河北省保定地区2005-2006学年度高三月考.doc

河北省保定地区2005-2006学年度高三月考
数学试题
2005、12月初
本试卷共三个大题，22个小题， 满分150分
一 选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合{}
R x x x A ∈≥-=,914, ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈≥+=R x x x x
B ,03, 则A ∩B = （ D ）
(A )]2,3(-- (B ) ]25,0[]2,3(⋃-- (C ) ),25[]3,(+∞⋃--∞ (D )),2
5[)3,(+∞⋃--∞ 2.下列结论正确的是
（ B ）
(A) 当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且
(B) 21,0≥+>x x x 时当
(C) x x x 1
,2+
≥时当的最小值为2 (D) 当x
x x 1
,20-
≤<时无最大值 3．不等式 （1+x ）(1-⎪x ⎪)>0的解集是 （ D ） (A) {x |0≤x <1} (B) {x |x <0且x ≠-1} (C) {x |-1<x <1} (D) {x |x <1且x ≠-1} 4．设)(1
x f
-是函数)1( )(2
1)(>-=
-a a a x f x x
的反函数，则使1)(1
>-x f 成立的x 的取
值范围为 （ A ）
(A ) ),21(2+∞-a a (B ) )21,(2a a --∞ (C ) ),21
(2a a
a - (D ) ),[+∞a 5．若011log 2
2<++a
a a
，则a 的取值范围是 （ C ） (A) ),2
1(+∞
(B) ),1(+∞ (C) )1,21( (D) )2
1,0(
6．已知0<α<π
2 <β<π, sin α = 35 , cos(α+β) = - 45 则 sin β 等于 （B ）
(A) 0 (B) 0 或
2425 (C) 2425 (D) 0 或 -24
25
7．若动点（y x ,）在曲线)0(1422
2>=+b b
y x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ A ） (A)⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442
b b b b (B) ⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<+)
2(2),20(4
4
2
b b b b (C) 44
2
+b (D) 2b
8. 若→→→→→+===b a c b a ,2||,1||，且→→⊥a c ，则向量→a 与→
b 的夹角为 （ C ） （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°
9．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量→
v =（4，- 3）（即点P 的运动方向与→
v 相同，且每秒移动的距离为|→
v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（- 10，10），则5秒后点P
的坐标为 ( C ) （A ）（－2，4） （B ）（- 30，25） （C ）（10，- 5） （D ）（5，- 10） 10. 已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,12
1λ
λλ++=
-≠x x a
λ
λβ++=
11
2x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则
( A )
(A) λ<0 (B) λ=0
(C) 0< λ<1
(D) λ≥1
11．若把函数)(x f y =的图象按向量⎪⎭
⎫
⎝⎛--
=→
2,3πa 平移后，得到函数x y cos =的图象，则原图象的函数解析式可以为 （ A ）
A ．2)3cos(+-=πx y
B ．2)3cos(--=π
x y
C ．2)3
cos(++
=π
x y
D ．2)3
cos(-+
=π
x y
12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计
例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B= （ A ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．B0
二填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．已知方程4-|
x -1|
-3⋅2-|
x -1|
-m =0有实根，则实数m 的取值范围是 [)0,2- ． 14．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最大值是_____0____．
15．定义符号函数10
sgn 0010
x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
则不等式x
x x sgn )12(2->+的解集是．．．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3,4333． 16．b 克的糖水中有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据这个事
实提炼一个不等式________________．m
b m
a b a ++<
（ 0,0>>>m a b ）
高 三 数 学 月 考 试 题
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
13． 14．
15． 16．
三、计算与证明题：(本题共6小题，满分74分) 17．（本小题满分12分） 设函数f (x )|1||1|2--+=x x ,
求使f (x )≥22的x 取值范围．
答案：4
3-≥x
18．(本小题满分12分)
已知向量)2,(),cos ,sin 2()sin ,(cos ππθθθθθ∈-==n m 和
且528||=+→
→
n m ，求)8
2cos(π
+θ的值． 解法一：
)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+n m
22)s i n (c o s )2s i n (c o s θ+θ++θ-θ=+n m
)s i n (c o s 224θ-θ+= )4cos(44π+θ+=
)4
cos(12π+θ+=
528=，得25
7)4cos(=π+θ 又1)82(cos 2)4cos(2-π
+θ=π+
θ 所以25
16
)82(cos 2=π+θ
0)8
2c o s (898285,2<π
+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π
5
4)82c o s (-=π+θ∴ 解法二：
n m n m n n m m n m n m
⋅++=+⋅+=+=+22)(22222
]c o s s i n )s i n 2([c o s 2)c o s )s i n 2(()s i n c o s (2222
222θθ+θ-θ+θ+θ-+θ+θ=
)8
2(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π
+θ=π+
θ+=θ-θ+=
528=
，得5
4
)82cos(=π+θ 0)8
2cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴
π<θ<π 54
)82c o s (-=π+θ∴
19．（本小题满分12分）
求满足下列条件的直线方程：
（1）通过点（－2，2），且与两坐标轴所围成的面积为1的直线l 的方程；
（2）已知直线1l ：062=-+y x 和点A （1，－1），过点A 作直线l 与已知直线1l 相交于B 点，且|AB|=5，求直线l 的方程． . 答案：（1）022=++y x 或022=-+y x
（2） 1=x 或 0143=++y x
20．（本小题满分12）
某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC =80（米），塔所在的山高OB =220（米），OA =200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为a ,tana =
2
1，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）．
解：以OA 所在直线为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，
则A （200，0），B （0，220），C （0，300）， 直线l 的方程为,tan )200(α-=x y 即
.2
200
-=
x y 设点P 的坐标为（x ，y ）， 则).200)(2
200
,(>-x x x P
由经过两点的直线的斜率公式 ,2800300
2200
x
x x x k PC -=--=
.2640220
2200
x
x x x k PB -=--=
由直线PC 到直线PB 的角的公式得 640160288642640280012160
1tan 2⨯+-=-⋅
-+=⋅--=
x x x x
x x x x k k k k BPC PC
PB PC PB
).200(288
64016064
>-⨯+=
x x
x
要使tanBPC 达到最大，只须288640
160-⨯+x
x 达到最小，由均值不等式 ,2886401602288640
160-⨯≥-⨯+
x
x 当且仅当x
x 640
160⨯=时上式取得等号，故当x =320时tanBPC 最大，这时，点P 的
纵坐标y 为 .602
200
320=-=y
由此实际问题知，,2
0π
<
∠<BPC 所以tanBPC 最大时，∠BPC 最大，故当此人距水
平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大.
（21）（本小题共12分）
设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11
为偶数
21
为奇数
4
n
n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨
⎪+⎪⎩,
记211
4
n n b a -=-
，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；
（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （III ）求123lim()n n b b b b →∞
+++
+．
解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21
a 4=41a +316,
所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －4
1
),
猜想：{b n }是公比为2
1
的等比数列·
证明如下：
因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2
1
b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为2
1
的等比数列·
（III ）11121(1)
12lim()lim
2()1141122
n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---
22、（本小题满分14分）
已知二次函数)0(1)(2
>++=a x ax x f 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ． （1）证明：1)1)(1(21=++x x ； （2）证明：11-<x ，12-<x ； （3）若1x 、2x 满足不等式1lg 2
1
≤x x ，试求a 的取值范围．
（1）； （2）证明略
（3）解： 0,021<<x x ∴ 由1lg
2
1
≤x x 得 1021≤x x
∴
10411411≤-+----a
a ∴ a a 411010411-+-≥---
∴ 11941≥
-a ∴ a 的取值范围是
4
112110<≤a ．。