小学数学竞赛辅导知识讲座

小学数学竞赛辅导专题讲座
一、对于小学数学与数学竞赛的认识
在基础教育中数学是一门主课，世界各国都是如此，每个人在他的青少年时代至少要学十年的数学，为什么大家这样重视数学呢？原因在于，数学是锻炼思维的体操，数学是打开科学大门的钥匙，数学是引导人们进行理性探索的工具。

数学是一种文化，是一种属于科学的文化，理性的文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

通过学数学，所形成的能力，所领悟的数学的精神、思想和方法，凝铸为个人的素质，成为一个人终生受用的财富。

数学文化有着与时俱进，适应时代发展要求的育人功能，为了更好地发挥数学教育的育人功能，实现育人目标，就必须充分发挥数学的文化功能，重视文化观念教育，增强文化气息，提高文化品位。

把数学的严谨求实的精神和推理意识；勇于创新的精神和探索意识；善抓本质的精神和抽象的意识；联系实际的精神和应用意识等渗透到数学的教与学的全过程。

要提高数学教与学的文化品位，以“润物细无声”的方式，渗透数学文化，促进学生人格品质的升华和全面素质的提高。

我国的基础教育，在相当长的一段时间是实行九年义务教育，使全体适龄儿童都得到全面发展。

由于每个人的个性爱好存在差异，理所当然地要在《课程标准》要求的基础上进行因材施教，鼓励学生自由发展自己的爱好和特长，因此，丰富多彩的高质量的家庭教育，业余教育成为正规学校教育的重要补充，其中，数学竞赛活动尤为受到广大家长和同学的欢迎。

小学数学竞赛活动作为一种学习载体，对小学生的发展一直起着积极向上的导向作用。

她的积极影响，只有在“做数学”的过程中才能领悟并逐步地变为现实。

江泽民主席视察澳门濠江中学时谈到：解答数学题，最重要的是培养一个人的钻研精神。

从数学文化的高度，揭示了“做数学”的素质教育内涵。

二、小学数学竞赛题型介绍与辅导
（一）高斯算法
[解题指导]
卡尔、弗里德希、高斯是世界著名的数学家，他很小的时候就聪颖过人，有很高的数学天赋，小高斯上一年级时，有一天，教师出了这样一道数学题让同学们计算：
1+2+3+4+5+6+……+98+99+100=？
老师刚刚出完题目，全班小朋友还有埋头计算，小高斯就很快地说出了正确答案：5050。

小高斯是怎样巧妙的算出答案的呢？
原来他通过细心观察，发现1——100 这一串数有一个十分明显的特征，即它们相邻两个数的差都相等。

若把这100个数，从两头往中间逐个相加，它们的和又都相等：1+100=2+99=3+88=…………
=49+52=50+51，像宁产共有50个数对，每对的两个数的和为101，所以它们的总和为（1+100）×100÷2=101×50=5050。

归纳出一个公式是：（首项+末项）×项数÷2
注：在数学上，人们把1—100这些数中的每个数都叫做一个项，并把这样的一串数称做等差数列。

例1：1+2+3-4+5+6+7-8+9+……25+26+27-28=？
分析：仔细观察这个算式，发现它有规律地出现着一些“减数”，因此，计算时应特别细心，下面介绍二种解法。

解法一：变减为加，整体推算
（其中减数为4的倍数，共28÷4=7个）
（1+28）×28÷2-[（4+28）×7÷2]×2
=406-224
=182
这样想，开始我们把减数当成加数来算了，所以后来应减去这些减数的2倍。

解法二：分组累计
从头算起，每四个数为1组，分别计算每组数的得数为：2，10，18，……50，其和为：
（2+50）×7÷2=182
这样想：四个数为1组，28个数即可分成7组，所以项数是7。

例2：有一列数，19，22，25，28……这列数的前99个数（从19开始算起）的总和是多少？
分析：求总和，必须先算出这个数列的末项（即第99个数）是多少。

仔细观察它们的那前几项，不难发现；后一个数都比它前面的数大“3”（这就叫做这个数列的公差）。

如果都与第一个数相比，第二个数比第一个数多3；第三个数比第二个数多2个3；第四个数比第一个数多3个3……由此不难推想出，第九十九个数一定比第一个数多98个3，它是19+3×（99-1）=313
再利用“高斯算法”求和
（19+313）×99÷2=16434
由此归纳出求末项的公式：首项+公差×（项数-1）=末项
例3：从“99”开始，每隔三个数写出一个数：99，103，107，111，……1999是这列数中的第几个数？
分析：求项数的思考方法与例2基本相同，首先观察这列数的前几项，发现它们从第二个数开始，每个数都比它前面的数多4（即公差），仍拿它们都与第一个数相比，第2个数比第1个数多4；第3个数比第一个数多2个4；第4个数比第一个数多3个4；……要知道“1999”是这列数中第几个数，只要算一算比第一个数多多少个“4”就可以了，列式为（1999-99）÷4=475
“1999”是这列数中的第（475+1）=476个数
归纳出求项数的公式：（末项-首项）÷公差+1=项数
有了这两个求末项和求项数的公式，一些稍复杂的利用“高斯算法”求和的问题就能顺利解答了。

（二）整除问题
[解题指导]
在小学数学竞赛中，有些问题涉及“整除”这部分知识，因此，有必要结合起来较典型的例题对有关“整除”的一些更深层次的知识作一些介绍以便提高解题能力。

例1：七位数“□1995□”能同时被4，9和25整除，请问“□”里各该填什么数？
分析：我们由易到难地先考虑：“能被25整除”，这一条件，这时，这个七位数的末两位必须是00，25，50，和75；再考虑，“能被4整除”这一条件，也只需看它的末两位能否被4整除，并从上面的四种情况中挑选出“00”这一种。

最后考虑“能被9整除”这一条件，应看它各位上的数字之和，因为1+9+9+5+0+0=24，即可知它的首位数只能填“3”（24+3=27，27能被9整除）
[要点]1、能被4整除的数的特征：一个多位数的末两位数字组成的数能被4整除，这个多位数一定能被4整除。

2、能被25整除的数的特征：一个多位数的末两位数字组成的数能被25整除，这个多位数一定能被25整除。

3、能被8整除的数的特征：一个多位数的末三位数字组成的数能被8整除，这个数就能被8整除。

4、能被7整除的数的特征：末三位数与末三位以前所表示的数的差，能被7整除，这个多位数就能被7整除。

例2：在“□”内填上适当的数，使六位数“□1998□能被56整除”。

分析：因为56可以分解成7和8的乘积，所以，要使“□1998□”能被56整除，就应站它能分别被7和8整除，先考虑它怎样才能被8整除，经推算，这个六位数的个位填“4”，再考虑它怎样才能被7整除，抓住能被7整除的数的特征，可以推算出首位应填“3”，984-319=665，665÷7=95，本题答案为：319984。

整除问题同其它问题一样，也有不少综合性较强的引申题。

我们在审题时一定要全面，细致，要善于抓住问题的实质，从而灵活、巧妙地解答它们。

（三）平均数问题
[解题指导]
总量÷总份数=平均数求“平均数”是统计工作中最常用的一种基本方法，它是在除法简单应用题的基础上发展起来的，平均数问题的内容也十分丰富，有好多种不同的题型，但它们的基本关系式是：因此，紧紧围绕着这个基本关系式进行，深入思考是解答平均数问题的关系。

例1；有八个数排成一列，它们的平均数是54，前五个数的平均数是46，后四个数的平均数是68，第五个数是多少？
分析：题目给了我们三个“平均数”，我们可以通过这三个“平均数”分别推算出原题中八个数的总和，及前五个数和后四个数的总和。

八个数的总和：54×8=432
前五个数的总和：46×5=230
后四个数的总和：68×4=272
这三个数总和之间有什么联系呢？请看下面这幅示意图
230
●●●●▲●●●
272
总和432
从图中可以清楚地看出，第五个数正好在前五个数与后四个数“重叠”处，求这个数，列式为
230+272-432=70，答：简
例2：有两组数，第一组的平均数是12.8;第二组数的平均数是10.2,而这两组数总的平均数是12.02.那么,第一组数的个数与第二组数的个数比是_____:______.
分析：这是一道难度相当大的问题，因此解答的方法也不一般，下面介绍一种“借用字母参加运算”的方法，十分巧妙，也较适合我们的小学生理解。

假设第一组数有A个，根据题题知道这一组数的和为12.8A,再假设第二组数为B个,其和为10.2B;这两组数的总和当然可为(A+B) ×12.02.
又因为这两组数在“合并”的前后，总和是不变的，所以可列出以下方程。

12.8A+10.2B=12.02×(A+B)
解:0.78A=1.82B
利用“比例的基本性质”把上面这个等式转化成比例。

A：B=1.82:0.78
A:B=7:3答:略
(四)植树问题
[解题指导]
植树问题是一类比较普通而又常见的问题,它一般分为直线植树和周围植树两种情况,它们的关系到式分别为:
直线植树:棵树=总距离÷棵距+1
周围植树:棵树=总距离÷棵距
例1:教室门前有一个长方形花坛,长4米,宽1.5米,在它的四周每隔0.5米栽一棵指甲花.四个角上各栽一棵,一共栽了多少棵花?
分析:这是一道“周围植树“的问题，我们可以清楚地想像到：每隔0.5米栽一棵花,花坛的长就被分成为8段,宽则被分成为了3段.整个周长被分为(8+3) ×2=22(段)因为周长是一个闭合的圆圈,它没有头和尾,所以栽花的棵数就等于段数.
列式为:(4÷0.5+1.5÷0.5) ×2=22棵.答:略
例2:把一根钢管锯成在段要花24分钟,若把这根钢管锯成六段需要花多少分钟?
分析:生活的经验告诉我们,把一根钢管锯成三段,只需要从中间锯2次;同样的道理,把这段钢管锯成六段,应当锯5次.
1 2 3 1 2 3 4 5 6
看了上面这两幅示意图，懂得了“所锯次数比段数少1”这一道理，再来推算工作时间就不会出差错了，列式为
24÷（3-1）×（6-1）=60（分）答：略
（五）相遇问题
[解题指导]
“相遇问题”研究的是两个人或两辆车对面行来的一些情况，它属于行程问题中的一种较特殊的题型，同时也有一些巧妙的变化，相遇问题的基本关系式是：
距离÷速度=时间
这里所说的“速度”指的是两个人或两辆车的速度之和
例1：甲、乙两人在周长400米的环形跑道上锻炼身体，他们朝相反的方向跑。

甲、乙两人第一次相遇与第二次相遇之间经过40秒，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑几米？
分析：这道题目实质上是一个相遇问题。

我们可以简单地在草稿上画一个环形“跑道”演示一下就不难发现，两人从第一次相遇到第二次相遇，共跑了400米。

两人的速度和是：400÷40=10（米/秒）
乙的速度是：10-6=4（米/秒）
在我们的数学竞赛中有时还出现“两次”或“多次”相遇的问题，这类问题比较特殊也很有趣。

例2：甲、乙两城相距290千米，一辆客车从甲城出发向乙城驶去，每小时行45千米；一辆货车从乙城出发驶向甲城，每小时行42千米。

两车同时出发相向而行，它们各自到达终点后休息一小时，然后立即返回，从出发时开始到返回后再一次相遇一共花了多少小时？
分析：两车在各自到达终点之前就已经“相遇”了一次，它们返回再次相遇，就称为“两次相遇”问题。

假如我们分析考虑，两车各自到达终点花费了多少时间，同时推算另一辆汽车至何处，再来推算第二次相遇的情况，那的确是非常困难的，我们不妨实际演示一个，就能发现两车第二一次相遇时，它们共行了三倍全部，因此求时间就不困难了。

客车
货车
甲
乙
290千米
290×3÷（45+42）+1=11（小时）
答：略
（六）追及问题
[解题指导]
追及问题也就是同向运动问题，它是行程问题中的另一种特殊题型，追及问题的基本关系式同样是：距离差÷速度=追及时间
这里的“距离”指的是前后两人之间的“距离差”；“速度”同样是指两个人的“速度差”。

例1：一艘敌舰在离我海防哨所6千米处，以每分钟400米的速度逃走，我快艘立即从哨所出发，11分钟后在离敌舰500米处开炮击沉敌舰，我快艘的速度是每分钟多少米？
分析：因为本题中两舰追及的“距离”为：6000-500=5500米，追及的时间为11分钟，所以我们的快艇每分钟比敌舰多行（也就是两船的速度差）：5500÷11=500米
快艇每分钟行：400+500=900米。

综合算式：（6000-500）÷11+400=900米答：
钟面上的时针与分钟一慢一快，朝着同一个方向不停地运动着，就好像是两个人在环形跑道上赛跑，一会儿两针成直角，一会儿两针在一条直线上；一会儿分针赶上了时针，一会儿分针又超过了时针，因引，小学数学竞赛中常常根据这一特殊的现象编出一些十分有趣的问题，这类关于时钟的一些问题，看上去好像很复杂，但我们运用“追及问题”的基本思路去分析解答起来就不困难了。

例2：三点钟时，时针和分针成直角，什么时刻时针和分针第一次重合？
分析：大家都十分清楚，分会在钟面上走一圈，进针只前进“一个字”即分针走60格，（钟面上为60格）时针只走5个分格，以分针前进的速度为单位“１”，时针前进的速度则只为“”三点钟；时针与分针之间的“差距”是15格（每格代表一分钟），分针前进时，进针也在缓慢地前进，分针要花多少时
间（分钟）才可以“追上”这15格呢？列式为
15÷（1- ）=15÷=16（分）答：
（七）火车过桥
[解题指导]
“火车过桥”也是行程问题中的一类有趣的小问题，理解和掌握它们的数量关系及解题的规律并不是一件很困难的事，请看下面两个例子。

例1：一列火车的每分钟600米的速度通过一座长2200米的大桥，如果火车全长200米，从车头上桥到最后一节车厢离开大桥另一侧，共需多少分钟？
分析：要想知道“火车过桥”的奥秘，我闪不妨用一个铅笔盒作“桥”再拿一支铅笔作“火车”实际演示一篇，通过演示就可以发现，火车从车头上桥到最后一节车厢离开大桥，一共行驶的距离为桥长加火车车身的长度。

其时间为：（2200+200）÷600=4（分）答：略
例2：一列客车每分钟行1000米，一列货车每分钟行750米，货车比客车的车身长135米，两车在平行的轨道上同向行驶，当客车从后面超过货车，两车交叉的时间为1分30秒。

货车与客车的本身长各多少米？
分析：因为客车和货车都在前进着，所以分析时困难就更多，我们可以采取一种特殊的思考方法：以货车为“桥”如果我们站在货车的车厢里看客车，客车对于货车的速度是每分钟250米（1000-750米），由此推算出客车过“桥”所行驶的距离为：
（1000-750）×1=375米。

这“375”米就正好是客车与货车的长度之和，题目已经告诉我们货车比客车的车身长135米，求两车的长度，列式如下：
（375+135）÷2 （375-135）÷2
=510÷2 =240÷2
=255米 =120米
答：货车长255米，客车长120米。

（八）年龄问题
[解题指导]
年龄问题也是我们小学数学竞赛中经常出现的一类问题，“年龄问题”的基本特点是：不管时间如何变化（后推或前移）两个人之间的年龄差是永远也不会变的，因此，抓住“年龄差”就是我们顺利解答“年龄问题”的关键。

例1：父亲今年32岁，儿子今年5岁，几年后父亲的年龄是儿子的4倍？
分析：由题目的条件可知，父子二人的“年龄差”是27岁，再根据“父亲的年龄是儿子的4倍”这一关系，作图如下：
图形展示的是“几年后”的情况，尽管到那里父亲的年龄是儿子的4倍，但根据年龄问题的特点可知，那时，他们的“年龄差”仍然是27岁，对照着这幅示意图来列式解答就很容易的。

（32-5）÷（4-1）-5=4（年）（通过儿子的年龄来推算）
（32-5）÷-32=4（年）（先计算出父亲的年龄）
例2：甲、乙两人的年龄和是63岁，当甲是乙现在年龄的一半时，乙那时的年龄正好是甲现在的年龄，那么甲、乙现在各多少岁？
分析：这是一道相当复杂的年龄问题，甲、乙二人的“年龄差”十分隐蔽，根据题目中第二句话听说的条件，我们作一些试探性的分析就不难发现，甲的年龄比乙小；并且大于乙现在的年龄的一半，因为，甲、乙两人在题目中所说的那一段时间里各自“减少的岁数”是相同的，所以，即可作图如下：从这幅示意图上可以清楚地看出：两人的年龄差恰好占乙现在年龄的1/4，若以这个“年龄差”为1份，（即单位“1”），甲的年龄则为3份，乙的年龄则为4份，一共7份，这样一来，列式解答就非常简单了。

63÷（3+4）×3 63÷（3+4）×4
=27（岁） =36（岁）
答：甲现在27岁，乙现在36岁。

（九）鸡兔同笼
[解题指导]
“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学问题之一，在小学数学竞赛中，关于“鸡兔同笼”以及由“鸡兔同笼”演变出来的问题也比较多，解答起来十分有趣，有时也很特殊。

例1：有一个大笼子里买了一些鸡和一些兔子，数它们的头，一共有36个；数它们的腿，共有100条，问鸡和兔各多少只？
分析：解答此题的方法较多，最适合我们小学生理解的方法是：按一种情况来推算。

解：假设36只全是鸡，就应有72条腿（2×36），这就比题目所说的“100条腿”少了28条腿，为什么“腿”会少呢？很显然，是我们把四条腿的兔子当成了两条腿的鸡，由此，即可出兔子的只数列式为：（100-2×36）÷（4-2）=14只
鸡的只数为：36-12=22只
检验：算算它们的腿是不是100条。

4×14+2×22=100条（完全符合题意）
答：略
例2：肖老师和丁老师带领50名学生到东湖公园去划船，他们一共租了11条船，其中有大船和小船，每条大船坐6人；每条小船坐4人。

已知每条船都正好坐满了人。

他们租的大船和小船各是多少只？
分析：我们首先应知道实际坐船的共有52人（50名学生加上两名老师），然后按一种情况去推算，如果租的11条船全是小船，少算的人数就是大船多出的，列式为
（50+2-4×11）÷（6-4）=4条（大船）
11-4=7条（小船）
检验：6×4+4×7=52人（符合题意）
答：略
例3：有蜘蛛，蜻蜓和蝉三种动物共18只，它们共有腿118条翅膀20对，三种动物各是多少只？（其中，蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀）
分析：这是一道比较复杂的“鸡兔同笼”题目中有蜘蛛，蜻蜓和蝉三种小动物，我们在分析解答时，首先应当把蜻蜓和蝉这两种6条腿的昆虫看做一种动物（暂不考虑它们的翅膀），根据蜘蛛8条腿、蜻蜓和蝉6条腿，以及它们共有118条腿。

推算如下：
（118-6×18）÷（8-6）=5（只）……（蜘蛛）
18-5=13（只）……蜻蜓和蝉
再根据蜻蜓和蝉的翅膀来推算它们各有多少只（它们共13只翅膀共有20对）；
（20-1×13）÷（2-1）=7（只）……蜻蜓
13-7=6（只）……蝉
（十）盈亏问题
[解题指导]
盈：就是有剩余；亏：则是不足，顾名思义“盈亏问题”是专门研究这类“一会多一点，一会又不够分”的问题，这类问题看上去好像挺复杂，但掌握了解题方法和窍门，就会感到十分方便。

例1：将一些糖果分给幼儿班的小朋友，如果每人分3粒，还余17粒；如果每人分5粒，又少13料，有多少名小朋友？有多少粒糖？
分析：“盈亏问题”可以用算术方法进行推算，但用方程来解答，也许更简捷。

题目中有“人数”和“糖粒数”两个未知数的量，解题时，最好设“人数”（两个未知数中较小的那一个）为x；而以“糖粒数”（两个未知量中较大的即一个）为等量列出等式。

解：设幼儿班有x名小朋友，得
3x+17=5x-13
17+13=5x-3x
X=15
算出了“人数”再来求“糖的粒数”就非常方便了：
3×15+17=62（粒）或5×15-13=62（粒）
答：
例2：学校规定早晨7点到校，黄青以每分钟60米的速度上学，可提早2分钟到学校；若以每分钟50米的速度上学，又会迟到2分钟，黄青的家到学校有多少米远？她是几时几分从家里动身上学的？
分析：题目睥第二个问题应该理解为：“黄青若能准时到校，在途中应行走多少分钟？并设这一未知数为x，以“总路程”这个不变量列方程。

解：设黄青在途中应行走x 分钟。

60x-60×2=50x+50×2
60x-50x=100+120
10x=220
X=22
黄青上学应行走22分钟。

求总程，列式可为60×22-60×2=1200米
黄青由家里动身的时间为7时-22分=6时60分-22分=6时38分
答：略
（十一）周期规律
[解题指导]
“周期”现象在我们身边普遍存在着，如每个星期总是以七天为周期一次又一次地循环着；每年也总是接春夏秋冬四季年复一年地延续；就连机器上活动着的部件在运转时也是沿着一定的轨迹一次次重复运动着……
掌握和运用“周期规律”可以解决许多复杂而有趣的数学问题。

例1：把化成小数，小数点右边第1996位上的数字是几？
分析：先把这个分数化成小数：=0.428571428571……我们可以清楚地看出它的小数部分是以“428571”这六个数为周期循环着的。

1996÷3=332 (4)
这个算式表示，1996里正好包含着332个完整的周期，另外剩下4个数，剩下的这四个数在第333个周期里，十分明显这个数字是“5”。

例2：有4567个3边乘3×3×3×……3×3 它的积的个位数字是几？
分析：首先逐个分析由若干个“3”相乘的积的个位分别是多少？1个3的个位是3；3×3（2个3相乘）；3×3（2个3相乘）个位上是由；3×3×3（3个3相乘）个位是7，3×3×3×3（4个3相乘）个位是1……。

列出“周期表”如下：
从上面的周期表中可以看出：它们乘积的个位是由“3，9，7，1”为周期循环的，由此即可列出除式：4567÷4=1141 (3)
可知，4567个3连乘的积的个位数在第1141个周期后的第三位上，它肯定是“7”。

答：
例3：今天是星期二，从明天开始算起，数到第100天，这一天是星期几？
分析：根据题意作周期示意图如下。

列出除式：100÷7=14 (2)
由此可知，第100天在“今天”之后的第14个周期后边又2天，仍从周期图上可以看出，它所对应着的是星期四。

答：第100天是星期四。

（十二）有趣的拆数
[解题指导]
在小学数学竞赛中，常常会出现一些“拆”数的题目。

拆数，就是把一个较大的数分开，改写成两个或多个数的和（注意：这里所说的拆数，不是分解，分解指的是把一个合数改写成几个数的积）例如：14=5+9；14=3+11或14=2+3+4+5等等，这些都是我们现在要求讨论的拆数。

在“拆数”的问题中，往往都提出一些附加条件，例如，要求拆得的数的乘积最大，等等，这么一来，就更加有趣了。

首先学把一个数拆成两个的技巧。

例1：把36拆成两个奇数的和，怎样拆这两个奇数的乘积最大？
分析：把36拆成两个奇数的和，有好多种拆法，如1+35，3+33，5+31，…………15+21和17+19，但哪一种拆法，它们的乘法才能最大呢？
差越大，积越大告诉你一个小小窍门：
本题的答案显然是：拆成17和19。

例2：把25拆成若干个自然数的和，再求这些加数的乘积，要使积最大，这个积是_____。

分析：“25”这个数虽不算太大，但若按题目的要求进行“拆分”还确定不是一件简单的事情，因为题目没有限定我们“拆”成几个数，所以它们的“拆”法就太多了。

多用3，少用2，不用1。