
1,,1b e e e ∈--.
故答案为：((
)
1,,1e e e --.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键. 14、70 【解析】
根据二项式定理的通项公式()
122r
n r
r
r n T C x x -+⎛
= ⎝，可得结果. 【详解】
由题可知：第5项为()454
4
8
22x x T C ⎛
⎝=
故第5项的的系数为448
4
12702C ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭
故答案为：70. 【点睛】
本题考查的是二项式定理，属基础题。

15、-1 【解析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论． 【详解】
由已知2(4,1)m n +=，∵()
2g m n ⊥+，∴()
240g m n λ⋅+=+=，4λ=-． 故答案为：－1． 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 16、322+ 【解析】
m n mn +=⇒
11
1m n +=，所以有2m n +=(2)m n +112()3m n m n n m
+=++，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】 由已知，
11
1m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()3322m n m n n m
+=++≥+， 当且仅当2m n m n mn
⎧=⎪⎨
+=⎪⎩，即22
21,2m n +=+=时，等号成立.
故答案为：322+ 【点睛】
本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1），
（2）.
【解析】
（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列
是等差数列，用公式
求解即可.(2)用错位相减法求数列的和. 【详解】 由可得
， 两式相减得
，
．
又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．
由点在直线上，所以．
则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则
因为
，所以
．
则，
两式相减得：．
所以．
【点睛】 用递推关系
求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和
一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解. 18、（1）(]1,5,3⎡⎫
-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）见解析. 【解析】
（1）在不等式213x x +≥-两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果； （2）利用绝对值三角不等式可证得()()4f a g b +≥成立. 【详解】 （1）
()21f x x =+，()3g x x =-，由()()f x g x ≥得213x x +≥-，
不等式两边平方得()()2
2
223x x +≥-，即()()3150x x -+≥，解得5x ≤-或1
3
x ≥. 因此，不等式()()f x g x ≥的解集为(]
1,5,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
； （2）
21a b -≤，121a b ∴-≤-≤，
由绝对值三角不等式可得()()()()223223f a g b a b a b +=++-≥+--2525154a b a b =-+≥-+≥-+=. 因此，()()4f a g b +≥. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
19、（1）01a x ==；（2）31,2e ⎛
⎤-∞-
⎥⎝⎦
.
【解析】
试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于
1
e
求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得01a x ==；（2）设()f x 与1x x -
交点的横坐标为0x ，利用导数求得()()0
201
,01min ,{,x x x x x g x f x x x x
x x e
-<≤⎧⎫=-=⎨⎬⎩
⎭>，从而()()20
22
2
01
,0{
,x
x cx x x x h x g x cx x cx x x e -
-<≤=-=->，然后利用()'0h x ≥求得c 的取值范围为31,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦. 试题解析：
（1）对()f x 求导得()()
()2222?··x x
x x x x xe x e f x a a e e --=='． 设直线1
y x e
=
与曲线()y f x =切于点()00,P x y ，则 ()00200001
{21
·x x ax x e e x x a e e
=-=，解得01a x ==，
所以a 的值为1．
（2）记函数()()211,0x x F x f x x x x x e x ⎛
⎫=--=-+> ⎪⎝
⎭，下面考察函数()y F x =的符号，
对函数()y F x =求导得()()2
21
1,0x
x x F x x e x -=
--
>'． 当2x ≥时，()0F x '<恒成立．
当02x <<时，()()2
2212x x x x +-⎡⎤
-≤=⎢⎥⎣⎦
，
从而()()222221*********x
x x x F x e x e x x x
-=
--
≤--<--=-<'． ∴()0F x '<在()0,∞+上恒成立，故()y F x =在()0,∞+上单调递减．
()()2143
10,202
F F e e =
>=-<，∴()()120F F <，
又曲线()y F x =在[]1,2上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃唯一的()01,2x ∈，使
()00F x =．
∴()()00,,0x x F x ∈>；()0,x x ∈+∞，()0F x <，
∴()()0
2
01
,01min ,{
,x
x x x x
g x f
x x x x x x e -<≤⎧⎫=-=⎨⎬⎩
⎭>， 从而()()202
22
01
,0{
,x x cx x x x
h x g x cx x cx x x e
-
-<≤=-=->，
∴()()
20
1
12,0{22,x
cx x x x
h x x x cx x x e +-<<-->'=，
由函数()()2
h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在()0,∞+上连续不断知()0h x '≥在()00,x ，()0,x +∞上恒成
立．
①当0x x >时，()220x
x x cx e
--≥在()0,x +∞上恒成立，即22x x
c e -≤在()0,x +∞上恒成立， 记()0
2,x x u x x x e -=
>，则()03
,x
x u x x x e '-=>， 当x 变化时，()(),u x u x '变化情况列表如下：
∴()()()3
min 3u x u x u e 极小===-
，
故“22x x c e -≤
在()0,x +∞上恒成立”只需()3min
12c u x e ≤=-，即3
1
2c e ≤-． ②当00x x <<时，()21
12h x cx x
-'=+，当0c ≤时，()0h x '>在()00,x 上恒成立，
综合①②知，当312c e
≤-时，函数()()2
h x g x cx =-为增函数．
故实数c 的取值范围是31,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
考点：函数导数与不等式. 【方法点晴】
函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得()()()1min ,0g x f x x x x ⎧
⎫=->⎨⎬⎩⎭
的表达式，然后再求得()h x 的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求c 的取值范围了.
20、（1）,21n n a n b n ==+；（2）13(2)
223
n n n ++-
+
【解析】
方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n 项和公式列方程组，求出1a 和d ，从而写出数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）由第（1）题的结论，写出数列{}n c 的通项311222123n
n c n n ⎛⎫
=+
- ⎪++⎝⎭
，采用分组求和、等比求和公式以及裂
项相消法，求出数列{}n c 的前n 项和n S . 其余两个方案与方案一的解法相近似. 【详解】 解：方案一：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且2533,A A B ==，
112351096a d a d d +=⎧∴⎨+=+⎩，解得111
a d =⎧⎨=⎩ 1(1)n a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n
b b n d n =+-=+
综上,21n n a n b n ==+
（2）由（1）得：
331122(21)(23)22123n n n c n n n n ⎛⎫
=+
=+- ⎪++++⎝⎭
231111
11
(222)[()()(
)]23557
2123
n n S n n ∴=++
++-+-+
+-++ (
)21231112
23
23n n -⎛⎫=
+-
⎪-+⎝⎭
13(2)
223
n n n ++=-
+
方案二：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且2122
114
3,
A a a
B =-=， ()111
234(62)a d a a d d d +=⎧∴⎨+=+⎩解得111a d =⎧⎨=⎩ 1(1)n a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n b b n d n =+-=+.
综上，,21n n a n b n ==+ （2）同方案一 方案三：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且523,35A B ==.
123
54352352a d d +=⎧⎪
∴⎨⨯⨯+⨯=⎪⎩
，解得111a d =⎧⎨=⎩， (1)n t a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n b b n d n =+-=+.
综上，121n n a n b n ==+ （2）同方案一 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.
21、（1）曲线C 的普通方程为2
2
19
y x +=；直线l 的直角坐标方程为60x y +-=（2）||6MN =
【解析】
（1）利用消去参数α，将曲线C 的参数方程化成普通方程，利用互化公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩，
将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据（1）求出曲线C 的极坐标方程，分别联立射线m 与曲线C 以及射线m 与直线l 的极坐标方程，求出1ρ和2ρ，即可求出||MN . 【详解】
解：（1）因为cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数），所以消去参数α，得2
2
19y x +=，
所以曲线C 的普通方程为2
2
19
y x +=.
因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
所以直线l 的直角坐标方程为60x y +-=.
（2）曲线C 的极坐标方程为222
2
sin cos 19
ρθ
ρθ+=.
设,M N 的极径分别为1ρ和2ρ，
将3
π
θ=（0ρ≥）代入222
2
sin cos 19
ρθ
ρθ+
=，解得1ρ=
将3
π
θ=
（0ρ≥）代入sin cos 6ρθ
ρθ=，解得26ρ=.
故12||6MN ρρ=-=.
【点睛】
本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩将极坐标方程化为直角坐标方程，还考
查极径的运用和两点间距离，属于中档题.
22、（1）3
B π
=（2）BD =【解析】
（1）根据共线得到(2)cos cos a c B b C -=，利用正弦定理化简得到答案.
（2）根据余弦定理得到9c =，cos
C =
，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】 （1）∵(2,)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，∴(2)cos cos a c B b C -=. 即(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+= 即sin (2cos 1)0A B -=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =
，∵(0,)B π∈，∴3B π=.
（2）b =3a =，3B π
=，在ABC 中，由余弦定理得：
22229631cos 2232
a c
b
c B ac c +-+-===⨯⨯，∴23540c c --=. 则9c =或6c =-（舍去）.
∴222cos
2a b c C ab +-===，∵2AD DC =∴13DC b ==在BDC 中，由余弦定理得：
2222cos 972319
BD CB DC CB DC C =+-⋅=+-⨯=，
∴BD =【点睛】 本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.。