近年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第35讲基本不等式学案(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第35讲基本不等式学案
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第35讲基本不等式
考纲要求
考情分析命题趋势
1。

了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

2016·江苏
卷,14
2015·全国卷
Ⅰ,12
2015·福建
卷,6
对基本不等式的考
查，主要是利用不等式求
最值，且常与函数、数列、
解析几何等知识结合在一
起进行考查.
分值：5分
1．基本不等式错误!≤错误!
(1）基本不等式成立的条件：__a>0，b〉0__.
（2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号．2．几个重要的不等式：
（1)a2＋b2≥__2ab__(a,b∈R）．
(2)错误!＋错误!≥__2__(a,b同号)．
(3）ab≤错误!2(a，b∈R)．
（4）错误!≥错误!2(a,b∈R）．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0,则a，b的算术平均数为__错误!__，几何平均数为__错误! __,基本不等式可叙述为__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__.
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0,y＞0，则：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当__x＝y__时，x＋y有最__小__值是__2错误!__（简记：积定和最小)；
（2）如果和x＋y是定值p,那么当且仅当__x＝y__时，xy有最__大__值是__错误!__(简记：和定积最大)．
1．思维辨析（在括号内打“√”或“×")．
(1)函数y＝x＋1
x
的最小值是2.（×)
(2)函数f(x)＝cos x＋错误!，x∈错误!的最小值等于4.( ×)
（3)x＞0，y＞0是错误!＋错误!≥2的充要条件．( ×）
（4）若a＞0，则a3＋错误!的最小值为2错误!.（×)
解析（1）错误．因为x没有确定符号，所以不能说最小值为2.
(2）错误．利用基本不等式时，等号不成立．
（3)错误．不是充要条件，当x〈0，y<0时也成立．
(4）错误．最小值不是定值，故不正确．
2．已知m＞0,n＞0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( A）
A．18 B．36
C．81 D．243
解析∵m>0，n>0,∴m＋n≥2mn＝18。

当且仅当m＝n＝9时，等号成立．3．若M＝错误!(a∈R,a≠0)，则M的取值范围为（A）
A．（－∞，－4]∪［4，＋∞）
B．（－∞，－4]
C．[4，＋∞）
D．[－4，4］
解析M＝错误!＝a＋错误!，当a〉0时，M≥4;当a〈0时，M≤－4。

4．若x＞1，则x＋错误!的最小值为__5__.
解析x＋错误!＝x－1＋错误!＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝错误!,即x＝3时等号成立．
5．若x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝错误!＋错误!的最小值为__2__。

解析由已知条件lg x＋lg y＝1，可知xy＝10。

则错误!＋错误!≥2错误!＝2，故错误!min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10。

即x＝2，y＝5时等号成立．
一利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式的方法
(1）利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形"来转换，常见的变形技巧有：拆项,并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
(2）利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．
【例1】（1）已知x＞0，y＞0，z＞0，
求证：错误!错误!错误!≥8。

（2)已知a＞0,b＞0，c＞0,且a＋b＋c＝1，求证:错误!＋错误!＋错误!≥9。

证明(1）∵x＞0，y＞0，z＞0，∴错误!＋错误!≥错误!＞0,
错误!＋错误!≥错误!＞0，错误!＋错误!≥错误!＞0,
∴错误!错误!错误!≥错误!＝8，
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
（2）∵a＞0，b＞0,c＞0,且a＋b＋c＝1，
∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!
＝3＋b
a
＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!
＝3＋错误!＋错误!＋错误!≥3＋2＋2＋2＝9,
当且仅当a＝b＝c＝错误!时，取等号．
二利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值应注意的问题
（1）利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正"是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2）在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解．
【例2】 (1）已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为（B）A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
（2)若函数f（x)＝x＋错误!(x＞2）在x＝a处取最小值，则a＝( C）A．1＋ 2 B．1＋错误!
C．3 D．4
解析(1）∵0<x〈1，∴x(3－3x)＝3x（1－x)≤3错误!2＝错误!，当且仅
当x＝1－x，即x＝1
2
时，“＝”成立．
（2）∵x〉2，∴x－2〉0，
∴f(x）＝x＋错误!＝(x－2）＋错误!＋2≥2·错误!＋2＝2＋2＝4,当且仅当x－2＝错误!,
即（x－2)2＝1时，等号成立，
∴x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a＝3.
【例3】（1)（2018·山东烟台期末）已知正实数x，y满足错误!＋错误!＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( B) A．（－2，4）B．（－4,2）
C．（－∞，2］∪［4，＋∞）D．（－∞，－4］∪[2，＋∞)
(2）（2018·福建南平一模）已知x，y都是非负实数，且x＋y＝2，则错误!的最小值为( B）
A．错误!B．错误!
C．1 D．2
（3）(2018·河南许昌二模）已知x，y均为正实数,且错误!＋错误!＝错误!，则x＋y的最小值为（C)
A．24 B．32
C．20 D．28
解析(1)因为x>0,y>0,错误!＋错误!＝1,所以x＋2y＝(x＋2y）·错误!＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号,所以x＋2y 的最小值是8.
所以m2＋2m<8，解得－4〈m<2，故选B．
(2)因为x，y都是非负实数，且x＋y＝2,所以x＋2＋y＋4＝8。

所以
8≥2x＋2y＋4，则
1
x＋2y＋4
≥错误!，当且仅当x＝2，y
＝0时取等号,所以错误!≥错误!＝错误!，故选B．
(3）因为x,y均为正实数，且
1
x＋2
＋错误!＝错误!，
则x＋y＝（x＋2＋y＋2）－4
＝6错误!（x＋2＋y＋2)－4
＝6错误!－4≥6错误!－4≥20，
当且仅当x＝y＝10时取等号，所以x＋y的最小值为20，故选C．三基本不等式的实际应用
(1）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
（2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内，就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求
解．
【例4】某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0)万元满足x＝3－错误!(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1。

5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解析（1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件）,∴1＝3－k⇒k＝2，∴x ＝3－错误!，每件产品的销售价格为1。

5×错误!(元)，
∴2018年的利润y＝1。

5x×错误!－8－16x－m
＝－错误!＋29（m≥0）．
（2)∵m≥0时，
16
m＋1
＋(m＋1）≥2错误!＝8,
∴y≤－8＋29＝21，
当且仅当错误!＝m＋1⇒m＝3(万元)时，y max＝21(万元）．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元．
1．已知f（x）＝32x－(k＋1)3x＋2,当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( B）
A．(－∞，－1）B．(－∞,2错误!－1)
C．（－1，2错误!－1) D．(－2错误!－1,2错误!－1）
解析由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1〈3x＋错误!.
∵3x＋错误!≥2错误!,∴k＋1〈2错误!，即k〈2错误!－1。

2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件,则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B）
A．60件B．80件
C．100件D．120件
解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是错误!元，仓储费用是错误!元，总的费用是错误!＋错误!≥2错误!＝20,当且仅当错误!＝错误!，即x＝80时取等号．
3．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是__2__.
解析因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2错误!＝2错误!，所以2x＋2y≤4＝22，即x ＋2y≤2,当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2。

4．（2018·山东济宁二模）已知圆C1:x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋（y －2）2＝4，若P（a，b）（a>0，b〉0）在两圆的公共弦上，则错误!＋错误!的最小值为__8__.
解析由题意知，圆C1：x2＋y2＝4和圆C2:（x－2）2＋（y－2)2＝4两个方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，即x＋y＝2,又点P(a，b）（a〉
0，b〉0）在两圆的公共弦上,所以a＋b＝2，则1
a
＋错误!＝错误!(a＋b）错误!＝
错误!错误!＝5＋错误!·错误!≥5＋错误!×2错误!＝8错误!错误!,所以错误!＋错误!的最小值为8.
易错点不会凑出常数
错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑"等技巧．
【例1】已知正数x,y满足x＋2错误!≤λ（x＋y）恒成立，则λ的最小值为________。

解析由已知得λ≥错误!恒成立．
∵错误!＝错误!≤错误!＝2，（当且仅当x＝2y时取等号）∴λ≥2，λ的最小值为2.
答案2
【跟踪训练1】已知x为正实数，且x2＋错误!＝1，求x错误!的最大值．
解析因为x>0,
所以x·错误!＝错误!错误!≤错误!错误!。

又x2＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

所以x错误!≤错误!错误!＝错误!,当且仅当x2＝错误!＋错误!，
即x＝错误!时，等号成立．故（x错误!)max＝错误!.
课时达标第35讲
[解密考纲］考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现．在解答题中也渗透基本不等式的应用．
一、选择题
1．已知f（x）＝x＋错误!－2（x<0)，则f（x)有( C)
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析∵x＜0，∴f（x)＝－错误!－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝错误!，即x＝－1时，取等号．
2．若a，b∈R，且ab〉0，则下列不等式中，恒成立的是( C）
A．a＋b≥2错误!B．错误!＋错误!〉错误!
C．错误!＋错误!≥2D．a2＋b2〉2ab
解析∵ab＞0,∴b
a
＞0，错误!＞0，∴错误!＋错误!≥2错误!＝2，当且仅当
a＝b时取等号．
3．若a≥0,b≥0，且a(a＋2b）＝4，则a＋b的最小值为( C) A．错误!B．4
C．2 D．2错误!
解析∵a≥0，b≥0，∴a＋2b≥0，又∵a（a＋2b）＝4,
∴4＝a（a＋2b)≤错误!，当且仅当a＝a＋2b＝2时等号成立．
∴（a＋b）2≥4，∴a＋b≥2.
4．函数y＝^错误!（x>1）的最小值是（A）
A．2错误!＋2 B．2错误!－2
C．2 3 D．2
解析∵x＞1,∴x－1＞0。

∴y＝错误!＝错误!＝错误!
＝错误!＝x－1＋错误!＋2
≥2错误!＋2＝2错误!＋2.
当且仅当x－1＝错误!,即x＝1＋错误!时,取等号．
5．若正数a,b满足a＋b＝2，则错误!＋错误!的最小值是( B)
A．1 B．9 4
C．9 D．16
解析错误!＋错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!≥错误!（5＋2错误!)＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，b＋1＝2(a＋1)时取等号,故选B．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v，则（A)
A．a〈v<错误!B．v＝错误!
C．错误!<v〈错误!D．v＝错误!
解析设甲、乙两地相距s，则平均速度v＝错误!＝错误!.
又∵a＜b,∴错误!＞错误!＝a.∵a＋b＞2错误!，
∴错误!＜错误!＝错误!,∴a＜v＜错误!。

二、填空题
7．设P(x，y)是函数y＝错误!（x〉0）图象上的点，则x＋y的最小值为。

解析因为x＞0,所以y＞0，且xy＝2。

由基本不等式得x＋y≥2xy＝22，当且仅当x＝y时等号成立．
8．已知正数x,y满足x＋2y＝2，则错误!的最小值为__9__.
解析由已知得错误!＝1，则错误!＝错误!＋错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!≥错误!（10＋2错误!)＝9，当且仅当x＝错误!，y＝错误!时取等号．9．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，错误!＋错误!的最大值为__2错误!__.
解析由错误!≤错误!得错误!＋错误!≤错误!错误!＝错误!错误!＝2错误!，当且仅当x＝错误!，y＝错误!时取等号．
三、解答题
10．(1)当x<错误!时，求函数y＝x＋错误!的最大值; (2）设0<x〈2，求函数y＝错误!的最大值．
解析(1)∵x〈错误!,∴2x－3〈0,∴3－2x>0，
∴y＝1
2
（2x－3）＋错误!＋错误!
＝－错误!错误!＋错误!
≤－错误!·2错误!＋错误!＝－4＋错误!＝－错误!，
当且仅当3－2x＝错误!，即x＝－错误!时,y max＝－错误!。

∴函数y的最大值为－错误!。

(2)∵0〈x〈2，4－2x〉0，
∴y＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，y max ＝错误!。

11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
（2)x＋y的最小值．
解析（1)∵x〉0,y〉0，2x＋8y－xy＝0，
∴xy＝2x＋8y≥2错误!＝8错误!，
∴错误!(错误!－8）≥0,又错误!≥0，∴错误!≥8即xy≥64。

当且仅当x＝4y即8y＋8y－4y2＝0时，即y＝4，x＝16时取等号，
∴xy的最小值为64。

（2)∵2x＋8y＝xy>0，∴2
y
＋错误!＝1，
∴x＋y＝（x＋y)错误!
＝10＋错误!＋错误!≥10＋2错误!＝18.
当且仅当错误!＝错误!，即x＝2y即4y＋8y－2y2＝0时,即y＝6，x＝12时取等号，∴x＋y的最小值为18。

12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺
设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2
＋x ）万元．设余下工程的总费用为y 万元．
（1)试将y 表示成x 的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少?
解析 (1)设需要修建k 个增压站,
则（k ＋1)x ＝240，即k ＝240x
－1, 所以y ＝400k ＋（k ＋1）（x 2＋x )
＝400·错误!＋错误!（x 2＋x ）
＝错误!＋240x －160。

因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240。

故y 与x 的函数关系是y ＝错误!＋240x －160（0＜x ＜240)．
（2）y ＝错误!＋240x －160≥2错误!－160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x
＝240x ,即x ＝20时等号成立， 此时k ＝错误!－1＝错误!－1＝11.
故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。