2021届河南省洛阳市第一高级中学高三上学期10月月考数学(理)试题(解析版)

2021届河南省洛阳市第一高级中学高三上学期10月月考数
学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{|||2,}M x x x Z =≤∈，2{|230}N x x x =--<，则M N =（ ）
A ．(1,2]-
B ．[1,2]-
C ．{0,2}
D ．{0,1,2}
【答案】D
【分析】可以先求出集合,M N ，然后进行交集的运算即可. 【详解】
{}
{}{}2,22,2,1,0,1,2M x x x Z x x x Z =≤∈=-≤≤∈=--，
{}
{}223013N x x x x x =--<=-<<，
因此，{}0,1,2M N =.
故选：D.
【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于容易题. 2．下列命题中错误的是（ ）
A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题
B ．命题
“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题 D ．00,x ∃>使“00x x a b >”是
“0a b >>”的必要不充分条件 【答案】C
【分析】A .利用原命题和其逆否命题的真假一致原理可以判断该命题是正确的；
B .利用特称命题的否定可以判断该命题是正确的；
C .,p q 中至少有一个是真命题，则p q ∧不一定是真命题，所以该命题是错误的；
D .里哟红必要不充分的定义可以判断该命题是正确的.
【详解】A .命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，所以它的逆否命题是真命题，所以该命题是正确的；
B .命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”,所
以该命题是正确的；
C .若p q ∨为真命题，,p q 中至少有一个是真命题，则p q ∧不一定是真命题，所以该
命题是错误的；
D .00,x >00x x a b >，不一定有“0a b >>”，如：01,1,2x a b ==-=-，所以是非
充分条件；00,x >“0a b >>”,一定有00x x a b >，所以是必要条件.所以该命题是正确的. 故选：C
【点睛】本题主要考查四种命题和特称命题的否定，考查复合命题的真假，考查充分条件和必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若p:()000,:f x q x x '==是()f x 的极值点，则（） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要
条件
C ．p 是q 的必要条件但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】C
【解析】试题分析：根据函数极值的定义可知，函数0x x =为函数()y f x =的极值点，
()00f x '=一定成立，但当()00f x '=时，函数不一定取得极值，比如函数()3f x x =，
函数的导数()2
3f x x '=，当0x =时，()00f x '=，但函数()3
f x x =单调递增，没
有极值，则p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，故选C ． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判定．
4．若α，β为锐角，且2cos()sin(
)6
3
π
π
αβ-=+，则（ ） A ．3
π
αβ+=
B ．6
π
αβ+=
C ．3π
αβ-= D ．6
παβ-=
【答案】C
【分析】化简已知得cos()=cos(+)66
π
π
αβ-，再通过分析角的范围结合余弦函数的图
象即得解.
【详解】因为2cos(
)sin(
)63
π
π
αβ-=+，
所以cos()sin(+)=cos(+)6266ππππ
αββ-=+，
因为0,022
ππ
αβ<<<<，
所以
2
,
366663ππππππ
α
β
-<-<<+<，
所以(),
663
πππ
αβαβ
-=-+∴-=.
故选：C
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和余弦函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．O为ABC
∆内一点，且20
OA OB OC
++=，AD t AC
=，若B，O，D三点共线，则t的值为（）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
2
D．
2
3
【答案】A
【解析】试题分析：由AD t AC
=有()
OD OA t OC OA
-=-,所以
(1)
OD tOC t OA
=+-,因为B，O，D三点共线,所以BO OD
λ
=,则
2(1)
OA OC tOC t OA
λλ
+=+-,故有
2(1)
{
1
t
t
λ
λ
=-
=
,
1
3
t=,选A.
【考点】1.向量共线的条件；2.两向量相等的条件.
6．由y x
=，1
y
x
=，2
x=及x轴所围成的平面图形的面积是（）
A．ln21
+B．2ln2
-C．
1
ln2
2
-D．
1
ln2
2
+
【答案】D
【分析】画出三个函数的图像，求出它们交点的坐标，利用定积分计算图形的面积. 【详解】画出图像如下图所示，由图可知，所围成的平面图形的面积
2
2
1
1
1111
11ln|ln2
222
S dx x
x
=⨯⨯+=+=+
⎰.故选D.
【点睛】本小题主要考查利用定积分来计算曲边图形的面积，考查了数形结合的数学思想方法.属于基础题.
7．已知非零实数,a b满足||||
a a
b b
>，则下列不等式一定成立的是（）
A ．33 a b >
B ．22 a b >
C ．
11a b
< D ．
112
2
log ||log ||a b <
【答案】A
【分析】由非零实数,a b 满足||||a a b b >，通过分类讨论，求得a b >，再结合函数的单调性，不等式的性质等，即可求解.
【详解】由题意，非零实数,a b 满足||||a a b b >，
当0,0a b >>时，由||||a a b b >，可得22a b >，即0a b >>； 当0,0a b ><时，由||||a a b b >，可得a b >； 当0,0a b <<时，由||||a a b b >，可得22a b ，可得0a b >>，
综上可得a b >，
由幂函数()3
f x x =在R 上为单调递增函数，可得33 a b >，所以A 是正确的；
由22
()()a b a b a b -=+-，正负不能确定，所以B 不正确； 由
11b a a b ab
--=，正负不能确定，所以C 不正确； 由111
2
2
2
log ||log ||log a
a b b
-=，正负不能确定，所以D 不正确. 故选：A.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，函数的单调性，以及作差比较法的应用，其中解答中分类讨论求得a 和b 的关系，再结合不等式性质、函数单调性及作差比较进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<
【答案】A
【分析】利用10,,12
等中间值区分各个数值的大小．
【详解】551log 2log 2
a =<<
， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，
10.200.50.50.5<<，故
1
12
c <<， 所以a c b <<． 故选A ．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －＝cosC
cosB
，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．D
【答案】A
【分析】由已知式子和正弦定理可得3
B π
=，再由余弦定理可得16ac ≤，由三角形的
面积公式可得所求． 【详解】∵在△ABC 中
2a c b －＝cos cos C
B
， ∴()2cos cos a c B b C -=，
由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，
∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=． 又sin 0A ≠， ∴1
cos 2
B =
， ∵0B π<<， ∴3
B π
=
．
在△ABC 中，由余弦定理得
22222b 162cos 2a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+--=，
∴16ac ≤，当且仅当a c =时等号成立．
∴△ABC 的面积1sin 24
S ac B ac ==≤故选A ．
【点睛】解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
10．已知6
x π
=
是函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()()2
f f π
π<，则
()f x 的单调递增区间是（ ）
A ．2[,]()6
3
k k k Z π
π
ππ+
+
∈ B ．，[,]()3
6
k k k Z π
π
ππ-+
∈
C ．[,]()2
k k k Z π
ππ+∈
D ．[,]()2
k k k Z π
ππ-
∈
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象的对称性求得ϕ的值，求得函数的解析式，再结合正弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由6
x π
=是函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，
可得sin(2)16π
ϕ⨯
+=±，解得,32ππ
φk πk Z +=+∈，即6
,k k Z πϕπ=+∈，
因为()sin()sin ,()sin(2)sin 2
f f π
πϕϕππϕϕ=+=-=+=且()()2
f f π
π<，
所以sin sin ϕϕ-<，即sin 0ϕ>， 所以2,6
k k Z π
ϕπ=+∈，所以()sin(22)sin(2)66
f x x k x π
π
π=+
+=+，
令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
所以函数()f x 的单调递增区间为[,
],3
6
k k k Z π
π
ππ-++∈.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记正弦函数的对称性，单调性等知识是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11．已知函数()2x f x e x =+-的零点为a ，函数()2g x lnx x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．ln 2+>a e b B ．ln 2+<a e b C ．223a b +< D ．1ab >
【答案】C
【分析】本题首先可以绘出函数x
y e =、ln y x =、2y x =-的图像，然后结合题意得出(,)a
A a e 、(,ln )
B b b ，根据反函数性质知A 、B 关于()1,1对称，从而判断出A 、B 、
D 错误，再然后根据函数()f x 的单调性、(0)0f <以及1
()02
f >得出1
02
a <<
，最后根据点(,)a
A a e 在直线2y x =-上即可判断出C 正确.
【详解】令()0f x =、()0=g x ，则2=-x e x 、ln 2x x =-， 在同一坐标系中分别绘出函数x
y e =、ln y x =、2y x =-的图像，
因为函数()2x
f x e x =+-的零点为a ，函数()2
g x lnx x =+-的零点为b ，
所以(,)a
A a e ，(,ln )
B b b ，
因为函数x
y e =与ln y x =互为反函数， 所以由反函数性质知A 、B 关于()1,1对称，
则2a b +=，ln 2+=a
e b ，2
()14
a b ab +≤=，A 、B 、D 错误，
因为()e 10x
f x '=+>，所以()f x 在R 上单调递增，
因为(0)10f =-<，13()02
2
f e =
>，所以102a <<，
因为点(,)a
A a e 在直线2y x =-上， 所以2=-=a e a b ，2
2
2
21
34
a
a b a e e +=+<
+<，故C 正确， 故选：C.
【点睛】本题考查函数零点的性质，可通过将函数零点转化为两个函数交点的形式求解，考查借助函数图像解决问题的能力，考查通过二分法确定函数零点的位置，体现了综合性，是难题.
12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且
(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）
A ．有极小值，无极大值
B ．有极大值，无极小值
C ．既有极小值又有极大值
D ．既无极小值又无极大值
【答案】A
【解析】
∵()()()2
0x f x xf x f x e x x x '
⎛⎫'-==> ⎪⎝⎭
，∴()f x x 在()0,∞+上是增函数，∵()()x
xf x f x xe '-=，∴()()x f x f x e x
'=
+，∵x y e =在()0,∞+上是增函数，
∴()f x '在()0,∞+上是增函数，又∵()130f e '=-+<，()2
200f e '=+>，故
()f x '在()0,∞+上先负值，后正值；故函数()y f x =有极小值，无极大值，故选A.
二、填空题
13
．函数sin y x x =-
的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移_______个单位长度得到. 【答案】
23
π 【分析】先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式，再根据三角函数图像变换遵循“左加右减”规律求解.
【详解】设(
)5sin 2sin 3
f x x x x π⎛⎫=-=+
⎪⎝
⎭
， (
)sin 2sin 3g x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
将()g x 的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数：
()()52sin 2sin 33g x x x f x ππϕϕ⎛⎫⎛
⎫
-=-+=+
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
， 所以()523
3
x x k k Z π
π
ϕπ-+
=+
+∈， 此时()423
k k Z π
ϕπ=--
∈， 当1k =-时，ϕ有最小值为
23
π. 故答案为：
23
π
. 【点睛】本题主要考查了辅助角公式以及图像变换问题.属于较易题. 14．已知向量a 与b 的夹角为o 30，且||1a =，|2|1a b -=，则||b =_____.
【分析】首先计算()
2
21a b -=，再根据数量积的公式转化为关于b 的一元二次方程
求解. 【详解】
21a b -=，()
2
222441a b
a a
b b ∴-=-⋅+=，
1a =，向量a 与b 的夹角为o 30，
23
4411
b b ∴-⨯⨯⨯+=，即22330b b -+=， 整理为()
2
30b -=，
所以3b =.
【点睛】本题考查向量数量积公式，模的计算，重点考查计算能力，属于基础题型. 15．若函数3()ln(1)2x f x e ax =++是偶函数，则a =_____. 【答案】34
-
【分析】根据函数奇偶性的定义，得到33ln(1)2ln(1)2x
x e ax e ax -+-=++，结合对数
的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，函数3()ln(1)2x
f x e
ax =++是偶函数，
根据函数奇偶性的定义，可得()()f x f x -=，即33ln(1)2ln(1)2x x
e ax e ax -+-=++，
可得333331
4ln(1)ln(1)ln ln 31
x x
x
x x e ax e e
e x e --+-=+-+===+，解得34a =-.
故答案为：3
4
-
. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增；
③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2； 其中所有正确结论的编号是_________. 【答案】①④
【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可．
【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ， ∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；
当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，故②错； 当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，
根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[
),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；
当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 0
0,sin 0x x x ≥⎧=⎨
<⎩
， 根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，
∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对； 故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．
三、解答题
17．如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,3AC DC =．
（Ⅰ）若6
DAC
，求角B 的大小；
（Ⅱ）若2BD DC =，且23AD =DC 的长． 【答案】 （I ）60B ∠=︒；（II ）2.
【分析】（1）先根据正弦定理求得sin ADC ∠，由此得到ADC ∠的值，进而求得C ∠，在直角三角形ABC 中求得B 的大小.（2）设DC x =，利用DC 表示出,AB BD ，求得sin ,cos B B 的值，利用余弦定理列方程，解方程求出x ，也即求得DC 的值. 【详解】（1）在ADC ∆中，根据正弦定理，有sin sin AC DC
ADC DAC
=∠∠，
∵3AC DC =，
∴3sin 3sin ADC DAC ∠=∠=
， 又006060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>， ∴0120ADC ∠=，
于是00001801203030C ∠=--=， ∴060B ∠=.
（2）设DC x =，则2BD x =，3BC x =，3AC x =
，
于是3sin AC B BC =
=
，6
cos B =，6AB x =， 在ABD ∆中，由余弦定理，得2222?cos AD AB BD AB BD B =+-， 即(2
2226
23
642622x x x x x =+-⨯=， 6x =6DC =【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础题.
18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2
243n n n a a S +=+.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）21n a n =+；（2）
3(23)
n
n +.
【分析】（1）利用n a 与n S 关系可证得数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果；
（2）整理得到n b ，利用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）
2
243n n n a a S +=+，
2
111243n n n a a S +++∴+=+， 221112()4n n n n n a a a a a +++∴-+-=，
即22
11112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-.
0n a >， 12n n a a +∴-=.
又2
111243a a a +=+，
13a ∴=，11a =-(舍去)，
{}n a ∴是首项为3，公差为2的等差数列，
通项公式为21n a n =+. （2）由21n a n =+， 得111111
()(21)(23)22123
n n b a a n n n n +=
==-++++. 设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则12n n T b b b =++
+
1111111111[()()(
)]23557
212323233(23)
n
n n n n ⎛⎫=-+-++-=-= ⎪++++⎝⎭.
所以数列{}n b 的前n 项和为
3(23)
n
n +.
【点睛】本题考查利用n a 与n S 关系求解数列通项公式以及裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，属于较易题.
19．已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=--
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅． （1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边若24
c M π
+∈且c ＝1，求△ABC 的周长的取值范围．
【答案】（1）1,5,12x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
；（2）(]2,3.
【解析】试题分析：（1）利用平面向量数量积运算公式，通过降幂公式及辅助角公式
可将()f x 化简为()sin 232
f x x π⎛⎫
=- ⎪
⎝
⎭－
，利用三角函数的性质可得最值及集合M ；（2）由
24C M π+∈结合角的范围可得3
C π
=，利用余弦定理结合均值不等式可得2a b +≤，结合c 的值即可得周长的取值范围.
试题解析：
（1）()
cos a x x =，
()
21sin cos sin2cos2sin 222232f x a b x x x x x x π⎛
⎫=⋅==--=-
⎪⎝
⎭－
，()f x ∴的最大值为12
-
，此时22,32x k πππ-=+ 即512x k ππ=+
5,12k z M x x k k z π
π⎧⎫∈∴=+∈⎨⎬⎩⎭
（2）
24C M π+∈ 52412C k πππ∴+=+，23
C k π
π=+, ()0,C π∈ 3
C π
∴=
1c =由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+- ()()()()2
2
2
2
334
4
a b a b a b ab a b ++=+-≥+-
=
2a b ∴+≤
又
1a b +>, 故23a b c <++≤，即周长的范围为(]2,3∈.
20．已知函数2()ln f x x ax x =+-，a R ∈；
(Ⅰ)若函数()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,]x e ∈(e 是自然对数的底数)时，函数
()g x 的最小值是3．若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【详解】试题分析：(1)()212120x ax f x x a x x
+-=+-=≤'在[1,2]上恒成立
令h(x)＝2x 2＋ax －1，x ∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立
()()110
{2720h a h a =+≤∴=+≤得1
{72
a a ≤-≤-，7
2
a ∴≤-. (2)假设存在实数a ，使g(x)＝f(x)－x 2，x ∈(0，e]有最小值3 g(x)＝ax －lnx ，x ∈(0，e]，g′(x)＝a －
1x ＝1ax x
- ①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减 ∴g(x)min ＝g(e)＝ae －1＝3，∴a ＝4
e
(舍去) ②当0<
1a <e 即a>1e
时，在(0，1a )上，g′(x)<0；在(1
a ，e]上，g′(x)>0 ∴g(x)在(0，
1a ]上单调递减，在(1
a
，e]上单调递增 ∴g(x)min ＝1g a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝1＋lna ＝3，∴a ＝e 2
满足条件 ③当
1
a ≥e 即0<a≤1e
时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减 g(x)min ＝g(e)＝ae －1＝3 ∴a ＝
4e >1
e
(舍去) 综上所述，存在a ＝e 2使得当x ∈(0，e]时，g(x)有最小值3. 【考点】函数导数判定单调性求最值
点评：第一小题已知函数在某一区间上是减函数得到结论()0f x '≤，学生解题时容易忽略等号写成()0f x '<，第二问要分情况讨论极值点与区间(0，e]的关系从而确定在区间(0，e]上的单调性求出函数最值 21．已知函数()x f x xe =.
（1）求函数()f x 的单调区间与极值； （2）若函数()()2
a
g x f x ax =-+
在(0,)+∞上存在两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，递增区间为(1,)-+∞，极小值为
1
e
-，无极大值；（2）(2,)e +∞. 【分析】（1）求出()f x 的导函数和单调区间，从而得到极值； （2）利用()()2
a
g x f x ax =-+
的单调性，对a 进行讨论，结合零点情况可得答案. 【详解】（1）()(1)x
f x x e '=+.
当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x <，当(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 所以1x =-是函数()f x 的极小值点，()f x 的极小值为1
(1)f e
-=-
. 综上，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，递增区间为(1,)-+∞， 极小值为1e
-，无极大值. （2）()()2
a g x f x ax =-+
，()()(1)x
g x f x a x e a ''=-=+-. 设()()(1),()(2)0x
x
h x g x x e a h x x e ''==+-=+>，
()g x '∴在区间(0,)+∞上单调递增.
当1a >时，ln (0)10,(ln )(ln 1)ln 0a g a g a a e a a a ''=-<=+-=>， 故()'g x 在区间(0,ln )a 上存在唯一零点0x ， 即000()(1)0x
g x x e a '=+-=，
故()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增. 又ln (0)0,(ln )ln ln 0222
a a a a
g g a a e a a =
>=⋅-+=>， 故只需0()
0g x ，则()g x 在区间(0,)+∞上存在两个零点.
又0
0(1)0x x e a +-=，所以只需0
000000(1)()(1)02
x x x e g x x e x x e +=-++<，
解得01x >，或01
2
x <-
(舍去).
又00(1)x
a x e =+，设(1),(2)0x x
y x e y x e '=+=+>在区间[1,)+∞上恒成立，
所以函数(1)x y x e =+在[1,)+∞上单调递增，所以min (11)2y e e =+=. 当2a e >时，0()0,()g x g x <在区间(0,)+∞上存在两个零点.
当1a ≤时，()0g x '>在区间(0,)+∞上恒成立，故()g x 在(0,)+∞上单调递增， 不可能在区间(0,)+∞上存在两个零点.
综上，函数()g x 在(0,)+∞上存在两个零点时，a 的取值范围是(2,)e +∞. 【点睛】本题主要考查用导数求函数的极值，根据函数的零点个数求参数的问题.
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为11x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数)，圆C 的方程为2
2
(2)(1)5x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 及圆C 的极坐标方程；
（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求cos AOB ∠的值.
【答案】（1）sin cos 2ρθρθ=+，4cos 2sin ρθθ=+；（2
. 【分析】（1）直线l 的参数方程消去参数后得到直线的普通方程，根据公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩代入圆C 的直角坐标方程，得到原C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程和圆C 的极坐标方程联立，利用θ的几何意义求cos AOB ∠的值.
【详解】解：（1）由直线l
的参数方程11x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
， 得其普通方程为2y x =+，
∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()2
2
215x y -+-=，
将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，
∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+.
（2）将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+， 与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得
()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，
整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32
π
θθ==，或.
不妨记点A 对应的极角为
2
π
，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.
于是，cos cos()sin 2AOB πθθ∠=-==
. 【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中θ的几何意义的应用，属于中档题型. 23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-. (1)解不等式()1f x x ≤+；
(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：
22
111
a b a b +≥++. 【答案】（1）[]1,5；（2）证明见解析.
【分析】(1) ()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.利用零点分域法，分别讨论当1x <、
13x ≤≤、3x >时取绝对值，解不等式即可；
(2)先利用绝对值三角不等式求出2c =，可得2a b +=，令1,1a m b n +=+=，则
4m n +=，()()2
2
22
1111m n a b a b m n
--+=
+++，展开后利用基本不等式即可证明. 【详解】(1)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. 当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅；
当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.
当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.
综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1,5.
(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥---=， ∴2c =，即2a b +=.
令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =-=-+=,,，
()()22
22
2
11114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=
+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 等且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立. 原不等式得证.
【点睛】关键点点睛：证明22
111
a b a b +≥++成立的关键点是
()()13132x x x x -+-≥---=，
令1,1a m b n +=+=，则()()22
2
2
1111411m n a b m n a b m n m n
--+=+=+++-++，
再利用基本不等式即可得证.。