(word完整版)高数极限60题及解题思路.doc

高数极限 60 题
1. 求数列极限 lim (sin n
1 sin n ) 。

n
2. 设 S n
n k ，其中 b k (k 1)! ，求 lim S n 。

k
1 b k n
3. 求数列极限 lim (1
2
3 2
n 1
) ，其中
q。

n
q
q
nq
1
4.
求数列极限 lim [ n 2
4n 5 (n 1)] 。

n
5. 求数列极限 lim (1
1
2 )(1
1
2 )...(1
1
2)。

n 2
3
n
6. 求极限 lim
( x
1)2
(2x 1) 2 (3x 1)2 ... (10 x 1)2 。

x
(10 x 1)(11x 1)
7. 求极限 lim (
4x 2
8x 5 2x 1) 。

x
2e 3 x 3e
2 x
8. 讨论极限 lim
3x
x
4e e
2x。

9. 求极限 lim tan 2x
tan( x) 。

x
4
4
10. 求极限 lim
3
3x 2 2 。

x
2
x 2
11. 求极限 lim (1 2 x)5 (1 4 x) 3
x。

x 0
12. 求极限 lim
1 tan x 3 sin x 1 。

x
x
13. 讨论极限 lim
2 2 cos x 。

x 0
x
14. 求数列极限 lim 2
n
sin
2
n 1。

n
15.
设
x 1
a 0，且 x n 1
ax n ，证明： lim x n 存在，并求出此极限值。

n
16. 设 x 1
2 ，且 x n 1
2 x n ，证明： lim x n 存在，并求出此极限值。

n
17.
设 x n 1 1 1 ... 1 （ n 为正整数），求证： lim x n 存在。

2 2
2
2 3 n n
18. 求数列极限 lim
2n。

n
n!
19. 求极限
lim ln( 2 3e 2 x )
3 x。

x
ln( 3 2e )
20. 求极限 lim x
x xx。

x
x
21. 无限循环小数 0.9 的值 (A) 不确定 (B) 小于 1 (C)
等于 1 (D) 无限接近 1
2
22. 求数列极限 lim (sec )n 。

n
n
23. 应用等价无穷小性质，求极限
lim arctan(1
x 0
1
1
24.
(1 4x)2
(1 6x) 3 求极限 lim
x。

x
1
25.
(1 ax )n
1
n 为自然数 ) ， a
求极限 lim
x (
x
26. 设 f ( x) sin x 2sin 3x
sin 5x ， g(x) 求 A 及 n ，使当 x
0 时， f ( x) ~ g(x) 。

x) arctan(1 x) 。

x
0。

Ax n
，
27.
设 f ( x)
e (a x)
2
e (a x)
2
2e a
2
(
a 为常数 ) ， g( x) Ax n 求 A 及 n ，使当 x 0 时， f ( x) ~ g(x) 。

28. 设 f ( x)
x 2 2 x 1
x ， g (x)
A ，
x k
求 A 及 k ，使当 x
时， f ( x) ~ g( x) 。

29.
e tan x e 3 x
求极限 lim
sin x。

x
求极限 lim (
1
1
30.
xa x ) x 2
( a 0, b 0, a 1, b 1, a b) 。

x
1
xb x
31. 求极限
lim ln(sec x tan x) 。

x
sin x
32. 求极限 lim ln(1
e ax ) ln(1 b ) (
a ，
b 为常数，且 a 0 ) 。

x
x
lim [( x 2) ln( x
2) 2( x 1) ln( x 1) x
l n x x
33. 求极限 x。

1
1 34. 求数列极限 lim (
e n )n。

n
n
35. 求数列极限 lim (
n
a
n
b
)n ，其中 a 0，b 0 。

n
2
36. 求数列极限 lim sin(
n 2 a 2
) 。

n
37. 求极限 lim
ln( 1
x x 2 ) ln(1 x x 2
) 。

x
secx
cos x
38. 求极限 lim
1 cos x
2 。

x
1 cos x
39. 设 x
1 求极限 lim (1 x)(1 x
2 )(1 x 4 )...(1
x 2n ) 。

n
40. 求极限 lim
e x e xcos x 。

x
xln(1 x 2 )
41. 求极限 lim [ lim (cos
x
cos x 2 ...cos x
n )] 。

x
0 n
2
2
2
42. 设有数列 { a n
} 满足 a n
0 且 lim n
a n
r (0 r 1)
，试按极限定义证明： lim a n 0。

n
， n
43. 求极限 lim ( x
1)(3 x 1)...(n x 1)
( x 1) n 1。

x 1
44. 设有数列 { a n } 满足 lim (a n 1
a n ) 0 ，试判断能否由此得出极限 lim a n 存在的结论。

n
n
lim f ( x) 存在， lim g ( )
lim f ( )
x x
g( x)
x x 0
x x 0
46. 试证明 lim cos
1
不存在。

x
0x
47. 求极限 lim n(arctan
n 1
arctan n ) 。

n
n
n 1
48. 设 lim
2 2
x 2
1
(a 0) ，试确定 a ， b 的值。

x 0 a (b cosx)
2
x
49. 求极限 lim (
x
x
x x ) 。

x
50. 求极限 lim
1 x sin x cos2x 。

x
x tan x
4 tan x 4 sin x 51. 求极限lim tan x sin x 。

x 0 e e
52. 设
x n 1 2x n x n 2 (n 1,2,......)，根据x1的不同，讨论极限 lim x n。

n
53. 设
a1 b1，令a n 1 a n b n
，
b n 1
a
n
b
n，(n 1,2,...) ，试证明：lim a n 存在， lim b n
2 n n
存在，且 lim a n lim b n。

n n 54. 求极限 lim x[sin ln(1 3
) sin ln(1
1
)] 。

x x x 55.下列极限中存在的是
A.lim x2 1
B.lim 1
C.lim x sin 1
D. lim 1
x x x 0 1 x x x 0 2x 1
1 e x
56.设有两命题：
命题" a" ：若 lim f ( ) 0 ， lim ( ) 存在，且( ) 0 ，则f (x)
；
g x0 lim 0 x x0 x x0 x x0
g (x)
命题 "b" ：若 lim
f (
x
) 存在， lim (
x
) 不存在，则lim [
f
(
x
) ( )] 必不存在。

x x0 x x0 g
x x0
g x
A." a" , " b" 都正确
B." a" 正确, " b" 不正确
C." a" 不正确, "b" 正确
D." a" , " b" 都不正确
57. 若lim a n A( A 0) ，则当 n 充分大时，必有
n
A. a n A
B. a n A
C. a n A
D .a n
A 2 2
58.数列 { a n } 无界是数列发散的
A. 必要条件
B. 充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
59. 求极限 lim ( x x x x x ) x 。

x
60. 求极限 lim 2x 10x sin x 11cos2 x 2 cosx 9
2。

x 0 2x 2 1 x sin( x arctanx) sin 2x
解题思路
（供参考）
1. 三角函数和差化积公式 。

k 1 1 2.
k!。

(k 1)!
(k 1)!
3. 错位相减法化简。

n 2 4
5 ( n 1)。

4. 分子分母同乘
5. 1 n 1 n 1
1
n。

n 2
n
6. 分子分母最高次都是
x 2 ，极限为最高次系数比
12 22 32 ... 102 。

10 11
7. 令 t
x 再分子分母同乘
4 2 8
5 (2 t 1) 。

t
t 8. 分 x
和 x
讨论。

9. 三角函数公式化简。

10. 分子分母同乘 3
(3 x 2) 2 2 3 3 x
2 4 。

11. 洛必达法则。

12. 分子分母同乘 1 tan x sin x 1 ，再用等价无穷小。

13. 分 x
0 和 x
0 讨论。

1。

14. 利用函数极限来解
x 2n
15. 数学归纳法，猜想 x n 1 x n 。

16. 数学归纳法，猜想 x n 2 。

17. 适当放大证明 x n 2 。

18. 设 x n
n! n 2n ，当 n
某数时
x n 0 。

19. 洛必达法则。

20. 分子最高次 1 。

21. 找不到一个数处于 0. 9 和 1之间。

22. 1 ，化成重要极限来求。

23.
a b
arctana arctanb arctan。

1 ab
24. 洛必达法则。

25. 等价无穷小。

26. 两次洛必达法则。

27. 两次洛必达法则。

1
28. 令 t
，两次洛必达法则。

x
29. 洛必达法则。

30. 先用重要极限，再用洛必达法则。

31. 洛必达法则。

32. 先用重要极限，再用洛必达法则。

33. 令
t
1
，化简后两次洛必达法则。

x
34. 先用重要极限，再用等价无穷小。

35. 先用重要极限，再用等价无穷小。

36. lim n 2 a 2
1。

n
n
37. 化简后用等价无穷小。

38. 用三角函数公式去掉分子中的根号。

39. 分子分母同乘 1 x 。

40. 等价无穷小。

41. 分子分母同乘 sin x
n 。

2 42. n a
r
1。

n
n
x 1
43. 先求 lim
x。

x 1
1
44. a n 1
1 1
... 1 。

2
3 n 45. 略。

46. 令 t
1 2k 和2k
不相等 。

， t
x
1 2
47. 利用函数极限来解
x。

n 48. 略。

49. 分子分母同乘 x
x
x
x 。

50. 洛必达法则。

51. 分子分母同乘 4 tan x 4 sin x 。

52. 分 0 x 1
2 ， x 1 0 和 x 1 2 讨论，数学归纳法。

53. 先证 b n 1
a
n 1 ，
a n 1 a n ，
b n 1 b n 。

1
54. 令 t。

x
55. 略
56. 命题 " a" ： lim g( x)
0 ；命题 "b" ：反证法。

x x 0
57.
Aa n A 。

58. 数列发散时可为震荡数列。

59. 分子分母同乘
( x x x x x )( x x x) 。

60. 化简分成两个极限求解。

答案
（供参考）
1. 0
2. 1
3.
1
4. 3
5.
1
(1
2
q) 2
6. 7
7. 3
8.
lim f (x)
1 lim f (x)
3
9.
2
2
1
x
x
11. -2
12.
13.
lim f (x) 1 lim f ( x)
1
14.
4
x 0
x 0
16.
lim x n
2
17.
略
18. 0 19.
2 20. 0
3
n
2
a
21. C 22.
e
2
23. 1
24. -4 25.
n
1 1 2
10.
4
2 15.lim x n a
n
26.
A
4 ， n 2
27.
A (4a 2
2)e a 2 ， n 2 28. A
1 ， n 3
29. -2 30.
a
4
2 b
31. 1 32. ab
33. 1 34.
e 2
35.
ab 36. 0
37. 1
38.
2
39.
1
40.
1
1
2
1
x
41. 1
42.
略 43.
44.
不能 45.
必存在
n!
5 46. 略
47. 1
48.
a 4 ，
b 1
49. 1
50.
2
1
1
51.
52. 0
x 1
2 时， lim x n 1； x 1 0 或 x 1 2 时不存在。

53. 略 54.
55. A
4
n
4
1
56. C
57. D
58. B
59.
60. 23
4。