人教版普通高中数学B版必修第四册 第十一章11.2平面的基本事实与推论

11.2平面的基本事实与推论
教学课时：第1课时
教学目标：
1、能够借助日常生活中的实例理解平面的基本事实；
2、能运用平面的基本事实解决有关问题；
3、掌握文字语言、图形语言、符号语言之间的转化；
4、培养学生空间想象能力和逻辑推理能力．
教学重点：
理解三个平面事实，并学会解决问题．
教学难点：
运用平面事实证明解决问题．
教学过程：
一、提出问题，解决问题
问题1：我们知道，时下“共享单车”非常方便出行．大家有没有观察到要想停稳自行车，我们需要踢上后轮旁的撑脚．为什么只有踢上撑脚，才能使自行车平稳的立在地面上呢？
问题2：（教材95页3题）一边有固定在门框上的两个合页，另一边有锁．当不上锁时，门可以自由转动；当上锁后，门就被固定住了．如果将门看作一个平面的一部分，为什么上锁后门就被固定住了．这说明了什么？
【学生活动1】
学生可以研究探讨，并完成课本第91页上面的“尝试与发现”；
分析：如何确定平面？至少要知道平面里的几个点？
发现：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面（基本事实1）．为进一步加深理解，又强调如下几个问题：
1、同学们在结合身边的实例多想想平面事实1在生活中还有哪些应用，以巩固加深对这一平面事实1（公理1）的认识；
2、对平面事实1中的“有且只有”加深认识；
3、尝试用符号语言、图形语言再试试；
4、让学生们了解这一事实的作用------确定平面的依据．
问题3：我们班级后面挂帽子都要在墙上钉上一个长排挂钩，在挂着个挂钩时，我们只需钉几个钉子？
【学生活动2】
1、学生可以研究探讨，并完成课本第92页上面的“尝试与发现”；
2、让学生思考：对直线上至少几个点在某一平面内，就能确保直线在该平面内．
发现：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（基本事实2）．
分析：
1、请同学们在结合身边的实例多想想平面事实1在生活中还有哪些应用，以巩固加深对这一平面事实2（公理2）的认识；
2、利用平面事实2判定：如果一个平面内的任意两点所确定的直线都在这个平面，那么这个面就是平面．否则，就不是平面（如球面）；
3、尝试用符号语言、图形语言再试试．
4、让学生们了解这一事实的作用------判定是否是平面的依据．
同时了解这一事实的另一作用------证明线在面内的依据．
【学生活动3】
1、学生可以研究探讨，并完成课本第92页中部的“尝试与发现”；
2、让学生思考：
（1）两个平面可不可以只有一个交点？
（2）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？
（3）两个平面相交时，公共点具有什么特点？
发现：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（基本事实3）．
分析：
1、让学生们了解这一事实的作用------判定两个平面相交的依据．
同时了解这一事实的另一作用------证明（公共）点在（公共）线上的依据．同时了解这一事实的另一作用------证明线线共点的依据．
2、尝试用符号语言、图形语言再试试．
3、绘图时，注意两个平面被遮挡的部分，画虚线或不画．
【设计意图】
几何的公理是人们在生活中通过大量的观察、思考而最终获得的结论，可谓是来源于生活．我的设计意图是想通过一些显而易见的生活常识，使同学们抽象出一些结论，发现了公理！反之，运用这个公理可以去阐释一些生活中的现象，可谓是回归于生活．从而培养学生善于观察、善于发现、善于总结的逻辑思维能力．
二、例题讲解，深化理解
例1：如图中的△ABC，若AB、BC 在平面内，判断AC是否在平面内？
解：∵AB在平面内，∴A点一定在平面内，
又BC在平面内，
∴C点一定在平面内，
因点A、点C都在平面内，
由基本事实2知，直线AC在平面内．
【小结】要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．例2：如图，正方体中，对角线交于O，AC与BD交于点M，求证：点、O、M共线．
【小结】证明点共线问题常用方法：(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3从而判定他们都在交线上；(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．
【变式】若求证：直线EF、GH、BD三线共点呢？
【小结】证明线共点问题常用方法：(1)先找出两条直线交于一点(2)再证这一点也在第三条直线上．
例4：正方体中，点E为的中点，尝试作过A、E、三点的截面．
AEG为所求．
【设计意图】
为了使学生进一步理解并掌握平面三个基本事实，共设计4道例题．例1想考查对平面基本事实1、2的理解和应用，同时也为下一节埋下伏笔．例2、3是平面基本事实3的考查及应用，也体现出证明线共点、点共线的证明思路．例4通过做截面的方法，巩固对平面事实2的认识．
三、课堂练习，巩固所学
1．以下命题正确的是（）
A．两个平面可以只有一个交点；
B．一条直线与一个平面最多有一个公共点；
C．两个平面有一个公共点，它们可能相交；
D．两个平面有三个公共点，它们一定重合．
[答案] C
2．是正方体，O是的中点，直线于点M，则下列结论中错误的是（）
A．A、M、O三点共线B．四点共面
C．A、O、C、M四点共面D．四点共面
[答案] D
3.已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P，Q，R．
求证：P，Q，R三点共线．
证明：
设所在的平面为，则P，Q，R为平面与平面的公共点，所以P，Q，R三点共线．
4.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体A中，E、F、G、H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：
(1)直线EF、GH 、DC能交于一点吗？
(2)若E、F、G、H四点共面，怎样才能画出过
四点E、F、G、H的平面与正方体的截面？
[答案]
(1)设直线EF、GH 交于一点Q,这点是平面和平面ABCD的公共点,必在两面的公共直线DC上，所以直线EF、GH 、DC能交于一点．
(2)
四、课后作业：（课本P95页练习B题）
五、归纳总结
1、平面基本事实（公理）1、
2、3；
2、证明点共线、线共点问题的方法；
3、强调符号语言的规范书写；
4、总结作截面的步骤和方法．
教学课时：第2课时
教学目标：
1．能够借助日常生活中的实例理解平面的基本事实的三个推论；
2．能运用平面的基本事实解决有关问题；
3．掌握文字语言、图形语言、符号语言之间的转化；
4．培养学生空间想象能力和逻辑推理能力．
教学重点：
理解三个确定平面的推论，并学会解决问题．
教学难点：
运用平面推论证明问题．
教学过程：
一、提出问题，解决问题
问题1：确定平面的方法是什么？除了不共线的三点外，还有没有其他的方法？
【学生活动1】
探究：如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？
分析：能确定一个平面，因为点A与直线BC上的两点B，C不共线，根据基本事实1（公理1），A，B，C三点确定一个平面ABC．
总结结论：
推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
（再次强调“有且只有”的意义．）
【学生活动2】
探究：如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？
分析：能确定一个平面，因为直线AB，AC相交于点A，不共线的三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面．由平面事实1（公理1）可证得．
总结结论：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
问题2：上面的两个推论证明的共同点是什么？
分析：只要找到不共线的三个点就可以确定一个平面．
【学生活动3】
探究：如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？
分析：能确定一个平面，因为两条平行线中含有不共线的三点A，B，C，由基本事实1（公理1）可知，这个平面是确定的．
总结结论：
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
巩固练习：
1．请同学们想一想：
三个推论的图形语言如何表示呢？
三个推论的符号语言如何表述呢？
三个推论有何作用呢？
2．对确定平面的3个推论中的“有且只有”加深认识．
3．尝试用符号语言、图形语言再试试．
4．让学生们了解这一事实的作用------确定平面的依据．
5．像三角形、平行四边形、梯形的性质是否可以在空间中继续应用？
（答案是可以，因为它们都是平面图形．）
【设计意图】
本节课的确定平面的推论是由公理1而来，三个推论的证明，巩固了对公理1的认识．同时要让学生们认识到，三角形、平行四边形、梯形尽管在空间中，但还是在同一平面内，因此平面图形的性质仍然可以在空间中继续应用．此外，还要加大对符号语言的规范书写，从而培养学生严谨的逻辑思维能力．
二、例题讲解，深化理解
例1：怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？根据是什么？
答：连接对角的两个腿，如果两条线段相交就说明在一个平面内．否则，就不在一个平面内．（依据：推论2）
例2：求证：一条直线与三条平行直线都相交，则四线共面．
证明：如图，易证,a,b,d在同一平面α内，
而b,c,d在同一平面β内，
∵α与β有两条公共的相交直线b,d
∴α与β重合
∴a,b,c,d四线共面
例3：三条直线两两相交，可确定平面的个数为（）
A、1
B、2
C、3
D、1或3
[答案] D
解析：如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面；如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面．
<变式引申>三条直线两两平行可确定平面的个数为（）
A、1
B、2
C、3
D、1或3
[答案] D
【设计意图】
例1设置的目的是让学生将数学知识应用于生活，从而感受到学习数学的重要作用，并激发学习数学的热情．例2是让学生学会利用推论的证明几何问题．例3是从平面逐渐上升到空间，感受确定平面的个数．例4是让学生体会空间中平面将空间分割的部分．并在此题中让学生们学会画出空间中平面的位置关系．
三、课堂练习，巩固所学
1、下列哪种情况可确定一个平面()
A、四边形
B、两两相交且不共点的四条直线
C、空间三点
D、三条直线交于一点
[答案]B
2、下列命题：①空间三点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④等腰三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥两条直线确定一个平面；⑦一条直
线和两平行线中的一条相交．也必和另一条相交．其中正确的命题是_______．[来源
[答案]科④网]
3、空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有（）
A、2个或3个
B、4个或3个
C、1个或3个
D、1个或4
[答案]D
4、一条直线和这条直线外不在同一直线上的三点，最多可以确定几个平面？
[答案] 1个、3个或4个
四、课后作业
练习册《平面的基本事实与推论》
五、归纳总结
1、平面基本事实的推论1、
2、3；
2、强调符号语言的规范书写；
3、学会利用图形辅助，体会空间中点线面的关系．。