2019-2020学年辽宁省锦州市凌海市第三高级中学高一6月月考数学试题(解析版)
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， ，
， ，
的值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，向量垂直对应的数量积的坐标关系，属于基础题
16．在 中， ，则 ________.
【答案】
【解析】根据余弦定理求解即可.
【详解】
因为 ,故 根据余弦定理有
.又 .故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的运用,属于基础题型.
6．已知三角形的三边满足条件 ，则 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】C
【解析】分析：化简已知利用余弦定理求A.
详解：由题得
所以cosA=
故答案为C.
点睛：(1)本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)余弦定理：△ABC中： ； ,已知边边边或边角边，一般用余弦定理.
【详解】
解：（1）在 中， ，
所以 ，所以
∵ ， ，
∴ ，
∴
.
因为 ，所以 ，∴ .
（2）在 中，由余弦定理得
，
∴ ，
解得 ，
∴
.
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式以及利用余弦定理解三角形，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，属于简单题.
20．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点
2019-2020学年辽宁省锦州市凌海市第三高级中学高一6月月考数学试题
一、单选题
1．已知 是虚数单位， ，则复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由复数的除法，化简z，再由共轭复数的概念，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以 .
故选A
【点睛】
本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.
（Ⅱ）由已知得： ，解得 ， 或 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查复数的乘法、共轭复数、复数的模以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题
17．在 中，角 的对边求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简条件，再根据二倍角余弦公式得结果，（2）根据正弦定理解得角B,即得C角，从而可得c边.
【详解】
(1)解:∵ , , ,
∴ .
∴ .
(2)解:由(1)知 ,且 ,∴ .
即 ，解得 ，或 （舍去），
故 ．
【点睛】
此题考查解三角形，结合向量共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据余弦定理求边，计算面积.
19．如图，在 中， ， ， ， ，D在 边上，连接 .
（1）求角B的大小；
（2）求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由 及两角差的正弦公式，结合正余弦值求得 的正弦值，即可得角B的大小；（2）先在 中，由余弦定理求出 的长度，再利用三角形的面积公式即可求解.
(1)证明: 平面 ；
(2)平面 将四棱锥 分成多面体 和多面体 两部分，求上述两个多面体的体积比
【答案】(1)证明见解析；(2)2:1
【解析】(1)取 中点 ，连接 、 ,然后通过证明 ,可证 平面 ;
(2)先求 , ,从而可得.
【详解】
证明（1）取 中点 ，连接 、 ，依题意 ，
四边形 是平行四边形，
4． 中，若 ， ， ，则 的面积为
A． B．1C． D．
【答案】C
【解析】直接利用三角形的面积公式S 计算求解.
【详解】
由题得 的面积 ．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查三角形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 ，己知A=60°， ，则B=（ ）
【解析】（1）根据向量共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数；
（2）根据向量关系求出线段长度，由余弦定理求出三角形边长，即可计算面积.
【详解】
（1）∵向量 与向量共线 共线，
∴ ，由正弦定理可得 ，
∴ ．∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．
（2）∵ ，且 ， ，∴ ， ，
在 中，由余弦定理有 ，
A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段
【答案】D
【解析】根据复数的几何意义知，复数 对应的动点P到 对应的定点 的距离之和为定值2，且 ，可知动点的轨迹为线段.
【详解】
设复数 ， 对应的点分别为 ,
则由 知： ,
又 ，
所以动点P的轨迹为线段 .故选D
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.
A．45°B．135°C．45°或135°D．以上都不对
【答案】A
【解析】利用正弦定理求出 的值，再结合 ，得出 ，从而可得出 的值．
【详解】
由正弦定理得 ， ，
，则 ，所以， ，故选A．
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所适用的基本情形，同时在求得角时，利用大边对大角定理或两角之和不超过 得出合适的答案，考查计算能力，属于中等题．
9．已知直线 ，平面 ， ， ， ，那么 与平面 的关系是（ ）
A． B． C． 或 D． 与 相交
【答案】A
【解析】本题首先可根据面面平行的相关性质以及 得出平面 内的所有直线都与平面 平行，然后根据 即可得出结果．
【详解】
因为 ，所以平面 内的所有直线都与平面 平行，
因为 ，所以 与平面 的关系是 ，故选A．
15．已知 是实数，方程 的两根在复平面上对应的点分别为 和 ，若三角形 是等腰直角三角形，则 ________.
【答案】2
【解析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程 的两复根为 ， ，根据条件可得 ，列方程求解即可
【详解】
根据题意设方程 的两虚根为 ， ， 为实数，
方程的两根在复平面上对应的点分别为 和 ，三角形 是等腰直角三角形，
所以 .
又 面 ， 面 ，
面 .
（2）因为 ,
所以 ,
【点睛】
本题考查了线面平面的判定定理以及棱锥的体积公式.属于中档题.
21．已知复数 （ 是虚数单位）
（1）复数 是实数，求实数 的值；
（2）复数 是虚数，求实数 的取值范围；
（3）复数 是纯虚数，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 且 ；（3） 或 .
∵ , ,
由正弦定理得 ,即 ,
∴ .
∵ ,∴ .
∴ .∴ .
【点睛】
本题考查向量数量积、二倍角余弦公式以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且向量 与向量 共线．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 ， ，求三角形 的面积．
【答案】（1） ；（2）
2．在△ABC中，若 a=2bsinA,则B为
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】 ， ，则 或 ，选C.
3．在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】根据条件利用正弦定理： 求解 的值.
【详解】
因为 ，所以有 ，则 ，
故选C.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.在 中，有 ( 是 外接圆半径).
∴a、b平行或异面．
故答案为D
【点睛】
本题考查空间直线与平面的位置关系的判断与应用，基本知识的考查．
11．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )
A．圆台B．圆锥
C．圆柱D．球
【答案】B
【解析】由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，所以形成的几何体是圆锥．故选B.
12．如图，在地面上共线的三点 处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且 ，则建筑物的高度为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设建筑物的高度为 ，根据已知将 用 表示，在 和 中，用余弦定理结合 ，得到关于 的方程，即可求出结论.
【详解】
设建筑物的高度为 ，由题图知，
， ， ，
在 和 中，分别由余弦定理的推论，得
①，
②，
因为 ，
所以 ③，
由①②③，解得 或 （舍去），
即建筑物的高度为 .
【答案】9
【解析】设圆锥体的母线长为R，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出R的值．
【详解】
解：某圆锥体的底面半径为 ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为 的扇形，设圆锥体的母线长为R，则 ，解得 ，
圆锥体的母线长为9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题．
【点睛】
本题考查面面平行的相关性质，如果两个平面平行，则一个平面内的一条直线平行于另一个平面，考查推理能力，是简单题．
10．已知 ，则直线 与直线 的位置关系是（ ）
A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面
【答案】D
【解析】直接利用直线与平面平行的性质定理以及定义，推出结果即可．
【详解】
∵a∥α，∴a与α没有公共点，∵b⊂α，∴a、b没有公共点，
22．（Ⅰ）若 ，求 ， ；
（Ⅱ）在复平面内，复数 对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）利用复数的乘法法则可得出复数 ，再利用共轭复数的定义和模长公式可求出 和 ；
（Ⅱ）根据题意得出 ，解出这个不等式组可得出实数 的取值范围.
【详解】
（Ⅰ） ，
因此， ， ；
故选:D.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查计算求解能力，属于中档题.
二、填空题
13． 的值是__________；
【答案】0
【解析】复数高次乘方运算，先用低次乘方运算化简，再计算结果.
【详解】
.
故答案为：0.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查运算求解能力，是基础题.
14．已知某圆锥体的底面半径为 ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为 的扇形，则该圆锥体的母线长是______．
7．在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】试题分析：由复数的几何意义作出相应判断．
解：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D．
点评：本题考查的是复数的几何意义，属于基础题．
8．若复数 满足 ，则复数 在复平面上所对应的图形是（ ）
【解析】（1）根据复数是实数得到虚部为零；
（2）复数是虚数，则虚部不为零；
（3）复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为零．
【详解】
解：（1）复数 是实数，则 ，
解得 ；
（2）复数 是虚数，则 ，
解得 且 ；
（3）复数是纯虚数，则 ，
解得 或 ．
【点睛】
本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的数学关系式是解决本题的关键．
， ，
的值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，向量垂直对应的数量积的坐标关系，属于基础题
16．在 中， ，则 ________.
【答案】
【解析】根据余弦定理求解即可.
【详解】
因为 ,故 根据余弦定理有
.又 .故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的运用,属于基础题型.
6．已知三角形的三边满足条件 ，则 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】C
【解析】分析：化简已知利用余弦定理求A.
详解：由题得
所以cosA=
故答案为C.
点睛：(1)本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)余弦定理：△ABC中： ； ,已知边边边或边角边，一般用余弦定理.
【详解】
解：（1）在 中， ，
所以 ，所以
∵ ， ，
∴ ，
∴
.
因为 ，所以 ，∴ .
（2）在 中，由余弦定理得
，
∴ ，
解得 ，
∴
.
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式以及利用余弦定理解三角形，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，属于简单题.
20．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点
2019-2020学年辽宁省锦州市凌海市第三高级中学高一6月月考数学试题
一、单选题
1．已知 是虚数单位， ，则复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由复数的除法，化简z，再由共轭复数的概念，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以 .
故选A
【点睛】
本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.
（Ⅱ）由已知得： ，解得 ， 或 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查复数的乘法、共轭复数、复数的模以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题
17．在 中，角 的对边求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简条件，再根据二倍角余弦公式得结果，（2）根据正弦定理解得角B,即得C角，从而可得c边.
【详解】
(1)解:∵ , , ,
∴ .
∴ .
(2)解:由(1)知 ,且 ,∴ .
即 ，解得 ，或 （舍去），
故 ．
【点睛】
此题考查解三角形，结合向量共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据余弦定理求边，计算面积.
19．如图，在 中， ， ， ， ，D在 边上，连接 .
（1）求角B的大小；
（2）求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由 及两角差的正弦公式，结合正余弦值求得 的正弦值，即可得角B的大小；（2）先在 中，由余弦定理求出 的长度，再利用三角形的面积公式即可求解.
(1)证明: 平面 ；
(2)平面 将四棱锥 分成多面体 和多面体 两部分，求上述两个多面体的体积比
【答案】(1)证明见解析；(2)2:1
【解析】(1)取 中点 ，连接 、 ,然后通过证明 ,可证 平面 ;
(2)先求 , ,从而可得.
【详解】
证明（1）取 中点 ，连接 、 ，依题意 ，
四边形 是平行四边形，
4． 中，若 ， ， ，则 的面积为
A． B．1C． D．
【答案】C
【解析】直接利用三角形的面积公式S 计算求解.
【详解】
由题得 的面积 ．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查三角形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 ，己知A=60°， ，则B=（ ）
【解析】（1）根据向量共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数；
（2）根据向量关系求出线段长度，由余弦定理求出三角形边长，即可计算面积.
【详解】
（1）∵向量 与向量共线 共线，
∴ ，由正弦定理可得 ，
∴ ．∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．
（2）∵ ，且 ， ，∴ ， ，
在 中，由余弦定理有 ，
A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段
【答案】D
【解析】根据复数的几何意义知，复数 对应的动点P到 对应的定点 的距离之和为定值2，且 ，可知动点的轨迹为线段.
【详解】
设复数 ， 对应的点分别为 ,
则由 知： ,
又 ，
所以动点P的轨迹为线段 .故选D
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.
A．45°B．135°C．45°或135°D．以上都不对
【答案】A
【解析】利用正弦定理求出 的值，再结合 ，得出 ，从而可得出 的值．
【详解】
由正弦定理得 ， ，
，则 ，所以， ，故选A．
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所适用的基本情形，同时在求得角时，利用大边对大角定理或两角之和不超过 得出合适的答案，考查计算能力，属于中等题．
9．已知直线 ，平面 ， ， ， ，那么 与平面 的关系是（ ）
A． B． C． 或 D． 与 相交
【答案】A
【解析】本题首先可根据面面平行的相关性质以及 得出平面 内的所有直线都与平面 平行，然后根据 即可得出结果．
【详解】
因为 ，所以平面 内的所有直线都与平面 平行，
因为 ，所以 与平面 的关系是 ，故选A．
15．已知 是实数，方程 的两根在复平面上对应的点分别为 和 ，若三角形 是等腰直角三角形，则 ________.
【答案】2
【解析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程 的两复根为 ， ，根据条件可得 ，列方程求解即可
【详解】
根据题意设方程 的两虚根为 ， ， 为实数，
方程的两根在复平面上对应的点分别为 和 ，三角形 是等腰直角三角形，
所以 .
又 面 ， 面 ，
面 .
（2）因为 ,
所以 ,
【点睛】
本题考查了线面平面的判定定理以及棱锥的体积公式.属于中档题.
21．已知复数 （ 是虚数单位）
（1）复数 是实数，求实数 的值；
（2）复数 是虚数，求实数 的取值范围；
（3）复数 是纯虚数，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 且 ；（3） 或 .
∵ , ,
由正弦定理得 ,即 ,
∴ .
∵ ,∴ .
∴ .∴ .
【点睛】
本题考查向量数量积、二倍角余弦公式以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且向量 与向量 共线．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 ， ，求三角形 的面积．
【答案】（1） ；（2）
2．在△ABC中，若 a=2bsinA,则B为
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】 ， ，则 或 ，选C.
3．在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】根据条件利用正弦定理： 求解 的值.
【详解】
因为 ，所以有 ，则 ，
故选C.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.在 中，有 ( 是 外接圆半径).
∴a、b平行或异面．
故答案为D
【点睛】
本题考查空间直线与平面的位置关系的判断与应用，基本知识的考查．
11．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )
A．圆台B．圆锥
C．圆柱D．球
【答案】B
【解析】由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，所以形成的几何体是圆锥．故选B.
12．如图，在地面上共线的三点 处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且 ，则建筑物的高度为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设建筑物的高度为 ，根据已知将 用 表示，在 和 中，用余弦定理结合 ，得到关于 的方程，即可求出结论.
【详解】
设建筑物的高度为 ，由题图知，
， ， ，
在 和 中，分别由余弦定理的推论，得
①，
②，
因为 ，
所以 ③，
由①②③，解得 或 （舍去），
即建筑物的高度为 .
【答案】9
【解析】设圆锥体的母线长为R，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出R的值．
【详解】
解：某圆锥体的底面半径为 ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为 的扇形，设圆锥体的母线长为R，则 ，解得 ，
圆锥体的母线长为9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题．
【点睛】
本题考查面面平行的相关性质，如果两个平面平行，则一个平面内的一条直线平行于另一个平面，考查推理能力，是简单题．
10．已知 ，则直线 与直线 的位置关系是（ ）
A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面
【答案】D
【解析】直接利用直线与平面平行的性质定理以及定义，推出结果即可．
【详解】
∵a∥α，∴a与α没有公共点，∵b⊂α，∴a、b没有公共点，
22．（Ⅰ）若 ，求 ， ；
（Ⅱ）在复平面内，复数 对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）利用复数的乘法法则可得出复数 ，再利用共轭复数的定义和模长公式可求出 和 ；
（Ⅱ）根据题意得出 ，解出这个不等式组可得出实数 的取值范围.
【详解】
（Ⅰ） ，
因此， ， ；
故选:D.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查计算求解能力，属于中档题.
二、填空题
13． 的值是__________；
【答案】0
【解析】复数高次乘方运算，先用低次乘方运算化简，再计算结果.
【详解】
.
故答案为：0.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查运算求解能力，是基础题.
14．已知某圆锥体的底面半径为 ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为 的扇形，则该圆锥体的母线长是______．
7．在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】试题分析：由复数的几何意义作出相应判断．
解：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D．
点评：本题考查的是复数的几何意义，属于基础题．
8．若复数 满足 ，则复数 在复平面上所对应的图形是（ ）
【解析】（1）根据复数是实数得到虚部为零；
（2）复数是虚数，则虚部不为零；
（3）复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为零．
【详解】
解：（1）复数 是实数，则 ，
解得 ；
（2）复数 是虚数，则 ，
解得 且 ；
（3）复数是纯虚数，则 ，
解得 或 ．
【点睛】
本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的数学关系式是解决本题的关键．