2022年暑假初升高数学第11讲：一元二次方程的解集及其根与系数的关系(学生版)

2022年暑假初升高数学第11讲：一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学习目标核心素养
1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(重点)
2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(重点)
3．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(重点、难点)1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养．
2．通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养.
1．一元二次方程的定义
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.
2．一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
(2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
(3)公式法：将一元二次方程中的系数a，b, c的值代入式子x＝－b±b2－4ac
2a
中，就求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．3．一元二次方程根的判别式
式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实
数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．
4．一元二次方程的根与系数的关系
如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c
a ，即两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
1．一元二次方程x 2－16＝0的解集是( ) A ．{－8,8} B ．{－4} C ．{4} D ．{－4,4}
2．用配方法解方程x 2－8x ＋5＝0，将其化为(x ＋a )2＝b 的形式，正确的是( )
A ．(x ＋4)2＝11
B ．(x ＋4)2＝21
C ．(x －8)2＝11
D ．(x －4)2＝11
3．用公式法解方程6x －8＝5x 2时，a ，b ，c 的值分别是( ) A ．5、6、－8 B ．5、－6、－8 C ．5、－6、8 D ．6、5、－8
4．已知一元二次方程2x 2＋2x －1＝0的两个根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是( )
A ．x 1＋x 2＝1
B ．x 1·x 2＝－1
C ．|x 1|＜|x 2|
D ．x 2
1＋x 1＝12
一元二次方程的解法
角度一直接开平方法
【例1】用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：
(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.
应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤
(1)化为x2＝p(p≥0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式.
1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集．
(1)(x＋1)2＝12；
(2)(6x－1)2－25＝0.
角度二配方法
【例2】用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为负数，则此方程无实数根).
2．用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝23x；
(2)2x2－5＋2x＝0.
角度三公式法
【例3】用公式法求下列方程的解集．
(1)x2－43x＋10＝0；
(2)1
2x
2＋
1
2x＋
1
8＝0.
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集.
3．用公式法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝22x；
(2)3x2＝－6x－1.
一元二次方程的根的判别式
【例4】不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.
4．下列一元二次方程中，解集为空集的是()
A．x2－2x＝0B．x2＋4x－1＝0
C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
一元二次方程的根与系数的关系
【例5】设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值．
(1)1
x1＋
1
x2；
(2)x21＋x22；
(3)(x1－3)(x2－3)；
(4)x1－x2.
利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法
(1)利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2的值；
(2)将所求的代数式变形转化为含x1＋x2，x1x2的代数式的形式；
(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入，求出待求代数式的值．
5．已知α，β是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( )
A ．3
B ．1
C ．－1
D ．－3
与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题
【例6】 已知关于x 的一元二次方程2x 2－kx ＋3＝0的解集中只有一个元素，则k 的值为( )
A ．±2 6
B ．±6
C ．2或3
D ．2或3
根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况.
6．若关于x 的一元二次方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．
1．一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2) 配方法； (3)公式法．
2．一元二次方程根与系数的关系
如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a .利用这个关系，可以求一些关于方程两根的代数式的值的问题．
注意：一元二次方程的根与系数的关系需满足的前提条件是：①a ≠0；②Δ≥0.
1．一元二次方程x2－9＝0的解集是()
A．{3}B．{－3}
C．{－3,3} D．{－9,9}
2．一元二次方程x2＝3x的解集是()
A．{0}B．{3} C．{－3}D．{0,3}
3．一元二次方程4x2＋1＝4x的解集情况是()
A．为空集B．只有一个元素
C．有两个元素D．无法确定元素的个数
4．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m，n分别是________．。