(新人教A)高考第一轮复习辅导用书棱柱和棱锥

B
O A C
M
A 1
B 1
C 1
图9-25
第60课 棱柱和棱锥
【考点指津】
了解棱柱、棱锥和多面体的有关概念，掌握棱柱和正棱锥的性质，了解多面体的欧拉公式. 能利用性质解决棱柱和棱锥内直线和平面的位置关系及有关计算问题. 【知识在线】
1．棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是 （ ） A ．棱柱有一条侧棱与底面垂直
B ．棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C ．棱柱有两个不相邻的侧面互相垂直
D ．棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直
2．棱锥成为正棱锥的一个充分必要条件是棱锥的 （ ） A ．底面是正多边形
B ．底面是正多边形，各侧面都是正三角形
C ．底面是正多边形，各侧面都是等腰三角形
D ．底面是正多边形，各侧面与底面所成的角相等
3．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥
4．设长方体的三条棱长分别为,,a b c ，若长方体的所有棱长之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则
111
a b c
++等于 （ ） A ．114 B ．411 C ．112 D ．211
【讲练平台】
例1 如图9-25，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长等于b ，一条侧棱1AA 与底面相邻两边,AB AC 都成45o
角，求这个三棱柱的侧面积.
分析 考虑到不是直棱柱，不能直接用 公式，故只能用最“原始”的方法，即将各 侧面面积求出，然后相加.
简解 1AA Q 与底面相邻两边,AB AC
E
S
A
B
C
D
O
F
图9-26
都成45o
角，∴可证1A 在底面上的射影O 在
BAC ∠的平分线AO 上，而 △ABC 为正三
角形，AO BC ∴⊥，从而由三垂线定理得1AA BC ⊥，而11//BB AA ，
1BC BB ∴⊥，即侧面11B BCC 是矩形，于是S 矩形B1BCC1=BB 1BC=ab.
又侧面11A
ABB 和11A ACC 都是平行四边形，且全等，
11111sin 452
A AB
B A AC
C S S AA AB ab ∴=
=⋅⋅=
o . 故(1.S ab =侧
点评 在求各个侧面面积时，必须通过推理，先判定其形状. 例2 已知正四棱锥的侧棱与底面所成的角为α， 侧面与底面所成的角为β，相邻两侧面所成二面角的 大小为
γ.求证：
（1）cot tan αβ⋅=
（2）sin tan
1.2
γ
α⋅=
分析 作出图形，再将题设三个角用平 面角表示，结合图形的特征，用线段表示 这些角的有关三角函数.
简解 （1）如图9-26所示，设正四棱锥S ABCD -的高SO h =，底面边长为a ，连OC ，则,SCO α∠=
取BC 中点E ，连,OE SE ，则,SE BC OE BC ⊥⊥，于是.SEO β∠= 在Rt △SOE 中，2tan ;SO h
OE a
β=
=
在Rt △SOC 中，cot CO
SO α=
= 故cot tan αβ⋅= （2）作,OF SC ⊥ 连,DF BF .
,BD OC ⊥Q ,BD SC ∴⊥ SC ∴⊥平面DFB ， 因而.BFD γ∠=
由△DFC ≌ △BFC 得,.2
DF BF OFB γ
=∴∠=
在Rt △CFO 中，sin ,OF OC α=
在Rt △BOF 中，tan .2OB
OF
γ= ,OC OB =Q ∴sin tan
1.2
γ
α⋅=
点评 在正棱锥问题中，常通过若干个直角三角形寻找底面边长、高、斜高、侧棱之间的关系.
例3 四棱锥P ABCD -中，底面是一个矩形，3,1,AB AD == 又,PA AB ⊥
4,60PA PAD =∠=o .
（1）求四棱锥P ABCD -的侧面积；
（2）求二面角P BC D --的大小. 分析 先确定各侧面的形状，再求面积；
至于二面角，仍然通过平面角解决.
简解 （1）从PA AB ⊥及底面是一个 矩形，可判定AB ⊥平面,PAD 从而
平面PAD ⊥平面ABCD .
从//,CD AB AB ⊥平面PAD ，可判定CD ⊥平面PAD .
从,AB CD 垂直于平面PAD ，利用线面垂直性质，知,,AB PA CD PD ⊥⊥于是
,PAB PDC V V 均是直角三角形，从而
S △PAB =12×4×3=6, S △PAD =12PD ×3=3
2
PD.
由平面PAD ⊥平面,ABCD 且AD =平面PAD I 平面ABCD ，所以由面面垂直的性质知，若作PE AD ⊥于E ，当然PE ⊥平面.ABCD
由cos 6021,AE PA AD =⋅=>=o
sin 60PE PA =⋅=o
S △PAD =1
2
×1×2 3 = 3 .
在平面ABCD 中，作//EF DC 交BC 的延长线于,F 连,PF 则从
EF BF ⊥知.PF BC ⊥
F
P
A
B
C
D
E
图9-27
在Rt △PED 中， PD ==，∴S △PDC =
313
2.
在Rt △PEF 中，PF == 则S △PBC =
21 2
12
6222
P ABCD S -+∴=+=侧 （2）由BF ⊥EF,BF ⊥PF 知PFE ∠就是二面角P BC D --的平面角.
易算出其大小为 点评 对于非常棱柱、棱锥的侧面积，必须从题设所提供的条件中，挖掘出判定各侧面形状的信息，才能进行具体运算，绝不能直觉认定.
【知能集成】
1. 以棱柱、棱锥为载体，利用其概念及性质，解决多面体内的直线和平面的位置关系及有关计算，是高考的主要方面之一.
2．求解多面体中的几何元素（侧棱、边长、高、斜高等）往往需要利用正棱锥的某些直角三角形.
3．求棱柱和棱锥的侧面积（或全面积），一般情况下，要通过证明，先确定各个面的形状，再进行计算. 【训练反馈】
1．设M ={正四棱柱}，N ={直四棱柱}，P ={长方体}，Q ={直平行六面体}，则四个集合的关系为 （ ）
A ．M P N Q
B ．M P Q N
C ．P
M
N
Q D ．P
M
Q
N
2．设有三个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 ②底面是矩形的平行六面体是长方体 ③直四棱柱是直平行六面体
B
A
C
O A 1
B 1
C 1
（第8题）
P
A
B
C
D
（第9题）
以上命题中，真命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．正方体的八个顶点中，有四个恰为正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为 （ ）
A
B
C
．
2
4．在正五棱锥中，相邻两侧面所成二面角的大小的取值范围是 （ ） A ．(0,
)2π
B ．(,)2ππ
C ．3(,)5ππ
D ．4(,)5
π
π 提示：相邻两侧面所成二面角大于底面正五边形的内角，且小于平角.
5．在长方体1111ABCD A B C D -的上底面内有任意一点P ，AP 与交于A 点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则2
2
2
cos cos cos αβγ++= . 若AP 与交于A 点的三个面所
成的角分别为'''
,,αβγ，则2
'
2
'
2
'
cos cos cos αβγ++= .
6．斜三棱柱111ABC A B C -中，二面角1C A A B --为120o
，侧棱1A A 与另两条侧棱的距离分别为7cm ，8cm ，设1A A =12cm ，则斜三棱柱的侧面积为
.
7．正三棱锥的底面边长为8，
侧棱长为如果过底面一条边作截面与相对的侧棱有交点，则截面面积的最小值为 。

8．如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是 边长为2的正三角形，顶点1A 在底面上的射 影O 是△ABC 的中心，1A A 与AB 的夹角 是45o
.
（1）求证：1A A ⊥平面1A BC ； （2）求该棱柱的侧面积.
9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面 ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ， 且2,PA AD a ==
,.AB a AC ==
A 1
图9-28
（1）求证：平面PDC ⊥平面PAC ；
（2）求异面直线PC 和BD 所成角的余弦值； （3）设二面角A PC B --的大小为θ，求tan θ的值.
第61课 多面体与球
【考点指津】
了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式；了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式和体积公式. 【知识在线】
1．下列三个命题：
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆
②球面积是它的大圆面积的四倍
③球面上两点间的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长 其中错误命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2．已知甲烷CH 4的分子结构是：中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）. 设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cos θ等于 （ ） A ．13- B ．
13 C ．12- D ．12
3．（2001，春考）已知球的内接正方体的表面积为S ，那么球的体积等于 。

4．半径为R 的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 。

【讲练平台】
例1 求以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，求
正六面体与正八面体的表面积之比.
分析 作出直观图，寻找正八面体的棱长与正六面体的棱长之间的关系，然后根据这两个正多面体的特征，分别计算它
们的表面积.
简解 如图9-28，连1,AC B C ， 则,E F 分别是它们的中点，设正六面体 的棱长为a ，则由三角形中位线定理，得
1112,22EF AB AC =
== 2236,83.S a S a ===2
正六面体正八面体2（） :323S S ∴==正六面体正八面体
点评 （1）正八面体由一对棱长都相等且底面重合的正四棱锥组合而成，简洁优美； （2）本题中的正八面体的对角线恰为正方体的棱长，于是它们的体积之比为6：1.
例2 如图9-29，在北纬45o
的纬度圈上 有,A B 两点，它们分别在东经70o
与东经160o
的经度圈上，设地球的半径为R ，求,A B 两点 间的球面距离.
分析 依据“球面距离”的定义，需求出
AOB ∠的弧度数，再乘以球半径即可.
解 设北纬45o
圈的圆心为1O ，地球球心为O ，则
111607090,45,,AO B OBO OB R ∠=-=∠==o o o o
112
,2
O B O A R ∴==
于是AB R =， 连,,AB AO BO ，则有 AO BO AB ==， 因此 AOB ∠= π
3 , AB = π
3 ·R
故,A B 两点间的球面距离为.3
R
π 点评 解决该题的关键是研究四面体1OABO 中的有关角. 同纬度的球面上两点间的距离一般都是采用这种方法，其基本步骤是：①计算线段AB 的长度，②计算,A B 到球心的张角，③计算大圆在,A B 两点间所夹的劣弧长；对于同经度的球面上两点间距离，则更为简单，因
图9-30
为经度圈是球的大圆.
例3 已知同一平面内两圆相切，若沿二圆的内公切线将平面折成大小为θ的二面角（0θπ<<）.
（1）求证：（2）用θ及二圆半径12,r r 表示球半径.R 分析 要证共球面，就必须找到球心. 交
解 （1）在平面图形中，作两圆圆心连线 内公切线（设其为l ）于A 点，则
12,.O A l O A l ⊥⊥
在空间图形中，12O AO ∠即为题设二面角的平面角，12.O AO θ∴∠=
12,,l O A l O A l ⊥⊥∴⊥Q 平面12O AO ，
于是平面12O AO α⊥，平面12O AO β⊥.
在平面12O AO 内，过12,O O 分别作1122,O P O A O Q O A ⊥⊥，
0θπ<<Q ，12,O P O Q ∴必相交，设交点为O ，则12,OO OO αβ⊥⊥.
从而点O 与两圆圆周上任意一点等距离，该距离为OA 的长. 故此二圆圆周上的所有点在以O 为球心，OA 为半径的球面上. （2）在平面12OO AO
中，1212,O AO O O θ∠=∴=
Q
又12,,,O A O O 在以OA 为直径的圆上，根据正弦定理得球半径
12sin O O R OA θ===
点评 本题实际上类似于第59课[训练反馈]第5题，只不过改变了背景和问题. 【知能集成】
1．球的面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形、球半径、截面圆半径、两圆圆心距所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
2．多面体的问题主要研究棱柱、棱锥和正多面体，对于简单的非规则多面体，若研究其顶点数、棱数、面数，则用欧拉公式，若研究其面积或体积，则常常采用分割或补形的方法
转化为棱柱和棱锥的问题. 【训练反馈】
1． 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距1，那么这
个球的半径是 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．5
2． 一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在
正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是 （ ） A ．正五棱锥 B ．斜三棱柱
C ．正三棱柱
D ．直三棱柱
3． 过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，AB BC ==
2CA =，则球面面积是 （ ）
A ．
169π B ．83π C ．4π D ．649
π
4． 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为 （ ） A ．5400o
B ．6480o
C ．7200o
D ．7920o
5． 把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球（不记损耗），两个小球的半径之比为
1:2，则其中较小球的半径为 （ ）
A ．3
R
B
R C
D
R 6． 在120o
的二面角内，放入一个半径为5cm 的球切两半平面于,A B 两点，那么这两个切点
在球面上的最短距离为 .
7． （1997，全国）长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，
4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 。

8． 同底的两个正三棱锥内接于同一个球（即棱锥的所有顶
点都在球面上），已知两个正三棱锥的底面边长为a ，侧面与底面所成的角分别为α
，
β，球的半径为R ，求证：
tan （α+β
）.3a
=-
(第8题)
A
B C
D
E
O
(第9题)
9． 四棱锥A BCDE -中，AD ⊥底面BCDE ，
,.AC BC AE BE ⊥⊥
（1）求证：,,,,A B C D E 都在以AB 为直径的同一球面上；
（2）
若90,1,CBE CE AD ∠===o
求,B D 两点间的球面距离.。