【测控设计】高一数学人教A版必修2同步测试：4.3空间直角坐标系.doc

4.3空间直角坐标系
A 组
1•空间两点A,B 的坐标分别为(x,・“),&,少・z),则A,B 两点的位置关系是()
A.
关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于z 轴对称
D.关于原点对称
答案:B 2. 设
/(3,3,1),B(1,O,5),C(O,1,O),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离\CM\=(
) 53
B. Z
答案:C
3. 点P(l,l,l)关于xOy 平面的对称点为只，则点P\关于z 轴的对称点P 2的坐标是()
C. (-l,-l,l)
D.(l,-l,l)
解析:易知点P 关于xOy 平面的对称点Pi(l,l,・l),则点Pi 关于z 轴的对称点尸2(・1,・1,・1)・ 答案:B
4. 已知点 /(I ,・2,11),B(4,2,3),C(6,・ 1,4),则 AABC 为( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:由空间两点间的距离公式得
\AB\- 4)2 4- (- 2 - 2)2 4- (11 - 3)2 =伸,
|g=J(1 ・ 6)2 + [・ 2 ・(・ 1)J 2 + (11 ・ 4)2 =护，
|BC|=Q (4 ・ 6)2 + [2 • (• l)]2 + (3 - 4)2 =再
・\AC 2+BC 2=AB 2
.
・・・N4BC 为直角三角形.
答案:C
5•在空间直角坐标系屮，点力(3,2,-5倒x 轴的距离d 等于() A 屈 B.\/29 c.奶 D.阿
解析:过/作M 丄x 轴于3,则3(3,0,0),则点A 到兀轴的距离d=\AB\=422 + (• 5)2 = Q 答案:B
「
6. ___________ 在空间直角坐标系中,己知点P(1,QS),过点P 作平面yOz 的垂线P0,则垂足
G)2
+ 32
解析切3中点M 的坐标为 .\\CM\ =
的坐标为_____ •
答案:(0,Q筋)
7. _______ 己知点P在z轴上,且满足|OP| = 1(O为坐标原点)，则点P到点J(l,l,1)的距离是__________ .
解析：：•点P在z轴上，且|。

鬥=1,
•:点P的坐标是F(O,O,1)或F(O,O,・1).
•:冋+ " + 0 =他或刊=、/“+ 12 + 22 = V6
答案:农邮
8•已知平行四边形MCD,且/(4,1,3)/(2,・5,1),C(3,7,・5),则顶点D的坐标为____________ .
解析:由平行四边形对角线互相平分知MC的中点即为BD的中点的中点必64厂J,
7 _x + 2 ・ 1 十z
设D(x,”z),则2 2 ,4= ~2-1 = 2 ,
.：兀=5护=13忆=_3,
・：D(5,13,・3).
答案:(5,13,-3)
9.在长方体ABCD-AyB}CyD x中,*3|=|血)|=3,/如=2,点M在A X C X上,|MC]|=2|4M|,点N 在DC上，且为D、C的中点，求M,N两点间的距离.
解:分别以AB*DM所在的直线为x轴、尹轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
由题意可知C(3,3,0)Q(0,3,0).
:Wil=|CC,|=2,
・：G(3,3,2)Q(0,3,2).
・・・N为CDi的中点，
•:点N的坐标为S3,1).
是4C|的三等分点,且靠近4点，
•:点M的坐标为(1,1,2).
由两点间距离公式，得
IM"’.』®"'*" » +(1-2)2 =率
即M,N两点间的距离为2 .
10•如图建立空间直角坐标系，已知正方体4BCDJbCQ\的棱长为1,点尸是正方体对角
线D、B的中点，点Q在棱CCi上.
⑴当2\C}Q\=\QC\时，求\PQ\;
(2)当点0在棱CG上移动时，探究尸0|的最小值.
解:据题意，知1,1,O)Q(0,0,1),
故BD\的中点戶(272).
由于点0在CG上，故0点坐标可设为(0,l,a)(0WaWl).
2
(1)由2|C，e|=|2C|,易知\QC\=\
故左」劭
从而|PQ| =J(z - °)2 +(2 - X)2 +(2 - 3)2 =堺.
(2)据题意,^\PQ\+ + (a ' 2)= J(a-2)+2(0&01).
1 ( 1\
2 , 1 当a=2时,1 2丿2取得最小值.
(。

阴)
B组
1.点力(2,3-“,・1+讪关于x轴的对称点/仏7,・6),则( )
A.A=-2,//=-l,v=-5
B.A=2,/z=-4,v=-5
C.A=2,/z=10,v=8
D.A=2,//=10,v=7
解析:由已知对称性知答案:D
入=2,
3 - p = - 7
・ 1 + u = 6，
入=2,
卩=10,
" = 7.故选D.
2.已知Zk/BC顶点坐标分别为/(・1,2,3)/(2,・2,3),C ，则△/PC的形状为(
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
30 y/10
解析：:-\AB\ =5,|5C| 2_,\A C\ =
・：+MCf,・：“ABC为直角三角形.
答案:C
3./XABC在空间直角坐标系中的位置及顶点坐标如图所示，则BC边上的中线的长是
A.A/2
B.2
C.7?
D.3
解析:BC的中点坐标为M( 1,1,0),又A(0,0,l),
.:\AM\ =J" + " +(• i)2 = 0
答案:C
4.已知点M(4,5,6),B(・5,0,10),在z轴上有一点P^\PA\=\PB\,则点P的坐标是__________ .解析:设点F(0,0,z),则由\PA\=\PB\,
得J(0 • 4)2 +(0 ・ 5)2 + (z ・呼
=J(0 + 5)2 +(0 • Of + (z • 10)：
解得z=6,即点戶的坐标是(0,0,6).
答案:(0,0,6)
5. __________________________________________________ 已知点力(1,心5),3(2心7,-2)@丘旳,则|力3|的最小值是______________________________ .
解析:由两点间距离公式得
\AB\ =V(2a - I)2 + (- 7 - a)2 + (- 2 4- 5)2
+ 10a + 59
=』5(ci + 1)2 + 54,
所以当a=-\时取得最小值3少.
答案：3筋
6.如图所示,在空间直角坐标系中，有一棱长为G的正方体ABCO・4'BCD*C的中点E到
AB的中点F的距离为___________ .
角军析:由图易知/(G,0,0),B(a,a,0),C(0,Q,0)/ '(a,0,a).
7. 已知△ ABC 的三个顶点 /(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5).
(1) 求△/3C 中最短边的边长；
(2) 求/C 边上中线的长度
解:(1)由空间两点间距离公式得
\AB\ =7(2 -2)2 + (5-3)24-(2 - 4)2=3?
\BC\ =\V -纣 + (3 -1)2 + (4 - 5)2 =収
|g=Q(l ・ 3)2 + (5 - I)2 4-(2 - 5)2 =、/29,
・・・N4BC 中最短边是3C,其长度为
8•在正四棱锥S-ABCD 中，底面边长为侧棱长也为Q ,以底面中心0为坐标原点,建立如 图所示的空间直角坐标系,P 点在侧棱SC 上,0点在底面ABCD 的对角线3D 上，试求P,Q 两点间的最小距离.
解:由于S-ABCD 是正四棱锥，所以P 点在底面上的射影R 在0C 上,
又底面边长为d,所以0C= 2 a,
而侧棱长也为⑦所以SO=OC,于是PR=RC,
故可设F 点的坐标为卜%，遑a -后)(兀＞0),
又0点在底面ABCD 的对角线BD 上，
所以可设0点的坐标为(v,v,O),因此P,0两点间的距离
2 \u/ 7_2 ■
12 /.AC 边上中线的长度为
m」（・％・y）2 +（兀・k + 陽•屁F
显然当x=^,y=O时|P0|取得最小值,|P0|的最小值等于2,这时，点P为SC的中点，点0 为底面的中心.。