江苏省泰州中学2019届高三数学3月月考试题(含解析)

江苏省泰州中学2019届高三数学3月月考试题（含解析）
样本数据的方差，其中，样本数据的标准
；球的体积，其中是球的半径.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.）
1.已知集合，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用交集定义直接求解即可．
【详解】∵集合，，则=
故答案为：
【点睛】本题考查交集的求法等基础知识，属于基础题．
2.设为虚数单位，，则的值为__________
【答案】
【解析】
【分析】
把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．
【详解】由，得，即
本题正确结果：
【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
3.已知一组数据4，3，5，7，1，则该组数据的标准差__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出这组数据4，3，5，7，1的平均数，进而由标准差的公式计算即可．
【详解】这组数据4，3，5，7，1的平均数为：（4+3+5+7+1）＝4，
故这组数据的标准差为：，
故答案为：2
【点睛】本题考查了数据的平均数，标准差，熟记标准差的公式是关键，属于基础题．
4.执行如图所示的伪代码，最后输出的的值__________．
【答案】
【解析】
【分析】
模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，的值，当i＝3时，不满足条件退出循环，输出的值即可．
【详解】模拟执行程序代码，可得i＝1，＝2
满足条件i，执行循环体，＝2，i＝2
满足条件i，执行循环体，＝2，i＝3
不满足条件i，退出循环，输出的值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，的值是解题的关键，属于基础题．
5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为__________．【答案】
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数，再用列举法列出2个数和大于5包含的基本事件，从而由古典概型的公式计算即可．
【详解】在1，2，3，4，5中任取2个不同的数，基本事件总数n＝＝10，其中和大于5包含的基本事件有：（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有m＝6个，由古典概型的公式得
故答案为：．
【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，注意列举法的合理运用，属于基础题.
6.已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化简后，把tanα的值代入即可．
【详解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝
．
故答案为：
【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
7.在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，则实数的值是__________．【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，得双曲线的焦点在x轴上，由双曲线的离心率公式可得e2＝＝4，解得m 的值即可．
【详解】双曲线的方程为，分析可得双曲线的焦点在x轴上，其离心率为2，则有e2＝=4，解得m＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查由双曲线的离心率求双曲线的方程，注意先确定双曲线焦点的位置，属于基础题.
8.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2.则“牟合方盖”的体积为__________．【答案】
【解析】
【分析】
由题意先求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积即可．
【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积
，
又由已知，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方体内切球的体积，理解题意是关键，属于基础题．
9.已知，，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，即，且，所以=，又因为
，得，，计算即可得答案.
【详解】因为，即，且，所以是以为首项，
以为公差的等差数列，所以=.又因为，所以
， .
即 .
故答案为：
【点睛】本题考查了判断一个数列是不是等差数列的方法，也考查了等差数列通项公式的应用，属于中档题.
10.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2＝0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是__
【答案】-1
【解析】
【分析】
由题意可得△ABC是等腰直角三角形，即圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2＝0的距离等于r•sin45°，再由点到直线的距离公式求得a的值．
【详解】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2＝0的距离
等于r•sin45°＝＝，
再由圆心C到直线ax+y﹣2＝0的距离公式计算，得，∴a＝﹣1.
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
11.如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】 【分析】 将向
量
转化
为
，代
入，将所求向量的数量积转化
为
,
表示
在
上的投影，由此可求得最小值. 【详解】
，由数
量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，
此时，
,故填2.
【点睛】本小题主要考查向量的
线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.
12.已知集合，
，存在正数，使得对任意
，都有
，则
的值是____________ 【答案】1或
【解析】 【分析】
根据所处的不同范围，得到
和时，所处的范围；再利用集合的上
下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】，则只需考虑下列三种情况：
①当
时，
又
且
可得：
②当即时，与①构造方程相同，即
，不合题意，舍去
③当
即
时
可得：且
综上所述：或
【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.
13.在锐角△ABC中，C＝，则tan A+tan B的最小值为_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据tanC＝﹣tan（A+B），利用正切的两角和公式求得tanA+tanB与tanAtanB的关系式，利用基本不等式获得关于tanA+tanB的一元二次不等式求解即可．
【详解】∵△ABC为锐角三角形，∴tanA＞0，tanB＞0，且，所以 tanC＝﹣tan（A+B）＝＝1，
∴tanA+tanB＝﹣1+tanAtanB，∵tanAtanB≤（tanA=tanB取等号），
∴tanA+tanB≤﹣1+，
求得tanA+tanB≥，或tanA+tanB≤（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了两角和与差的正切函数的应用，基本不等式的应用．解题的关键找到tanA+tanB与tanAtanB的关系,属于中档题.
14.定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f （x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为__．
【答案】
【解析】 【分析】
由函数的奇偶性、周期性可作y ＝f （x ）的图象，又直线y ＝k （x+3）过定点（﹣3，0），数形结合计算可得解．
【详解】由定义在R 上的偶函数f （x ），且对任意实数x 都有f （x+2）＝f （x ），当x∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，
可得函数f （x ）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g （x ）＝f （x ）﹣kx ﹣3k 有6个零点，
等价于y ＝f （x ）的
图象与直线y ＝k （x+3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y ＝k （x+3）过定点（﹣3，0），
观察图象可知实数k 的取值范围为：， 故答案为：（0，]
【点睛】本题考查了由函数的奇偶性、周期性画图像的问题，及直线过定点，也考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知三棱锥
中，
，
.
（1）若平面分别与棱、
、
、相交于点、、、，且
平面，求证：.
（2）求证：；
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）平面，且平面平面，由线面平行的性质定理得：，同理
，即可证明；
（2）由，，且，得平面，由（1）得，即可证明. 【详解】（1）平面，平面平面，平面，由线面平行的性质定理得：；
平面平面，平面，由线面平行的性质定理得：，所以成立.
（2），.又平面，平面，，
平面.又平面，，由（1）得，.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理，熟记定理的内容是关键，属于中档题.
16.在中，三个内角，，，所对的边依次为，，，且.
（1）求的值；
（2）设，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
⑴利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．
⑵由余弦定理，基本不等式可求的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求
，即可得解的取值范围．
【详解】，又C为三角形内角，
，
，，
由余弦定理可得：，
，可得：，当且仅当时等号成立，
可得：，可得：，当且仅当时等号成立，
，
的取值范围为：
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.某避暑山庄拟对一个半径为1百米的圆形地块（如图）进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形，其中，，圆心在梯形内部，设.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”.
（1）求梯形游泳池的面积关于的函数关系式，并指明定义域；
（2）求当该游泳池为“最佳游泳池”时值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别取的中点，连接，易知，
，，则，. （2），梯形的周长，设，，求导判断单调性，求其最大值即可.
【详解】（1）如图，分别取的中点，连接，
由平面几何得知，，三点共线，且，.
易知，，
且，得
则梯形的面积
（平方百米）， .
（2）易知
由（1）可得梯形的周长（百米）
设，
，由得，
当时，y，单调递增，当时，y，单调递减
所以当，该游泳池的面积与周长之比最大.
即：时、该游泳池为“最佳游泳池”.
【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数在函数最值中的应用，也考查了等腰梯形的性
质，属于中档题．
18.设椭圆，点为其右焦点，过点的直线与椭圆相交于点，
.
（1）当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，求证：点，，共线；（3）如图2，点是直线上的任意一点，设直线，，的斜率分别为，，，求证，，成等差数列.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】（1
）设出中点
的坐标，利用点
的坐标得到点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，化简
得到点的轨迹方程.（2）当斜率存在时，设出直线的方程，代入椭圆椭圆方程化简后写出韦达定理，计算，由此证得点，，共线. 当斜率不存在时，由椭圆对称性,易得结论成立.（3）设出的坐标，利用（2）的结果化简的表达式，化简得到结果为，由此证得，，成等差数列.
【详解】（1），设，则
，在
椭圆上，所以所求轨迹方程为
.
（2）当斜率存在时，设其方程为：，，将代入椭圆方程并化简得
其中，
所以，点，，共线，
而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，综上点，，共线；
（3）设，
由（2）知，
故，，成等差数列.
【点睛】本小题主要考查代入法求点的轨迹方程，考查利用斜率证明三点共线的方法，考查等差中项的性质.有关中点求轨迹方程的问题，往往是设出中点的坐标，利用已知条件得到另一个点的坐标，而这个点在一个已知的曲线上，故将这个点的坐标代入曲线的方程，即可求得所求点的轨迹方程.
19.如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，. （1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；
（2）设为数列的前n项和，若的最小值为-153，求实数的取值范围；
（3）类似地：非零
．．数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”.已知数列中，满足，
，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数
．．．．．使得对于任意，都有；若不是，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）63.
【解析】
【分析】
（1）直接利用定义求出数列为间等差数列．
（2）利用分类讨论思想，利用数列的前n项和公式求出数列的和，进一步利用不等量关系求出结果．
（3）利用分类讨论思想，进一步求出数列的通项公式，再利用函数的单调性求出k的最大值．【详解】（1）若数列{a n}满足a n+a n+1＝2n﹣35，n∈N*，则：a n+1+a n+2＝2（n+1）﹣35，两式相减得：a n+2﹣a n＝2．故数列{a n}是“间等差数列”，公差d＝2．
（2）（i）当n＝2k时，
（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝
易知：当n＝18时，最小值S18＝﹣153．
（ii）当n＝2k+1时，
S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝a1+（﹣31）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝，当n＝17时最小，其最小值为S17＝a﹣136，要使其最小值为﹣153，
则：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．
（3）易知：c n c n+1＝2018•（）n﹣1，则：c n+1c n+2＝2018•（）n，
两式相除得：，故数列{c n}为“间等比数列”，其间等比为．，易求出数列的通项公式为：，
由于n＞n+1，则数列{n}单调递减．那么，奇数项和偶数项都为单调递减，所以：k＞0．
要使数列为单调递减数列．只需2m﹣1＞2m＞2m+1，
即：，
解得，即最大的整数.
【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
20.已知函数，，其中.
（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，设函数，其中，证明：当时，
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由在区间上单调递减，则在恒成立，变量分离求最值即可；
（2）由，且，得，，所以
，即不等式成立.
【详解】（1），，函数在区间上单调递减，
，即，，.
（2）
，
因为，
，，时，，
即成立.
【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围，变量分离求最值，不等式恒成立等问题，属于中档题.
【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．[选修4-2：矩阵与变换]
21.在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵对应的变换作用下得到直
线x+y﹣b＝0（a，b∈R），求a+b的值．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据矩阵的坐标变换，，整理得，与直线相对应得a和b
的值即可．
【详解】设P（x，y）是直线x+y﹣2＝0上一点，由，
得x+ay+（x+2y）﹣b＝0，即，与直线x+y﹣2＝0相对应，
得,解得：，∴a+b＝4．
【点睛】本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，同时考查了计算能力，属于基础题．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，求线段的值.
【答案】
【解析】
【分析】
把曲线化简为直角坐标方程，和直线化成参数方程，利用参数的几何意义，求出弦长即可. 【详解】曲线，直线，
设直线的参数方程为(t为参数)，
代入曲线，得，设的参数分别为，.成立，
，，弦长.
【点睛】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程，属于基础题．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.
（1）当时，求；
（2）证明：存在常数，使得.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF的斜率和方程，解得Q的坐标，由两点的距离公式可得所求值；
（2）求得P（﹣1，0），可得a＝2，设P（﹣1，y P），y P＞0，PF：x＝my+1，代入抛物线方程，求得Q的纵坐标，计算2d（P）﹣|PF|，化简整理即可得证.
【详解】（1）抛物线方程y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程 ,当，
k PF＝＝，PF的方程为y＝（x﹣1），代入抛物线的方程，解得x Q＝，
抛物线的准线方程为x＝﹣1，可得|PF|＝＝，
|QF|＝+1＝，d（P）＝＝；
（2）当时，易得，不妨设，
直线，则，
联立，得，，
，
所以存在常数，使得.
【点睛】本题考查抛物线的定义及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和化简运算能力，属于中档题．
24.设数列{a n} 满足a1＝a，＝ca n+1﹣c（n∈N*），其中a、c为实数，且c≠0．
（1）求数列{a n} 的通项公式；
（2）设a＝，c＝，b n＝n（1﹣a n）（n∈N*），求数列 {b n}的前n项和S n．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由条件得a n+1﹣1＝c（a n﹣1），讨论a，当a1＝a≠1时，{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为c的等比数列，求出通项公式后验证a＝1时成立；
（2）把数列{a n} 的通项公式代入b n＝n（a﹣a n），然后利用错位相减法求数列 {b n}的前n项和S n；
【详解】（1）解：∵a n+1＝ca n+1﹣c，∴a n+1﹣1＝c（a n﹣1）
∴当a1＝a≠1时，{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为c的等比数列，
∴，即．当a＝1时，a n＝1仍满足上式．
∴数列{a n} 的通项公式为；
（2）由（1）得，当a＝，c＝时，b n＝n（1﹣a n）＝n{1﹣[1﹣]}＝n
∴
两式作差得
＝.
【点睛】本题考查了由数列递推关系求通项公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．。