(全优试卷)北京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学文试题 Word版含答案

北京师范大学附属中学2016—2017学年度第一学期半期考试
高三数学文科试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{}1,1M =-,{}
240N x x =-<,则下列结论正确的是（） A ．N M ⊆ B ．N M =∅ C ．M N ⊆ D ．M N =R
2.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（）
A ．2i --
B ．2i -+
C ．2i -
D ．2i +
3.设p:log 2x<0,q:⎪
⎭
⎫
⎝⎛211
-x >1,则p 是q 的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共45节的容积为（）
A.1升 D.
6766
5. 若函数21,1
()lg ,1
x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩,则f (f (10)=（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．lg101
6. 如图所示的程序框图运行后输出结果为,则输入的x 值为( )
A.-1
B.
C.
D.-1或
7.圆x 2+y 2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b ∈R)对称,则ab 取值范围是( )
A.
B
C.
D.
8. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．108 cm 3
B ．100 cm 3
C ．92 cm 3
D ．84 cm 3
9.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m 的值
为( ) A.-3 B.1 C. D.3
10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与
C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =（）
A .72
B .
5
2
C.3 D .2 11.若函数f (x )=ax 3-x 2+x -5在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( )
A.a >
B.a <
C.a ≤
D.a ≥
12.已知圆)0(2)()(:222>=-+-a a a y a x C 及其外一点)2,0(A .若圆C 上存在点T 满足4
π
=
∠CAT ，则实数a 的取值范围是（）
A. ()1,∞-
B. )1,13[-
C. ]1,13[-
D. ),13[+∞-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量a =（cosθ, sinθ）,b=（1，一2）,若a ∥b ，则代数式
=.
14.已知菱形ABCD 的边长为4，且︒=∠150ABC ，在菱形区域内任取一点，则该点到菱形各顶点的距离都大于1的概率是__________.
15.设函数14.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则
21
222324l o g +l o g +l o g +l o g +l o g =
a
a a a a
________． 16.()f x =(x +1)2+sin x
x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
在△ABC 中,内角A,B,C 的对边长分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C. (1)求角A 的大小; (2)若a=3,b=2c,求△ABC 的面积.
18．（本小题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布
直方图，其中成绩在[130,150]的称为“优秀”，其它的
称为“一般”，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数；
(2)用分层抽样的方法在在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段在分数段[120，130）内的概率．
绩是否优秀有关系”？
下面的临界值表供参考：
19．（本小题满分12分）
如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,135BCD ∠=,侧面PAB ⊥底面
A B C D ,90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点,点M 在线段PD 上．
(1)求证：EF ⊥平面PAC ；
(2)若M 为PD 的中点,求证：//ME 平面PAB ； (3)当1
2
PM MD =时,求四棱锥M ECDF -的体积．
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．
(1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，
求PA ·PB 的取值范围． 21．（本小题满分12分）
已知函数2()ln 1f x x x ax =+-，且(1)1f '=-. (1)求()f x 的解析式；
(2)若对于任意(0,)x ∈+∞，都有1()f x mx --≤，求m 的最小值；
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)
直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数
方程为122
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），T 为直线l 与曲线C 的公共点. 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求点T 的极坐标；
(2)将曲线C
上所有点的纵坐标伸长为原来的（横坐标不变）后得到曲线W ，
过点T 作直线m ，若直线m 被曲线W
截得的线段长为求直线m 的极坐标方程.
23. (本小题满分10分) 设函数1
()11()2
f x x x x R =++-∈的最小值为a ． （1）求a ；
（2）已知两个正数,m n 满足22,m n a +=求11
m n
+的最小值．
参考答案
一，1.C 2.C 3.B 4. D 5. A6.D 7. A 8.B 9.B 10.C 11.D 12.B 13. 3 14.1-8
π
15. 5 16.2
17. (1)由(2b-c)cos A=acos C,得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 得2sin Bcos A=sin(A+C),所以2sin Bcos A=sin B, 因为0<B<π,所以sin B≠0,
所以cos A=,因为0<A<π,所以A=.
(2)因为a=3,b=2c,由(1)得A=,所以cos A===,解得c=,
所以b=2
.
所以S △ABC =bcsin A=×2××=.
18．（1）分数在[120，130）内的频率为
1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3； 分数在[130，150]内的频率为 0.25+0.05=0.3；
所以分数在[120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数均为1000.330⨯=. （2）依题意，[110，120）分数段的人数为100×0.15=15（人）， [120，130）分数段的人数为100×0.3=30（人）；
∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ； 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a ，b ，c ，d ；
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A ， 则基本事件有（m ，n ），（m ，a ），…，（m ，d ），（n ，a ），…，（n ，d ），（a ，b ），…，（c ，d ）共15种；
则事件A 包含的基本事件有（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ）共9种；
∴P （A ）=93
155
=．
(3) ()841.3762.450
507030402030101002
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，所以能在犯错误概率不超过
0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”．
19．解：
又因为PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC , 所以EF ⊥平面PAC ．（4分）
（3）在PAD ∆中,过M 作//MN PA 交AD 于点N , 由12
PM MD
=,得23
MN PA
=,
又因为6PA =, 所以4MN =, 因为PA ⊥底面ABCD , 所以MN ⊥底面ABCD ,
所以四棱锥M ECDF -的体积1166
4243
32
M ECDF ECDF
V S
MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=．（12分） 20.解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，
即r ＝|－4|
1＋3
＝2，
所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．
设P (x ，y )，则由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得，
x ＋2
＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA ·PB ＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2 ＝2(y 2－1)，
由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧
x 2＋y 2
＜4，
x 2－y 2＝2，
由此得y 2＜1，所以PA ·
PB 的取值范围为[－2,0)． 21.（Ⅰ）解：对()f x 求导，得()1ln 2f x x ax
'=++，
所以
(1)121
f a '=+=-，解得1
a =-，
所以2()ln 1f x x x x =--.
（Ⅱ）解：由1()f x mx --≤，得20ln x x x mx --≤，
所以对于任意(0,)x ∈+∞，都有ln m x x -≤.
设()ln g x x x =-，则1
()1g x x
'=-.
令()0g x '=，解得1x =.
当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下表：
max ()(1)1g x g ==-因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()m g x ≤成立，
所以1m -≥. 所以m 的最小值为1-.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为12622=+y x ，将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==t
y t x 21223代人上式整理得
0442=+-t t ，解得2=t .故点T 的坐标为()
1,3，其极坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛6,2π.………5分
（Ⅱ）依题知，坐标变换式为⎩⎨⎧='='y
y x
x 3，
故W 的方程为：12
362
2
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即622=+y x . 当直线m 的斜率不存在时，其方程为3=x ，显然成立.
当直线m 的斜率存在时，设其方程为()
31-=-x k y ，即
013=+--k y kx ，
则由已知，圆心()0,0到直线m 的距离为3，故31
132
=++-k k ，
解得33-
=k .此时，直线m 的方程为23
3
+-
=x y . 故直线m 的极坐标方程为：3cos =θρ或2cos 3
3
sin =+θρθρ.………10分
23、解：（I ）函数3
-,2211
()11=2,2122
3
,12x x f x x x x x x x ⎧≤-⎪⎪
⎪=++--+-<<⎨
⎪⎪≥⎪⎩
， 当x ∈（﹣∞，1]时，f （x ）单调递减
当x ∈[1，+∞）时，f （x ）单调递增，
所以当x=1时，f （x ）的最小值a=3
2
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m 2+n 2=32，由m 2+n 2≥2mn ，得mn ≤34，∴1mn ≥4
3
故有
+
，当且仅当
时取等号．所以+的最小值
．。