安徽省江淮十校2020届高三上学期第一次联考试题 数学(理)Word版含答案

安徽省江淮十校2020届高三上学期第一次联考试题（8月）
数学（理）
1.已知集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠+==0,1|x x x y y A ，集合{}04|2≤-=x x B ,若P B A =I 则集合P 的子集个数为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 2．复数满足2|43|=++i z ，则z z ⋅的最大值是( ) A ．7
B ．49
C ．9
D ．81
3.设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知向量,a b v
v 均为非零向量，(
)
2,a b a a b -⊥=v
v
v
v v
，则,a b v
v 的夹角为（） A ．
6πB ．3
π
C ．23π
D ．56π
5.已知1
3
3
1ln ,,log x y e z ππ-===,则( )
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y x <<
D ．y z x <<
6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为( ) A ．
2π33
2(π3)
--
B ．
3
2(π3)
-
C ．
3
2(π3)
+
D ．
2π33
2(π3)
-+
7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）
A ．对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线
B ．对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线
C ．当点F 从1A 运动到1
D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．．
8..某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在()
s x s x +-,内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）
A ．56%
B ．14%
C ．25%
D ．67%
9..将余弦函数的图像向右平移
2
π
个单位后，再保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半,得到函数)(x f 的图像，下列关于)(x f 的叙述正确的是（ ）
A.最大值为1，且关于⎪⎭
⎫
⎝⎛0,43π对称； B.周期为π，关于直线2π=x 对称；
C.在⎪⎭⎫ ⎝⎛-8,6ππ上单调递增，且为奇函数；
D.在⎪⎭
⎫
⎝⎛40π，上单调递减，且为偶函数.
10..对任意实数x ，恒有01≥--ax e x
成立，关于x 的方程01ln )(=---x x a x 有两根为
)(,2121x x x x <，则下列结论正确的为（ ）
A ．221=+x x
B ．121=⋅x x
C ． 22
1
=x x D ．12x e x =
11.已知双曲线C:122
22=-b
y a x 的两条渐近线分别为,21l l 与A 与B 为1l 上关于坐标原点对称
的两点，M 为2l 上一点且e k k BM AM =⋅，则双曲线离心率e 的值为（ ） A. 5 B. 2
1
5+ C. 2 D. 2
12.在四面体ABCD 中，若AD DB AC CB 1====，则当四面体ABCD 体积的最大时其外接球表面积为（） A ．π35 B ．
π3
4
C ．π
D ．π2 二．填空题(每题5分，共20分)
13已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值为________
14．已 知 5(1)(2)x x a ++的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 2, 则 其 展 开 式 中 含2x 项 的 系 数 是 _______
15.关于x 的方程0cos 2sin =++a x x 在⎪⎭
⎫
⎝⎛20π，内有解，则实数a 的取值范围是__________
16. 已知抛物线C :y x 42
=的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线与B A ,两点且2
λ=
()为非零常数λ，以A 为切点作抛物线C 的切线交直线：1-=y 与M 点，则MF 的长度
为__（结果用含λ式子表示）
17. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()1216++=n n n S n （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设141
n n b a =
-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：2
1<n T 18ABC ∆中
，
角
C
B A ,,所对的边分
别
是
c
b a ,,，若
C B A 222sin 3sin sin =-,3
2
2sin =
A ，且0>⋅AC BA ， （1）求C
B
sin sin ； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积。

19如图，四面体ABCD 中,ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，
,ABD CBD AB BD ∠=∠=．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）若点E 为DB 中点，求二面角D AE C --的正弦值.
20．如图，已知()()0,1,0,1B A -Q 、G 分别为的外心、重心，.
（1）求点C 的轨迹E 的方程.
（2）是否存在过)1,0(P 的直线L 交曲线E 与M,N 两点且满足PN MP 2=，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由。

21.已知函数()14
1cos 2
-+=x x x f
(1) 证明:0)(≤x f , ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈2,2ππx (2) 判断()x f y =的零点个数，并给出证明过程。

理科数学参考答案
一．选择题 1.B
解析：{}22|≥-≤=y y y A 或 ，{}22≤≤-=x B 则{}2,2-=⋂B A 所以P 的子集个
数为四个,选B. 2.B
解析：令yi x z += 则有()()4432
2
=+++y x ，2
2y x z z +=⋅所以其最大值为
()49522=+选B.
3. B
.∵,,a b c 为正数，∴当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则()2
22+->a b ab c ，即()2
222+>+>a b c ab c ， 即
()
2
2+>a b c ，即a b c +>，成立，即必要性成立，
则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 4.B
解析：∵(
)
2a b a -⊥v
v
v
∴2
2
20,2cos ,0a b a a b a a b -=-=v v v
v v
v v v g
g 即, ∵=a b
v v , ∴1
cos ,2
a b =v v ，∴,a b v v 的夹角为3π 故选：B 5．C
解析：根据对数函数的单调性可以得到113
3
ln ln 1,log log 10,x e z ππ=>==<=根据指数函
数的性质可得()1
3
0,1,y e z y x -
=∈∴<<，故选C .
6 A
解析：如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是
2
226
3
ππ⨯=
，
ABC ∆的面积是1222⨯⨯= 所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，
即
2323
π
π⨯-=- 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率是
()
323
3232231--=
--
πππ故选A
7.C
解析：因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误； 平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交， 所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误； F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大 故C 正确；
平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误. 故选C. 8.A 解析：363637374440434443
409
x ++++++++=
=,
2161699160916910099s ++++++++==
103s =
,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,3
3⎛⎫
⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于5
05609
≈，故选A.
9 C
解析：由题意可知()x x f 2sin =则只有C 选项符合
答案：C 10.B
解析：对任意实数x ，恒有01≥--ax e x
成立，则可得1=a ，关于x 的方程
1ln )(=---x x a x 转化为
1
1ln -+=
x x x ，若
1
x 满足
1
1
ln 111-+=
x x x ，则有
1
111
1ln 1
1
1-+=x x x 结
合原方程有两根
为)(,2121x x x x <，所以即121x x =
1
21=⋅x x 故选B
11.B
解析：a c e a b k k BM
AM ===⋅22，由于222a c b -=则解得
21
5+=
e ，选B 12.A
解析：如图，取AB 中点E ，连接CE ，DE ，设2(01)AB x x =<<，则21CE DE x ==-，
∴当平面ABC ⊥平面ABD 时，四面体体积最大，
四面体的体积
22311112113233V x x x x x =⨯⨯⨯-⨯-=-．21
'3V x =-，
当30,x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，V 为增函数，当
3,1x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，V 为减函数， 则当3
x =
时，V 有最大值 ABC ∆与ABD ∆外接圆的半径4
6
=
r ，则四面体ABCD 的外接球半径12
52222=
-=x r R 所以时其外接球表面积为
π35 ，选A
二．填空题
13：23
14. -30 15[)
1,5--
16.
λλ1
+
17.(1) ① ②............3分 ①-②得
（2）
....................................................................10分 18.
解
析
：
（
1
）
由
>⋅AC BA 可得
cos <A ，
31
3221sin 1cos 2
2-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=--=A A ........2分 因为C B A 2
22sin 3sin sin =-，
由正弦定理可得：2223c b a =-即2
223c b a +=
又312cos 222-=-+=
bc a c b A ，所以()
3
1
232222-=+-+bc c b c b ()()6121n S n n n =++Q ()()16121,2n S n n n n -∴=--≥2
1211n n a n n a a n ===∴=当时，符合上式.21111141221214111111112335212111122111
0,01121211
.
2n n n n b a n n n T n n n n N n n T +⎛⎫
===- ⎪
--+-⎝⎭
⎛⎫
∴=-+-++- ⎪
-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∈∴
><-<++∴<Q K Q
化简整理可得：31
=b c ； .......6分 由正弦定理 3sin sin ==c
b
C B ......7分
（2）由（1）可知，c b 3=
且2223c b a +=，2=a 联
立
可
解
得
3,3
3
==
b c .......10分 所
以
ABC
∆的面积
3
232233321sin 21=⋅⋅⋅==A bc S .......12分
19（1）由题意可得，ABD CBD ∆≅∆,从而AD DC =， 又ACD ∆是直角三角形，所以0
90=∠ADC
取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则,DO AC DO AO ⊥=， 又由ABC ∆是正三角形，所以BO AC ⊥，.......2分 所以DOB ∠是二面角D AC B --的平面角, 在直角AOB ∆中，222BO AO AB +=，
又，AB BD =所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故090DOB ∠= ，所以平面ACD ⊥平面ABC 。

.........5分
（2）由题设及（1）可知OA ,OB ,OC 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()()
()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -
E 为DB 的中点，得310,,2E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
故31(1,0,1),(2,0,0),(1,,)2
AD AC AE =-=-=-u u u r u u u r u u u r ,
设(,,)n x y z =r 是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即031
02x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩
， 令1x =，则3,1y z =
=，即平面DAE 的一个法向量3(1,,1)n =v
，....7分 设(,,)m x y z =u r 是平面AEC 的法向量，则0
m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，
可得平面AEC 的一个法向量(0,1,3)n =-r
，...9分
则7cos ,m n m n m n ⋅==⋅u r r
u r r u r r ，即二面角C AE D --的余弦值为
7........11分
所以二面角C AE D --的正弦值为7
42
711=-
........12分
20：（1）设(),C x y ()0y ≠.则,33x y G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由于
则⎪
⎭⎫ ⎝⎛3,0y Q ...........2分
由222
4199y y QA QC x =⇒+=+
2
2
13
y x ⇒+= ①......4分
故轨迹E 的方程为()2
2
103
y x y +=≠.....5分
（2）()()2211,,,1y x N y x M kx y L y L ，设：假设存在直线
轴重合时不符合条件。

与当+=
联立1312
2
=++=y x kx y 与则有 ()分7........32,32,022********
k x x k k x x kx k +-=⋅+-=+=-++ 由于2=则有222121-=-=x x x x 即
()222222212
21322334k k k k k x x x x +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+
由于()2
12122121221-=++=+x x x x x x x x 则有112±==k k 即，......10分 则直线L 过()()0,1,0,1或-......11分
所以直线L 不存在......12分
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()分时当是偶函数又单调递减时当，单调递增；时，单调递减；当时，当分，得时当、5..............00,2,2,,00,,0',2,0;0412'00'',0''2,3',0''3,02..............30'',2,021cos ''2,2,21sin '2,2,141cos 1212=≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈∴=-=≤≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∴<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=>⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈<⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈+-=∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+-=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-+=f x f x x f x f x f f x f x f x f x f f x f x f x x f x f x x x f x x x f x x x x f x x x x f ππππππππππππππΘΘΘ
()()()[)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(]()分
有三个零点综上：有且只有一个零点；，无零点，在，在是偶函数，又分上有且只有一个零点；在上有且有一个零点，即，无零点，在在单调递增；时，，单调递减；当时，当分时，单调递增，时，当分无零点；时，当分有一个零点时，可知，当由三个零点
12.......23311.....3,23,2,0453cos 3,02,01162,0'3,0',29.........;.........0'3,20233sin 3',0412''021cos '',21sin '3,27........,04
91cos ,36;......0,2,2120002000x f x f x f x f x x x f f f x f f x f x f x x x f x f x x x f x f f x f x x f x x x f x x f x x f x x x f x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛---∞-∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∴>+=<⎪⎭
⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛>∈<⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈∃>+-=<+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∴>+-=+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈∴>+-≥+∞∈=∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈πππππππππππππΘ
22
（1）()()()()81216,8321583214,812136
,54,3332
33
133=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P C X P C X P X P X ，可取
分布列如下：
........3分
29816835834813=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .........4分
（2）易知棋子先跳到第2n -站，再掷出反面，其概率为212n P -；棋子先跳到第1n -站，再掷出正面，其概率为112
n P -，因此有 ()1212
n n n P P P --=
+，...........6分 即()11212n n n n P P P P ----=-+， 也即..()982)(2111≤≤-=--+n P P P P n n n n ..........8分
（3）由（2）知数列{}()11n n P P n --≥是首项为{}()11n n P P n --≥ 1011122P P -=
-=-，公比为12-的等比数列.因此有()()11101122n n n n n P P P P ---⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭
...........10分 由此得到
999899100111211122232P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
........11分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-999899989921132,21P P P 则又 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
............12分
22.棋盘上标有第0，1，2，⋅⋅⋅，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P .
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X 的分布列与数学期望；
（3）求,99P ,100P 的值.。