竞赛课件20：稳恒电路计算

一段含源电路的欧姆定律♠一段电路两端电势差等于这段电路中所有电源电动势与电阻上电压降的代数和，即为AB A B i i i U U U I R ε=-=+∑∑基尔霍夫定律
♠在任一节点处，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和:0I =∑沿任一闭合回路的电势增量的代数和等于零，即0IR ε+=∑∑物质的导电特性♠E j ρ=m kIt kq ==M k nF =()49.6510C/mol F =⨯试手被激导电自激导电
示例推导例讲示例推导示例示例
以电势降为正!
AB A B U U U =-则()111I R r =+1ε+2ε-()2223I R r r -++3
ε+CA C A U U U =-A
B I 1
R 1R 3R 2I 211r ε22r ε33r εC
I 333I R =-1ε-()111I R r -+一段电路两端电势差等于这段电路中所有电源电动势与电阻上电压降的代数和，即为
AB A B i i i U U U I R ε=-=+∑∑
+i E l I l
S ρ⋅∆=∆∆i I j S =∆E j ρ=电流线的方向即正电荷定
向移动方向，亦即该点电
场方向。

电流线的疏密表示电流密
度——垂直于电流方向单
位面积电流——的大小。

大块导体各点的欧姆定律
一电路如图所示，已知R 1=R 2=R 3=R 4=2Ω，R 5=3Ω，ε1＝12V ，ε3＝9V ，r 1=r 2=r 3=1Ω，求U ab 、U cd ．解:专题20-例1R 1
R 2R 3a d c ε1r 1ε2r 2ε3r 3R 4R 5
b I
1212330.42A I R R R R r
εε-==++++则由全电路:()113110V ab U I R R r ε=-++=()224210V ab U I R R r ε=+++=()232421V
ab U I R R r εε=-+++=
如图所示电路中，R 1=2Ω，R 2=1Ω，R 3=3Ω，ε1＝
24V ，ε2＝6V ，r 1=2Ω，r 2=1Ω，O 点接地，试确定a 、b 、c 、d 各点电势及每个电池的端电压U ab 、U cd ．
解:专题20-例2R 1R 2
R 3a ε1r 1ε2r 2b O 由全电路:12123122A I R R R r r εε-=
=++++则22V aO U IR ==2V
a U =d 1120V a
b U Ir ε=-=18V
b a ab U U U =-=-
c 14V bc U IR =-=-14V c b bc U U U =-=-36V dO U IR =-=-6V
d U =-电池1端压:
20V ab U =电池2端压:
228V cd U Ir ε=---=返回
专题20-例3解:R 1R 2R 3a ε1r 1ε2r 2ε3r 3R 4R 5b I 1
I 3I 2分析:求出I 3即可对ab 用含源电路欧姆定律求得U ab ;面对I 1、I 2、I 3三个未知量，须由基尔霍夫定律列出三个独立方程方可求解。

对节点a ：1320I I I +-=对上半个回路：
()()1131133530I R R r I R r εε++-+-+=对上半个回路：()()2242233530I R R r I R r εε+++-++=由上三式可得：32A 13
I =-I 3
()33539.62V ab U I R r ε=++=则例1电路中，若将c 、d 短路，a 、b 间电势差是
多少？
R ε1r 1ε2r 2
I 由基尔霍夫第二定律:()11220I r R r εε-++++=12
12I R r r
εε-=++ε'r 'εε'=∑r r '=∑ε1ε2I 1r 2r 1I 2I 由基尔霍夫第一定律:
120
I I I +-=由基尔霍夫第二定律
:
2220IR I r ε+-=112221
0I r I r εε-+-=1221
12
12
r r r r I r r R r r εε++=++ε'r '2112
12r r r r εεε+'=+1212r r r r r '=+
εC S
++q 设充电时间t ，电量为q ，在充电的某元过程中，由基尔霍夫定律：11i i i q q q R t C ε++-=+∆()t t n n ∆=→∞11i i i q q t nRC C q ε++-=-11i i i q q C C t nRC C q εεε++-+-=-11i i C q t nRC C q εε+-+=-1t RC q C e ε-⎛⎫=- ⎪⎝⎭i i q I R C ε=+1t RC i I e ε-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭t RC e I R ε-=1t RC C U e ε-⎛⎫=- ⎪⎝⎭
I t O R εU ε
R 1R 3R 4A B C D R g R 2I 1I 2I E r 0C g D U I U ==时1123I R I R =1224I R I R =3124R R R R =
A ε1r 1
E F
G B R
I 1
I 'ε0r 0
D C
S 12x r
ε工作原理:以基尔霍夫定律为依据,测定求知电源的电虬民电电动势
I 10I I I '--=0
x g Ir IR I R ε'++-=1x
g
I R I R r R ε-=++x
R x 1x x
I R ε=0
R 01I 010
I R ε=0
x
x R R εε=
解:
E 1
E 2
I 1R
3R
I 2
I R
R 各电流设定如图
I 不变,则
2 1.5V
AB U E ∆=∆=E 1两端电压为
()()11223I R I I R I R I I R ++=+-212I I I =+可得I 不变,则21
2I I ∆=∆()12AB I I R U ∆-∆=-∆A B 1 1.5I R
∆=I 1
1164V
CD E U I R ∆=∆=∆⋅=如图所示电路中，E 1是内阻可不计的电源，E 2是有一定内阻的电
源，此时，有一电流通过E 2．若现在使E 2的电动势增加1.5Ｖ，但仍要保持通过E 2的电流不变，电源E 1的电动势必须增加几伏？电路中各电阻值如图中所标示．
各电流设定如图
3322110
I R I R I R +-=()()11122211310
I R I I r E E I I r +++-++=()()22233212230
I R I I r E I I r E -----++=321232
1318217200
5500I I I I I I I I I +-+=++-⎧=+-=⎪
⎨⎪⎩代入数据整理得123
2A
3A 1A I I I =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩解:
如图所示电路，求通过电阻R 1、R 2、R 3中的
电流.
A
E 1r 1
C R 1R 2
R 3E 2r 2E 3r 3
D
I 3
I 1I 2
B
I 2
解:设
10 V 电压加在1、2两节点间，电
路如图
3、4、5、6、7、8各点等势，这是一个平衡的电桥则1、2之间总电阻为
12
34
5678
22
3223
12R ⨯=Ω=+Ω
20A I =200W
P =125A I =2.5A
I =其它如图所示，某电路中共有8个节点，连接任意两个节点间的电
阻丝的阻值都是2Ω，在此电路的任意两个节点之间加上10V 电压，试求通过电路的总电流、各支路的电流以及电路消耗的总功率．
如图所示电路，电源电动势E ，内阻不计，电容器的电容为C ，电阻
R 1∶Ｒ２∶Ｒ３∶R 4＝３∶２∶１∶1，开关Ｓ断开．现将Ｓ闭合，由Ｓ闭合到电路稳定的过程中皮肤R 3的电荷量是多少？
R 2
R 1
C A
B
p
q
R 4
R 3
S 断开时:
125
E
Q C
=S 闭合时:
235
E
Q C
=C q E
∆=p R 1C
R 2q
R 1
C
R 2
p R 4
q
+
+
解:
当P 向右匀速滑动时
R
↓右
C U ↓电容器放电！
q I t ∆=放R
P
C
G +
-C U t ∆=C I R t ⋅∆=C vt R
t R r L
ε=⋅⋅+()ε--⨯⨯⨯⨯⨯+==A ⨯63
210100510 1.50.3100.5
CRv L R r 电流表读数约为-⨯A
8
510解:+
-如图所示电路，将电动势E =1.5V ，内阻r =0.5Ω的电源，与一粗细均匀的电阻丝相连，电阻丝的长度l =0.3m ，电阻R =100Ω，当滑动触头以v =5×10-3m/s 的速度向右滑动时，电流表G 的读数为多少？并指出电流表正负极．已知电容器的电容C =2μF ．
专题20-例4
解:
C 3
C 2
E 1E 2
C 1
C 4
E 4
E 3
A
E
B
G
F
C
H
D
先将立体网络变换成平面网络!
对电流通路DHEFBCD
144E E I R
-=
由含源电路欧姆定律求各电容端电压:
12DA U E E IR =--42EA U E E IR =-+13GC U E E IR =--43GF U E E IR
=-+1V DA U =-5V EA U =5V GC U =-1V
GF U =141C
C C q q μ==235C
C C q q μ==阻值为R 的四个等值电阻，电容为１μF 的四个电容器以及四个
电池在立方体框架的各边上连接起来，如图所示．各电池的电动势E 1＝4V ，E 2＝8V ，E 3＝12V ，E 4＝16V ，它们的内阻可以忽略．⑴求各个电容器的电压和电量⑵若H 点与B 点之间短路，求电容器C 2上的电量．
在图示的网络中，已知部分支路上电流值及其方向，
某些元件参数和支路交点的电势值（有关数值及参数已标在图上）．请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻R x 的支路上电流值Ｉx 及其方向．
专题20-例5
解:10Ω
10Ω
5Ω
10Ω
1Ω
E 5=2V E 1=7V E 4=2V
0.2Ω5V E 2=10V
E 3=7V
2V
6V
6V
7V
10V I 1=3A
I 2=6A
I 3=2A C 2=4μF C 1=5μF
E 6=10V R x G
F D B
C
H
A
3A
6A 5A
1A ()650.2=5V
H U =-⨯H G
U U =2A
依据电路基本规律处
理复杂网络问题
2A
x I =
解:E 1
E 2
R 2
C 1
C 2R 112
开关打1时:
+C 2
充电到电量为2C ε
()22
212=22
W C C εε
=能量为
开关打2时:
C 2放电到电量为C ε能量为2
212
W C ε
'=通过电阻及电池的电量为
2C q C C εεε
∆=-=2C W Q q ε
∆=+∆⋅则+12
Q C ε
=电阻R 2放出电热为
2
214
Q C ε
=如图所示，两个电池电动势E 1=4ε，E 2=ε，电容器C 1、C 2电容
均为C ，电阻器R 1、R 2阻值均为R ．求：当开关S 由位置1转换到位置2后，在电阻器R 2上释放的热量．
R 4
R 3
解:R
1
C
S
-
+
R 2开关S 闭合时:
外电阻为
400
3Ω路端电压为
400
400
3100V=V
400
7
103
⨯+电容器电量为200C
7μ+
-开关S 打开时:外电阻为路端电压为40
100V=80V 4010
⨯+电容器电量为
40C
μ40Ω通过R 2的电量为:
200+400C
7C q μ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∆=68.6C
μ≈如图所示的电路中，已知R 1＝R 2＝R 3＝R 4＝20Ω，
ε＝100V ，r =10Ω,C ＝10-6F ，求当开关S 打开后，通过电阻R 2的电量．
解:S
6Ω3Ω
3F
μA
B ⑴⑵开关S 断开时:
18V
0V 18V 18V
AB U =⑶开关S 闭合时:
62
18V 1V =23
U Ω
=⨯6V 6V ⑷
6F
μ6F μ3F μ电容器电容器
S 闭合时S 断开时电量变化
108C μ54C
μ72C μ18C
μ36C μ-36C
μ-在电压为18V 的直流电源与地线之间有一电路如图所示，
⑴在开关S 断开时，图中A 点和B 点之间的电势差等于多少？⑵又当S 断开时，A 点和B 点的电势哪个高？⑶当接通S 时，B 点对地的电势变为多少？⑷各个电容器所积蓄的电荷在S 接通与断开时相比，改变了多少？
解:
1
ε2
ε1ρ2
ρd 1d 2
1
R 2
R U
1
C 2
C 等效电路如图
其中:1
11
d R S
ρ=222d R S ρ=0111S C d εε=0222
S
C d εε=
()1122
1US
d I d ρρ+=
()1
2
1122
2111222U U d d E E d d ρρρρρρ=
=
++()1012021122
1122
123SU
SU d d d d q q ρεερεερρρρ=
+=
+12q q S
σ-=
()011221122U d d ερερερρ+=-如图所示的平行板电容器极板面积为S ，板间充满两层均匀
介质，它们的厚度分别为d 1和d 2，介电常数为ε1和ε2，电阻率分别为ρ1和ρ2，当板间电压为U 时，求⑴通过电容器的电流；⑵电容器中的电场强度；⑶两介质交界面上自由电荷面密度．
如图，电源电动势10V ，内阻不计．C 1为可变电容，电容
可在7pF —270pF 间变化，将可变电容器电容调至最小．⑴断开开关S ，当可变电容器的电容以每秒5pF 的速率增加时，AB 间电势差U AB 怎么变化？⑵合上开关S ，电路稳定后，以每秒5pF 增加其电容时流过电流计电流的方向和大小？
解:50Ω
1
C 100PF
G
S
B
A
50Ω
⑴S 断开5V
OB
U
=O
221OA
C U E C C =+()
1000V 10075t =++10001000V V 107370OA U ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦465
85V V 10737BA U ⎡⎤∈-⎢⎥
⎣⎦⑵S 闭合电路稳定后电容增大时,电压不变,被充电:
12
15510
OB q U C t
-∆=⋅∆=⨯⨯⋅∆12
2510A
G q I t
-⨯∆==∆
如图所示的电路中，电阻、电容元件的规格如下：R 1：420
kΩ，3W ；R 2：120kΩ，2W ；R 3：240kΩ，2W ；C 1、C 3：0.15μF ，500V ；C 2、C 4：0.1μF ，600V ；C 5：0.002μF ，600V ；这个电路能否正常工作？如果不能，试根据计算确定元件烧毁或击穿的顺序．
解:
C 1
C 3
C 5
+1200V
R 1
R 3
R 2-C 2C 4
1420=1200V=1028V
500
R U ⨯5电容构成电桥且平衡
130.1
==1008=0.150.403.25001
C C U V
U ⨯+<24604.8V ==500V
C C U U >2
21200==12012002W
0W R P >2
31200==2420000
W
6W R P >
解:
1
R 2
R 1
C 2
C S 电流计指针基本不动,指示
出在周期性开、合中通过表的平均电流!在S 闭合的τ1时间内电容器间转移电量+0
1=2U q C
∆电源电流通过表的电量0
1
2U R τ在S 打开的τ2时间内放电电量+0
20=22
U q C U C
∆⋅=+一个周期内通过表的平均电流由
=Q I T ∆平均001012
22U U C U C R τττ-+=+36
3101051010200A 2110---⨯+⨯⨯⨯ 4.8mA ≈如图所示的电路中，开关S 周期性地闭合和断开，其时间各为τ1=1×10-3s 和τ2=20×10-3s ．在这样的变换频率下安培表的指针实际上不再摆动．试问这只磁电式安培计所指示的电流强度的读数为多少？已知R 1＝R 2＝100Ω，C 1＝C 2＝10μF ，U 0＝10V ，电池和安培计的内电阻很小均忽略不计．
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I
专题20-例6
解:
a
b
电流由电极进入大地的电流线球对称分布：
2=2I j r π即=j E γ又22I E r πγ=故2I
U r πγ=
1 m 处的跨步电压为：
1
11112ab ab I
U r r r πγ
⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
()
112ab
ab Ir r r r πγ=+11194V
ab U ≈()
10
222ab
ab ab Ir U r r r πγ=
+218V
ab U ≈如图所示电线被风吹断，一端触及地面，从而使200A 的电
流由接触点流入地内，如图．设地面水平，土地的电导率γ=10-2S/，当一个人走近输电线接地端，左、右两脚间（约0.6m ）的电压称跨步电压，试求距高压线触地点1m 和10m 处的跨步电压．
解:
D
A
B C
I 0
20lim 2r r I U r r
ρπ∆→∴=⋅∆∑2I r ρ
π=01122C I U a ρπ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
01122D I U a ρπ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
012122I U a ρπ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
则(
)
22aU I πρ+=如图，一个平面把空间分为两个部分，一半空间充满了均匀的
导电介质，而物理学家在另一半空间工作，他们在平面上画出一个边长为a 的正方形轮廓，使电流I 0从正方形的相邻顶点A 与B 流入流出，同时测得另两个顶点C 、D 间的电势差为U ，若已知以球对称分布的电流在半空间里引起的电场强度大小，（r 为到球心的距离，ρ为导电介质的电阻率），物理学家确定的均匀介质的电阻率是多少？
2
2r I E r
ρ
π=
解:
ln
2b l R a
ρπ=l
a b
⑴电缆的径向电阻为
21ln 2r R L r ρπ=12
1.01010
ln 210005
π⨯=⨯81.110⨯≈Ω⑵电缆的径向漏电电流为
8
100A 1.110
U I R ==⨯7
9.110A
-≈⨯一电缆的芯线是一根半径为r 1=5mm 的铜线，在铜线外包有一层同轴的绝缘层，其外半径r 2=10mm ，电阻率ρ=1.0×1012Ω·m ，在绝缘层外又用铅层加以保护，如图所示．求:⑴长L=1000m 的这种电缆沿径向的漏电电阻；⑵当芯线与铅层间的电势差为100V 时，电缆沿径向的电流．
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电流通过HgI 2电解液，在两极——即左、右两段水银柱发生化学反应
解:
R
E
++
Hg-2e=Hg ++
Hg 2Hg
e +=2
4
2A d l
Q N e
M
πρ
=
⋅E Q I R t
==
2
24A eN d lR t ME
ρπ=
()
2
4
3
3
2
3
3
9.6510213.610 3.140.310
1039010
h
420110103600
---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯100h
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如图所示是广泛应用于电子技术中的“水银钟”的核心部分，在封口的毛细管内有两段水银柱，它们被一小滴HgI 2电解液隔开，毛细管的内径d ＝0.3 mm ，管子与电阻R ＝390 kΩ的电阻串联，再接到电动势E ＝10 V 的电池上．“水银钟”用作小型定时装置，运行时间计算器，也用作库仑测量器测量长时间内通过电路的电量．（1）HgI 2液滴向左还是向右移动？（2）若“水银钟”标尺上一个刻度长度为１cm ，它指示多少时间? （M Hg =201×10-3kg/mol ，ρ=13.6×103kg/m 3）．
专题20-例7解:
空气被激导电,载流子有正、负离子：
()12n v v t S e
I t
+∆⋅⋅=
∆故电流密度为：
()12j n v v e
=+⋅8
2
5.010A/m
-≈⨯用X 射线使空气电离时，在平衡情况下，每立方厘米有
1.0×107
对离子．已知每个正或负离子的电量均为基元电量e ，正离子平均定向移动速率cm/s ，负离子的平均定向移动速率cm/s ，求这时空气中电流密度的大小．
解:
空气被激导电,载流子有正、负离子；设地面大气电场强度为E ，则
()12n v v E t S e
I t
+⋅∆⋅∆⋅=
∆I
j E S γ==
∆()12I n v v e
E S
γ==+⋅∆16
2.610
S/m
-≈⨯在地面附近的大气里，由于土壤的放射性和宇宙线的作用，平
均每1cm 3的大气中约有5对离子，已知其中正离子的迁移率（单位电场强度引起的平均定向移动速率）为1.37×10-4m2/s·V ，负离子的迁移率为1.91×10-4m 2/s·V ，正、负离子所带电量大小均为1.60×10-19C ，求地面大气的电导率．
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专题20-例8
解:
b e
c
R 1R 2R c
R e
I 2
I e
I c I b
2.02mA
e b c I I I =+=I 1
120.42mA
b I I I =+=利用基尔霍夫定律及欧姆定律可求出未知电阻
1.76V
bc ec eb U U U =-=110
c c bc I R I R U --=19k R ≈Ω22110I R I R ε+-=2 5.6k R ≈Ω220
e e eb I R I R U --= 1.0k e R ≈Ω
如图所示的晶体管工作电路中，ε=6V ，内阻不计，U ec =1.96
V ，U eb =0.20V ，I c =2.0mA ，I b =20μA ，I 2=0.40mA ，R c =1kΩ．求R 1、R 2、R e 阻值．
解:
⑴
0eb b b C U I R E +-=b
e
c R c
R b
I b
I e
95k b R =Ω
⑵集电极电流3mA
c b I I β==3V
,c c
ec C ec I R U E U +==⑶I c
⑷发射极电流
3.06mA
e b c I I I =+=如图所示为晶体管固定偏置电路，若已知E c =6.0V ，R c =1.0kΩ，
电流放大系数β=50，发射结正向电压U eb =0.30V ，基极电流I b =60μA ，晶体管在静态工作时，求⑴偏置电阻R b ；⑵电流I c ；⑶管压降U ec ；⑷发射极电流I e ．
解:
b e
c
R 1R 2R c
R e
I 2
I e
I c I b
I 1
基极电流
0.05mA b e c I I I =-=220
eb e e I R U I R --=11220
c I R I R E +-=20.25mA I =10.3mA
I =126k R ≈Ω
在如图所示放大电路中，若已知E c =9.0V ，R e =1.0kΩ，R 2=5.0
kΩ，U eb =0.20V ，发射极电流I e =1.05mA ，集电极电流I c =1.0mA ，求偏流电阻R 1的阻值．
a
P b
解:
A
2
R P→a
A I R ε
=
P→b
A I R
ε=
P→中
/345322
A R R R I R R ε+
==
如图所示电路中，电源电动势ε恒定，内阻不计，R 1=R 2 ,
则当变阻器滑动片从a 端滑向b 端过程中电流表读数
A ．逐渐减小
B ．逐渐增大
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大
A r
解:13
24
1
2
3
4
40W
80W
20W
1
2
1
2
闭合接线柱1、2
40W
P 由电阻器组成的不可见的电路（暗盒）有四根引出线，如
图．如果电压加在接线柱1和2上，那么在断开接线柱3和4情况下，电路内释放功率P 1＝40 Ｗ；而当闭合接线柱3和4的情况下，P 2＝80 Ｗ；如果接线柱3和4接在同一个电源上，那么当断开接线柱1和2情况下，电路中释放功率P 3＝20 Ｗ；求当同样电压加在接线柱3和4上，在闭合接线柱1和2的情况下，电路消耗的功率P 4．
解:
A 2R R R
A 1
A 3
1mA
4mA
4.5V
14g
g R R R =
+由3g
R R =得3
14
435
g g g
R I R R +=
+由319mA I =得12343534315g
U
I I I R ++=
⎛⎫+
⎪ ⎪+ ⎪++
⎪⎝⎭
由4500
91g R =Ω
得148R ≈Ω
由三个相同的电流表和三个相同的电阻器组成的电路如图所
示．第一只电流表的读数为１mA ，第二只电流表的读数为4 mA ，电池两极间的电压为U ＝4.5Ｖ，求：⑴第三只电流表的读数⑵电阻器的阻值R ．
如图，电灯泡的电阻R 0＝2Ω，正常工作电压为U 0＝4.5 V ，
用电动势U ＝6 V 、内阻可忽略的电池供电，并利用一滑线变阻器将灯泡与电池相连．试求效率为最大的条件及最大效率值．又为使系统的效率不低于η＝0.6，试计算电阻器的阻值及其承受的最大电流．
解:
R 2
u
R 1电路效率20000
0P U I U
P UI R UI
η===
R 0
1I η∝当I min ＝I 0时0max 75U U η==%此时0102
3
U U R I -==Ω
220000
0.6,0.6U U I R UI
R U
≥≤
电路效率不低于0.6: 1.875A =2
2
2
0201
1
02
0.60.6
4U U U
R R R R R R R ≥=++18
15
R ≥Ω
灯正常工作:
002111202002102
6323U U R R R R R R R R U R R R R R -=⇒=⇒=+-+123
R ≤Ω
28R ≥Ω
8.53R ≥Ω
解:
由19.6V
U =通过伏特表1电流
10.3mA V I =伏特表内阻9.6
k 0.3
32k R =Ω=Ω
第１只安培表的读数是50个伏特表电流之和！
5049481
1U U U U I R
++++=
1
U I R =∑304V =如图所示的电路图中，包含有50只不同的安培表（A 1——
A 50），以及50只相同规格的伏特表（V 1——V 50）．第１只伏特表的读数为U 1＝9.6V ，第１只安培表的读数为I 1＝9.5mA ，第2只安培表的读数为I 2＝9.2mA ．试根据给出的这些条件求所有伏特表的读数的总和．
A 1
A 2
A 50
V 2V 1V 50。