向量基础练习题(含答案)
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，
;
三点共线，
，解得 ，
, ， 。
故答案为 .
【点睛】
本题考查向量的线性运算和三点共线的综合应用,三点共线的运用是解题关键。
三点共线的判定方法：
(1)共线定理： ， ；
（2）平面内任意一点 ， ；
（3）平面内任意一点 ， ，其中
19．
【解析】
【分析】
由向量垂直的充分必要条件可得: ，据此确定x的值即可.
直接利用向量的线性运算求出结果．
【详解】
∵ 为 所在平面内一点， ，
∴B，C,D三点共线。若 ∴ ，
化为： = + ,与 =− + ，比较可得： ,解得 。
即答案为—3.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．
22．
【解析】
【分析】
分别表示出 和 的坐标,而 ，根据 和 的坐标特点，求出 的值，得到答案。
根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得， ,解出向量 ．
【详解】
根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，
有 ．
故选 ．
【点睛】
本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平和分析推理能力。
9．C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将 用 表示，由此即可得到 的值，从而可求 的值.
【点睛】
本小题主要考查平面向量相等、共线等知识的理解,属于基础题。
3．B
【解析】
【分析】
逐一分析选项，得到答案。
【详解】
A。单位向量的方向任意,所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
B。向量 与向量 是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；
C。向量是既有大小,又有方向的向量，可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确;
与向量 ，方向不同，
与向量 不相等,
而向量 与 方向相同，长度相等，
,故选D.
【点睛】
本题主要考查相等向量的定义，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等.
7．C
【解析】
【分析】
设 是 上除 点外的令一个三等分点，判断出 是三角形 的重心，得出 的比例，由此得出 的值。
详解:根据向量的运算法则，可得
，
所以 ,故选A。
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
13．
【解析】
因 ,故由 可得 ，故 ，应选答案 。
14．
【解析】
【分析】
17．设平面向量 ， 若 ,则 等于_____．
18．如图所示,已知在 中， ， ， 交 于点 , ,则 __________．
19．已知平面向量 ,若 ，则 ________.
20．已知向量 ，向量 ,若向量 与 平行，则 __________．
21．设 为 所在平面内一点, ，若 ，则 __________．
【详解】
由向量垂直的充分必要条件可得： ，解得： 。
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.
20．
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标关系,代入关系式即可求得m的值.
【详解】
由题可知： ,
即 。
【点睛】
本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题。
21．-3
【解析】
【分析】
向量基础练习题
1．下列命题正确的是（)
A．单位向量都相等B．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
C．若 与 是相反向量,则｜ ｜=｜ ｜D． 与 （ ）的方向相反
2．分析下列四个命题并给出判断,其中正确的命题个数是( )
①若 ,则 ；②若 ，则 ；
③若 ,则 ④若 ，则
A． B． C． D．
3．在下列结论中，正确的为（）
D。规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确。
故选B。
【点睛】
本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.
4．C
【解析】
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － ）＝－ ＋ ，选C。
5．D
【解析】
【详解】
试题分析:由 ， , 可知
6．D
【解析】
【分析】
根据相等向量的定义，对选项中的向量逐一判断即可。
【详解】
利用向量加法的三角形法则可得结果.
【详解】
解：如图：
因为 ，
所以图中三角形为等边三角形,
所以 与 的夹角为 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查向量加法的三角形法则，数形结合可快速得出结果，是基础题。
15．
【解析】
【分析】
由 ,结合向量的线性运算，用 ， 表示出 ，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】
， ，又 ， ， ，所以 。
22．已知向量 ， ，若 ，则实数 _______.
23．已知 ， ,若 ，则 ______．
24．已知 ， ， , 且 ，则 _______
25．已知平面向量 ＝（－2，m）， ＝(1， )，且 ，则实数m的值为______.
26．设向量 ＝（1,0）， ＝（－1,m）.若 ,则m＝________.
11．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算法则，用 、 表示出 即可.
【详解】
即:
本题正确选项：
【点睛】
本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算,属于基础题.
12．A
【解析】
分析:首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征,求得 ,之后应用向量的加法运算法则-——-—-—三角形法则,得到 ，之后将其合并，得到 ,下一步应用相反向量，求得 ,从而求得结果。
17．
【解析】
【分析】
由两向量共线，可求 的值,再利用向量的模长公式即可．
【详解】
解: ， 则 ，解得 ，
从而3 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量平行与向量的模长公式，是基础题．
18． .
【解析】
【分析】
设 ，用向量 和 表示向量 ，再根据 三点共线，即可求出 ，进而求出答案。
【详解】
设 ，
， ，
【详解】
， ，
由 得 ，即 ，
即m－(－1)＝0，
即m＝－1，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量垂直的坐标运算,重点考查了运算能力，属基础题.
27．
【解析】
【分析】
由 ，得 ，由此可求得 ．
【详解】
∵ ，∴ ，即 ,
（ 舍去）．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直与数量积的关系．解题关键是由向量垂直得其数量积为0．
若 ， 平行或者共线，则 。
24．
【解析】
【分析】
利用向量的数乘和向量相等即可得出．
【详解】
解： , , ， ,
， ， ， ，
又 ，
， , ,
，
解得
．
故答案为：
【点睛】
熟练掌握向量的数乘和向量相等是解题的关键．
25．
【解析】
， ， , , .
26．
【解析】
【分析】
由 等价于 ,再结合向量数量积的坐标运算即可得解.
【详解】
因为向量 ， ，
所以 ，
因为 ,
而 的横坐标为 ， 的横坐标不为 ，
则两个向量若要平行,则必须 ，
所以得到 ，得 。
故答案为 .
【点睛】
本题考查向量线性运算的坐标表示,根据向量平行求参数的值，零向量的性质，属于简单题.
23．
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标运算即可得出。
【详解】
，
，解得
【点睛】
A． B．
C． D．
11．在 中， ,若 ，则
A． B． C． D．
12．在△ 中， 为 边上的中线, 为 的中点，则
A． B．
C． D．
13．已知非零向量 ，若 ,则 ________．
14．若 ，则 与 的夹角为__________
15．在 中, ， ，则 __________．
16．在平行四边形 中,点 是 的中点，点 是 的中点，记 ，用 表示 ,则 _________.
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形 中，点 满足 ， 与 交于点 ，设 ，则 （)
A． B． C． D．
8．已知 是 的 边上的中点,若向量 ， ,则向量 等于（）
A． B． C． D．
9．如图,已知 中， 为 的中点， ，若 ，则 （)
A． B． C． D．
10．设 为 所在平面内一点， ,则（）
27．已知 ， ，若 ，则正数 ________。
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
单位向量可能方向不同，所以A错误;若 ，则B错误;相反向量模长相等方向相反,所以C正确；若 ， 与 （ ）的方向相同，所以D错误.
【详解】
向量相等必须模长相等且方向相同，所以A选项说法错误；
若 ，任意向量 与 ，都有 与 共线， 与 共线，但 与 不一定共线，所以B错误；
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量 与向量 的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
4．如图，已知 ＝ ，用 ， 表示 ，则 等于（)
A． － B． ＋ C．－ ＋ D．－ －
5． 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
6．如图所示，在正 中, 均为所在边的中点，则以下向量和 相等的是（）
【详解】
设 是 上除 点外的令一个三等分点，连接 ，连接 交 于 ，则 。在三角形 中, 是两条中线的交点,故 是三角形 的重心，结合 可知 ，由于 是 中点，故 。所以 ，由此可知 ，故选C.
【点睛】
本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.
8．C
【解析】
【分析】
故答案为
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算,结合平面向量的基本定理，即可求出结果，属于基础题型.
16．
【解析】
【分析】
将 写成 的线性和的形式，解方程组求得 的表达式.
【详解】
画出图像如下图所示，由图可知 ①, ②，解由①②组成的方程组，求得 .
【点睛】
本小题主要考查平面向量的加法和减法运算，考查向量在几何图形中的应用，属于基础题.
【详解】
因为 ，
所以 ， 。故 .
故选：C。
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.
10．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算计算可得。
【详解】
解: 为 所在平面内一点， ,
故选： ．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
若 与 是相反向量,则模长相等，方向相反，则| ｜=| ｜，所以C正确；
若 ， 与 （ ）的方向相同，所以D错误。
【点睛】
此题考查向量的概念辨析，关键在于准确掌握向量的相关概念.
2．B
【解析】
【分析】
根据向量相等及共线的定义对四个命题逐一分析判断，由此得出正确命题个数。
【详解】
对于①,当两个向量平行时，大小和方向可能不相等,即两个向量不一定相等，故①错误。对于②，两个向量模相等，方向不一定相同，故②错误。对于③,两个向量模相等，不一定共线,也可能垂直或者其它的情况，故③错误.对于④，如果两个向量相等，则大小和方向都相同，故④命题正确.综上所述，共有 个命题为真命题，故选B.
;
三点共线，
，解得 ，
, ， 。
故答案为 .
【点睛】
本题考查向量的线性运算和三点共线的综合应用,三点共线的运用是解题关键。
三点共线的判定方法：
(1)共线定理： ， ；
（2）平面内任意一点 ， ；
（3）平面内任意一点 ， ，其中
19．
【解析】
【分析】
由向量垂直的充分必要条件可得: ，据此确定x的值即可.
直接利用向量的线性运算求出结果．
【详解】
∵ 为 所在平面内一点， ，
∴B，C,D三点共线。若 ∴ ，
化为： = + ,与 =− + ，比较可得： ,解得 。
即答案为—3.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．
22．
【解析】
【分析】
分别表示出 和 的坐标,而 ，根据 和 的坐标特点，求出 的值，得到答案。
根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得， ,解出向量 ．
【详解】
根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，
有 ．
故选 ．
【点睛】
本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平和分析推理能力。
9．C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将 用 表示，由此即可得到 的值，从而可求 的值.
【点睛】
本小题主要考查平面向量相等、共线等知识的理解,属于基础题。
3．B
【解析】
【分析】
逐一分析选项，得到答案。
【详解】
A。单位向量的方向任意,所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
B。向量 与向量 是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；
C。向量是既有大小,又有方向的向量，可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确;
与向量 ，方向不同，
与向量 不相等,
而向量 与 方向相同，长度相等，
,故选D.
【点睛】
本题主要考查相等向量的定义，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等.
7．C
【解析】
【分析】
设 是 上除 点外的令一个三等分点，判断出 是三角形 的重心，得出 的比例，由此得出 的值。
详解:根据向量的运算法则，可得
，
所以 ,故选A。
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
13．
【解析】
因 ,故由 可得 ，故 ，应选答案 。
14．
【解析】
【分析】
17．设平面向量 ， 若 ,则 等于_____．
18．如图所示,已知在 中， ， ， 交 于点 , ,则 __________．
19．已知平面向量 ,若 ，则 ________.
20．已知向量 ，向量 ,若向量 与 平行，则 __________．
21．设 为 所在平面内一点, ，若 ，则 __________．
【详解】
由向量垂直的充分必要条件可得： ，解得： 。
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.
20．
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标关系,代入关系式即可求得m的值.
【详解】
由题可知： ,
即 。
【点睛】
本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题。
21．-3
【解析】
【分析】
向量基础练习题
1．下列命题正确的是（)
A．单位向量都相等B．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
C．若 与 是相反向量,则｜ ｜=｜ ｜D． 与 （ ）的方向相反
2．分析下列四个命题并给出判断,其中正确的命题个数是( )
①若 ,则 ；②若 ，则 ；
③若 ,则 ④若 ，则
A． B． C． D．
3．在下列结论中，正确的为（）
D。规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确。
故选B。
【点睛】
本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.
4．C
【解析】
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － ）＝－ ＋ ，选C。
5．D
【解析】
【详解】
试题分析:由 ， , 可知
6．D
【解析】
【分析】
根据相等向量的定义，对选项中的向量逐一判断即可。
【详解】
利用向量加法的三角形法则可得结果.
【详解】
解：如图：
因为 ，
所以图中三角形为等边三角形,
所以 与 的夹角为 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查向量加法的三角形法则，数形结合可快速得出结果，是基础题。
15．
【解析】
【分析】
由 ,结合向量的线性运算，用 ， 表示出 ，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】
， ，又 ， ， ，所以 。
22．已知向量 ， ，若 ，则实数 _______.
23．已知 ， ,若 ，则 ______．
24．已知 ， ， , 且 ，则 _______
25．已知平面向量 ＝（－2，m）， ＝(1， )，且 ，则实数m的值为______.
26．设向量 ＝（1,0）， ＝（－1,m）.若 ,则m＝________.
11．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算法则，用 、 表示出 即可.
【详解】
即:
本题正确选项：
【点睛】
本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算,属于基础题.
12．A
【解析】
分析:首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征,求得 ,之后应用向量的加法运算法则-——-—-—三角形法则,得到 ，之后将其合并，得到 ,下一步应用相反向量，求得 ,从而求得结果。
17．
【解析】
【分析】
由两向量共线，可求 的值,再利用向量的模长公式即可．
【详解】
解: ， 则 ，解得 ，
从而3 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量平行与向量的模长公式，是基础题．
18． .
【解析】
【分析】
设 ，用向量 和 表示向量 ，再根据 三点共线，即可求出 ，进而求出答案。
【详解】
设 ，
， ，
【详解】
， ，
由 得 ，即 ，
即m－(－1)＝0，
即m＝－1，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量垂直的坐标运算,重点考查了运算能力，属基础题.
27．
【解析】
【分析】
由 ，得 ，由此可求得 ．
【详解】
∵ ，∴ ，即 ,
（ 舍去）．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直与数量积的关系．解题关键是由向量垂直得其数量积为0．
若 ， 平行或者共线，则 。
24．
【解析】
【分析】
利用向量的数乘和向量相等即可得出．
【详解】
解： , , ， ,
， ， ， ，
又 ，
， , ,
，
解得
．
故答案为：
【点睛】
熟练掌握向量的数乘和向量相等是解题的关键．
25．
【解析】
， ， , , .
26．
【解析】
【分析】
由 等价于 ,再结合向量数量积的坐标运算即可得解.
【详解】
因为向量 ， ，
所以 ，
因为 ,
而 的横坐标为 ， 的横坐标不为 ，
则两个向量若要平行,则必须 ，
所以得到 ，得 。
故答案为 .
【点睛】
本题考查向量线性运算的坐标表示,根据向量平行求参数的值，零向量的性质，属于简单题.
23．
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标运算即可得出。
【详解】
，
，解得
【点睛】
A． B．
C． D．
11．在 中， ,若 ，则
A． B． C． D．
12．在△ 中， 为 边上的中线, 为 的中点，则
A． B．
C． D．
13．已知非零向量 ，若 ,则 ________．
14．若 ，则 与 的夹角为__________
15．在 中, ， ，则 __________．
16．在平行四边形 中,点 是 的中点，点 是 的中点，记 ，用 表示 ,则 _________.
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形 中，点 满足 ， 与 交于点 ，设 ，则 （)
A． B． C． D．
8．已知 是 的 边上的中点,若向量 ， ,则向量 等于（）
A． B． C． D．
9．如图,已知 中， 为 的中点， ，若 ，则 （)
A． B． C． D．
10．设 为 所在平面内一点， ,则（）
27．已知 ， ，若 ，则正数 ________。
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
单位向量可能方向不同，所以A错误;若 ，则B错误;相反向量模长相等方向相反,所以C正确；若 ， 与 （ ）的方向相同，所以D错误.
【详解】
向量相等必须模长相等且方向相同，所以A选项说法错误；
若 ，任意向量 与 ，都有 与 共线， 与 共线，但 与 不一定共线，所以B错误；
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量 与向量 的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
4．如图，已知 ＝ ，用 ， 表示 ，则 等于（)
A． － B． ＋ C．－ ＋ D．－ －
5． 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
6．如图所示，在正 中, 均为所在边的中点，则以下向量和 相等的是（）
【详解】
设 是 上除 点外的令一个三等分点，连接 ，连接 交 于 ，则 。在三角形 中, 是两条中线的交点,故 是三角形 的重心，结合 可知 ，由于 是 中点，故 。所以 ，由此可知 ，故选C.
【点睛】
本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.
8．C
【解析】
【分析】
故答案为
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算,结合平面向量的基本定理，即可求出结果，属于基础题型.
16．
【解析】
【分析】
将 写成 的线性和的形式，解方程组求得 的表达式.
【详解】
画出图像如下图所示，由图可知 ①, ②，解由①②组成的方程组，求得 .
【点睛】
本小题主要考查平面向量的加法和减法运算，考查向量在几何图形中的应用，属于基础题.
【详解】
因为 ，
所以 ， 。故 .
故选：C。
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.
10．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算计算可得。
【详解】
解: 为 所在平面内一点， ,
故选： ．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
若 与 是相反向量,则模长相等，方向相反，则| ｜=| ｜，所以C正确；
若 ， 与 （ ）的方向相同，所以D错误。
【点睛】
此题考查向量的概念辨析，关键在于准确掌握向量的相关概念.
2．B
【解析】
【分析】
根据向量相等及共线的定义对四个命题逐一分析判断，由此得出正确命题个数。
【详解】
对于①,当两个向量平行时，大小和方向可能不相等,即两个向量不一定相等，故①错误。对于②，两个向量模相等，方向不一定相同，故②错误。对于③,两个向量模相等，不一定共线,也可能垂直或者其它的情况，故③错误.对于④，如果两个向量相等，则大小和方向都相同，故④命题正确.综上所述，共有 个命题为真命题，故选B.