2019高考物理 专题 带电粒子在复合场中的运动导学案 新人教版

专题——带电粒子在复合场中的运动
李仕才
【重难点剖析】
一、不计重力的带电粒子在电场中的运动
1.带电粒子在电场中加速
当电荷量为q 、质量为m 、初速度为0v 的带电粒子经电压U 加速后，速度变为t v ，由动能定理得：2201122t qU mv mv =-。

若0v =0
，则有t v =，这个关系式对任意静电场都是适用的。

对于带电粒子在电场中的加速问题，应突出动能定理的应用。

2.带电粒子在匀强电场中的偏转
电荷量为q 、质量为m 的带电粒子由静止开始经电1U 加速后，以速度1v 垂直进入由两
带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条
抛物线（如图所示）
21112
qU mv = 设两平行金属板间的电压为2U ，板间距离为d ，板长为L 。

（1）带电粒子进入两板间后
粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有 11,x v v L v t ==
粒子在平等于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有
221,,2y qU qE v at y at a m md
====。

（2）带电粒子离开极板时 侧移距离2
2222211
1224qU L U L y at mdv dU === 轨迹方程为：2
21
4U x y dU =（与m 、q 无关）
偏移角度ϕ的正切值222111
tan 2qU L U L at v mdv dU ϕ=== 若在偏转极板右侧D 距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个
很有用的推论：所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的中心沿中心与射出点的
连线射出的。

这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离
'()tan 2
L y D ϕ=+。

以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和
偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系。

二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动
1.匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直
线运动。

2.匀速圆周运动：若带电粒子在速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆
周运动。

质量为m 、电荷量为q 的带电粒子以初速度v 垂直进入匀强磁场B 中做匀速圆周运
动，其角速度为ω，轨道半径为R ，运动的周期为T ，则有：
22222()(2)v qvB m mR mv mR mR f R T
πωωπ===== 得mv R qB =，2m T qB
π=（与v 、R 无关），12qB f T m π== 3.对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点。

（1）粒子圆轨迹的圆心的确定
①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已
知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨
迹的圆心，如图所示。

②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作
两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图所示
③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径R ，可在
该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R 处的点为圆轨迹的圆心（利用左手定则判断
圆心在已知位置的哪一侧），如图所示。

（2）粒子圆轨迹的半径的确定 ①可直接运用公式mv R qB
=来确定
②画出几何图形，利用半径R 与题中已知长度的几何关系来确定。

在利用几何关系
时，要注意一个重要的几何特点：粒子速度的偏向角ϕ等于对应轨迹圆弧的圆心角α，
并等于弦切角θ的2倍，如图所示。

（3）粒子做圆周运动的周期的确定。

①可直接运用公式2m T qB
π=来确定。

②利用周期T 与题中已知时间t 的关系来确定。

若粒子在时间t 内通过的圆弧所
对应的圆心角为α，则有：360t T α
=︒（或2t T απ=） （4）圆周运动中有关对称的规律
①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，
如图1所示。

②在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子必沿另一半径方向射出，如图2所示。

（5）带电粒子在有界磁场中运动的极值问题
刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

三、带电粒子在复合场中的运动
1.带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应
把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析。

当带电粒子在叠加场中所受的合
外力为零时，带电粒子做匀速直线运动（如速度选择器）；当带电粒子所受的重力与电
场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周
运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做
非匀变速曲线运动，轨道也随之不规范地变化。

因此，要确定粒子的运动情况，必须明
确有几种场 ，粒子受几种力，重力是否可以忽略。

2.带电粒子所受三种场力的特征
（1）洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关。

当带电粒子的速度与磁场方
向平等时，0f =洛；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，f qvB =洛。

洛伦兹力的
方向垂直于速度v 和磁感应强度B 所决定的平面。

无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力
都不做功。

（2）电场力的大小为qE ，方向与电场强度E 的方向及带电粒子所带电荷的性质有
关。

电场力做功与路径无关，其数值除与带电子的电荷量有关外，还与其始末位置的电
势差有关。

（3）重力的大小为mg ，方向竖直向下。

重力做功与路径无关，其数值除与带电粒
子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关。

注意：①微观粒子（如电子、质子、离子）一般都不计重力；②对带电粒子、带电
小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；③对未知名的、
题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给物理过程及隐含条件具
体分析后作出符合实际的决定。

3.带电粒子在复合场中的运动的分析方法
（1）当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解。

（2）当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条
件列方程联立求解。

（3）当带电粒子在复合场中做非匀速圆周运动时，应选用动能定理或动量守恒定
律列方程求解。

注意：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，要根据动量守恒定律列方程，再与其他
方程联立求解。

由于带电粒子在复合场中的客观存在力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，
这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，
并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。

【典例分析】
一、根据带电粒子的运动轨迹进行分析推理
例1．如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中的M 点以相同速度飞出a 、
b 两个带电粒子，其运动轨迹如图中虚线所示，则（ ）
A.a 一定带正电，b 一定带负电
B.a 的速度将减小，b 的速度将增大
C.a 的加速度将减小，b 的加速度将增大
D.两个粒子的电势能一个增大，一个减小
解析：因为电场线的方向不知，所以不能根据受力情况判断电粒子的带电情况，因此选
项A 错误；根据带电粒子的运动轨迹可知a 受的电场力向左，b 受的电场力向右，且电场力
都做正功，所以两个粒子的速度都增大，电势能都减小，即选项B 、D 错误；但a 受的电场
力越来越小，b 受的电场力越来越大，所以a 的加速度将减小，b 的速度将增大，即选项C
正确。

答案：C
点评：本模块内容除了在高考中以常见的计算题形式出现外，有时候也以选择题形式出
现，通过带电粒子在非匀强电场中（只受电场力）的运动轨迹来分析电场力和能的特性是一
种重要题型，解析之类问题时要注意以下三点：
①电场力一定沿曲线的切线方向且一定指向轨迹曲线的内侧；
②ab kb ka W qU E E ==-电
③当电场线为曲线时，电荷的运动轨迹不可能与之重合。

二、带电粒子在电场中的加速与偏转
例2．喷墨打印机的结构简图如图所示，其中墨盒可以发出墨法微滴，其半径约为510-m ，
此微滴经过带电室时被带上负电，带电荷量的多少由计算机按字体笔画的高低位置输入信号
加以控制。

带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场 ，带电微滴经过偏转电场发生偏转
后打到纸上，显示出字体。

无信号输入时，墨法微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽
流回墨盒。

偏转板长1.6cm ，两板间的距离为0.50cm ，偏转板的右端距纸3.2cm 。

若墨法微
滴的质量为101.610
-⨯kg ，以20m/s 的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是38.010⨯V ，若墨法微滴打到纸上的点距原射入方向的距离是2.0mm 。

求这个墨法微
滴通过带电室所带的电荷量是多少？（不计空气阻力和重力，电场的不均匀性）
解析：设微滴所带的电荷量为q ，它进入偏转电场后做类平抛运动，离开电场后做直线
运动打到纸上，距原入射方向的距离为：
21tan 2
y at L ϕ=+ 又00
,,tan qU l at a t md v v ϕ=== 解得：20()2qUl l y L mdv =
+ 代入数据得：131.2510q C -=⨯
答案：131.2510C -⨯
点评：①本题也可直接根据：20
()tan ()22l
l qUl y L L mdv ϕ=+=+进行计算。

②和平抛运动问题一样，这类题型中偏转角度的正切表达式在解题中往往较为关键，且
有tan 2tan θα=（α为射出点位移与入射方向的夹角）的特点。

例3．如图甲，在真空中，半径为R 的圆形区域内存在匀强磁场 ，磁场方向垂直纸面向
外。

在磁场右侧有一对平行金属板M 和N ，两板间距为R ，板长为2R ，板的中心线12O O 与磁
场的圆心o 在同一直线上。

有一电荷量为q 、质量为m 的带正电的粒子以速度0v 从圆周上的
a 点沿垂直于半径1OO 并指向圆心o 的方向进入磁场 ，当从圆周上的1O 点水平飞出磁场时，
给M 、N 两板加上如图乙所示的电压，最后粒子刚好以平
行于N 板的速度从N 板的边缘飞出。

（不计粒子所受到的
重力）
（1）求磁场的磁感应强度B 。

（2）求交变电压的周期T 和电压0U 的值。

（3）当2
T t =时，该粒子从M 、N 板右侧沿板的中心线仍以速度0v 射入M 、N 之间，求粒子从磁场中射出的点到a 点的距离。

解析：（1）粒子自a 点进入磁场，从1O 点水平飞出磁场，则其运动的轨道半径R 。

由200v qv B m qR
= 解得：0mv B m qR
=
（2）粒子自1O 点进入电场后恰好从N 板的边缘平行极板飞出。

设运动时间为t ，根据
类平抛运动规律：
02022()222
R v t
qU R T n mR == 又t=nT(n=1,2,3……)
解得：0
2R T nv =(n=1,2,3……) 2002nmv U q
=(n=1,2,3……) （3）当2
T t =时，粒子以速度0v 沿21O O 射入电场，该粒子恰好从M 板边缘以平行于极板的速度射入磁场，进入磁场的速度仍为0v ，运动的轨迹半径为R 。

设进入磁场时的
点为b ，离开磁场时的点为c ，圆心为3O ，如上图所示，四边形3ObO c 是菱形，所以
3//,Oc O b c 、O 、a 三点共线，ca 即为圆的直径，则c 、a 间的距离d=2R 。

答案：（1）20v m qR ；（2）02R nv (n=1,2,3……) 202nmv q
(n=1,2,3……)；（3）2R 点评：带电粒子在匀强电场中偏转的运动是类平抛运动，解此类题目关键是将动分解成
两个简单的直线运动，题中沿电场方向的分运动就是前面总结过多次的“受力周期性变化的
加速运动”。

三、带电粒子在有界磁场中的运动
例4．如图，xoy 平面内的圆'O 与y 轴相切于坐标原点O 。

在该圆形区域内，有与y 轴
平行的匀强电场和垂直于圆面的匀强磁场。

一个带电粒子（不计重力）从原点O 沿x
轴进入场区，恰好做匀速直线运动，穿过场区的时间为0T 。

若撤去磁场，只保留电场，
其他条件不变，该带电粒子穿过场区的时间为0T /2。

若撤去电场，只保留磁场，其他
条件不变，求：该带电粒子穿过场区的时间。

解析：设电场强度为E ，磁感强度为B ；圆o'的半径为R ；粒子的电量为q ，质量为m ，初速
度为v ．同时存在电场和磁场时，带电粒子做匀速直线运动，有
qvB qE =；vT R 02=
只存在电场时，粒子做类平抛运动，有：02T x v =⋅，201()22
T qE y m
=⋅
⋅
由以上式子可知x = y = R ，粒子从图中的M 点离开电场，由以上式子得：20
8mR qvB T = 只存在磁场时，粒子做匀速圆周运动，从图中N 点离开磁场，P 为轨迹圆弧的圆心．设半径
为r ，2
mv qvB r
= 由以上式子可得：2
R r =
，由图：/2tg R r q == 所以，粒子在磁场中运动的时间：02arctan 22T r t v θ==⋅
点评：带电粒子在磁场中的运动大体包含五种常见情境：无边界磁场、单边界磁场、双
边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场。

带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解
这类问题往往要用到圆周运动的知识、洛伦兹力、还要牵涉到数学中的平面几何、解析几何
等知识。

因此，解此类试题，除了运用常规的解题思路（画草图、找“圆心”、定“半径”
等）之外，更应侧重于运用数学知识进行分析。

带电粒子在有界匀强磁场中运动时，其轨迹为不完整的圆周，解决之类问题的关键有以
下三点：
①确定圆周的圆心。

若已知入射点、出射点及入射方向、出射方向，可通过入射点和出
射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两直线的交点，即为圆周的圆心；若已知入射点、
出射点及入射方向，可通过入射点作入射线的第一线，连接入射点和出射点，作此连线的垂
直平分线，两垂线的交点，即为圆周的圆心。

②确定圆的半径。

一般在圆上作图，由几何关系求出圆的半径。

③求运动时间。

找到运动的圆弧所对应的圆心角θ，由公式2t T θπ
=求出运动时间。

由于带电粒子以不同的速率进入同一磁场做圆周运动的半径与速率成正比。

本题如果粒
子的速度太大就会从dc 边射出，相切则是刚好不从dc 边射出；速度太小将不会从ab 边射
出，相切则刚好不从ab 边射出。

当带电粒子在磁场中做圆周运动时，若粒子做圆周运动的
时间最长。

例5．图甲为一种质谱仪工作原理示意图。

在以O 为圆心，OH 为对称轴，夹角为2α
的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。

对称于OH 轴的C 和D 分别是离子发射
点和收集点。

CM 垂直磁场左边界于M ，且OM d =。

现有一正离子束以小发散角（纸面内）
从C 射出，这些离子在CM 方向上的分速度均为0v 。

若该离子束中比荷为q m
的离子都能汇聚到D ，试求：
（1）磁感应强度的大小和方向。

（提示：可考虑以沿CM 方向运动的离子为研究对象）
（2）离子沿与CM 成θ角的直线CN 进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间。

（3）线段CM 的长度。

解析：（1）设沿CM 方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R 。

由200,v qv B m R d R
==
解得：0mv B qd
=，磁场方向垂直纸面向外。

（2）设沿CN 运动的离子速度大小为V ，在磁场中的轨道半径为'R ，运动时间为t ，由0cos v v θ= 解得：0cos v v θ
= 'cos mv d R qB θ
== 方法一 如图所示，设弧长为s 由,2()'s t s R v θα=
=+， 解得：0
2()d t v θα+= 方法二 离子在磁场中做匀速圆周运动的周期2m T qB π=
故02()d t T v θαθαπ++==。

（3）设从N 点射入的离子的轨迹圆心为A ，过A 作AB 垂直NO ，如图所示。

'cos 'cos d NA R NB R d θθ==
==
故BO=NM
因为tan NM CM θ=
又因为cot 'sin cot sin cot cos d BO AB R αθαθαθ===
所以cot CM d α=。

答案：（1）0mv qd ，方向垂直纸面向外 （2）0
2()d v θα+ （3）cot d α 点评：关于带电粒子通过匀强磁场只受洛伦兹力作用的问题，关键在于准确作图，找出图中轨迹的半径、弦、圆心角、已知线段等几何量之间的关系。

本题的解析中要避免分析这些离子束为何能重新汇聚。

例6．如图所示，x 轴上方存在磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外（图中未画出）。

x 轴下方存在匀强电场，场强大小为E ，方向沿与x
轴负方向成60°角斜向下。

一个质量为m ，带电量为＋e 的质子以速度v 0
从O 点沿y
轴正方向射入匀强磁场区域。

质子飞出磁场区域后，
从b 点处穿
过x 轴进入匀强电场中，速度方向与x 轴正方向成30°，之后通过了b 点
正下方的c 点。

不计质子的重力。

（1）画出质子运动的轨迹，并求出圆形匀强磁场区域的最小半径和最小面积；
（2）求出O 点到c 点的距离。

解析：（1）质子先在匀强磁场中做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动，最后进入匀
强电场做类平抛运动，轨迹如图所示.根据牛顿第二定律，有200Be m R
=v v 要使磁场的区域面积最小，则Oa 为磁场区域的直径，由几何关系可知：0cos30r R =
求出圆形匀强磁场区域的最小半径02r eB
=v 圆形匀强磁场区域的最小面积为222
0min 2234m S r B e ππ==v （2）质子进入电场后，做类平抛运动，
垂直电场方向：00sin30s t =v ； 平行电场方向：021cos302
s at =，由牛顿第二定律eE ma =，
解得：s =。

O 点到c 点的距离：d == 例7．如图所示，直角坐标系xOy 中，在x < 0的区域存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ；在x > 0的区域存在一垂直纸面的矩形有界匀强磁场，其下边界和左边界分别与Ox 、Oy 辆重合，磁感应强度的大小为B （图中未画出），现有一质量为m 、电量为e 的质子从第二象限的某点P 以初速度06BeL v m
=沿x 轴正方向开始运动，以2v0的速度经坐标为（0，L ）的Q 点．再经磁场偏转恰好从坐标原点O 沿x 轴的负方向返回电场，不计
质子的重力．求：
（1）P 点的坐标；
（2）矩形磁场的面积。

解析：（1）如图所示，设P 点的坐标为(x P ，y P )，从P 到Q ，质子做类平抛运动，设过Q 点时的速度与x 轴正向的夹角为θ，则：
00
cos 2v v q =，所以060q =
质子在Q 点时在y 方向的分速度002sin y v v q = 在电场中质子运动的加速度a eE m =，设质子由P 到Q 的时间为t ，则
0y v at =，x P = – v 0t ，212P y L at =+
，
解得P x =-，2224P B eL y L Em =+。

（2）设所加的最小矩形磁场的高和底长分别为L1、L2，质子在磁场中做圆周运动的半径为r ，则：0
()sin(90)L r r q --= 所以r L =，又1cos L r r q =+，2L r = 所以2min 126S L L L ==
四、带电粒子在复合场、组合场中的运动问题
例8．如图所示，在y 轴的右方有一磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场，在x 轴的下方有一场强为E 、方向平行x 轴向左的匀强电场，有一铅板旋转在y 轴处且与纸面垂直。

现有一质量为m 、带电荷量为q 的粒子由静止经过加速电压为U 的电场加速后以垂直于铅板的方向从A 处穿过铅板，然后从x 轴的D 处以与x 轴正方向夹角为60︒的方向进入电场和磁场重叠的区域，最后到达y 轴上的C 点。

已知OD 长为L ，不计粒子的重
力，求：
（1）粒子经过铅板时损失的动能。

（2）粒子到达C 点时速度的大小。

解析：（1）由动能定理可知，粒子穿过铅板前的动能为：0k E qU = 穿过铅板后由牛顿第二定律得：2
v qvB m R
= 由几何知识得：sin 60L R =
︒ 解得：
v = 粒子穿过铅板后的动能为：222
21223k B L q E mv m
== 则损失的动能为：222
23k ko k B L q E E E qU m
∆=-=- （2）从D 到C 只有电场力对粒子做功，洛伦兹力只改变粒子速度的方向，带电粒子在磁场中做一般曲线运动，由动能定理可得：
2211
22
qEL mvc mv =
-
解得：vc = 答案：（1）22223B L q U m - （2
点评：无论何种情形下，洛伦兹力都不做功。

例9．如图所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz （x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上）。

匀强磁场的方向与Oxy 平面平行，且与x 轴的夹角为60︒，重力加速度为g 。

一质量为m 、电荷量为+q 的带电质点沿平行于z 轴正方向以速度0v 做匀速直线运动。

（1）求电场强度的量小值min E 及对应的磁感应强度B 。

（2）若电场强度为量小值min E ，当带电质点通过y 轴上的点P （0，h,0）时，撤去匀强磁场，求带电质点落在Oxz 平面内的位置。

解析：如图所示，带电质点受到重力mg （大小及方向均已知）、洛伦兹力0qv B （方向已知）、电场力qE （大小及方向均未知）的作用而做匀速直线运动。

由平行四边形定则可知：当电场方向与磁场方向相同时，电场力与洛伦兹力垂直，场强有最小值min E 。

根据物体的平衡条件有：
min 0sin 60cos60qE mg qv B mg =︒=︒
联立解得：min 0
,22mg
E B q qv =
=
（2）如图所示，撤去磁场后，带电质点受到重力mg 和电场力q min E 的作用，其合力沿PM 方向并与0v 方向垂直，大小等于0qv B ，故带电质点在与Oxz 平面成30︒角的平面内做类平抛运动
由牛顿第二定律得：0qv B ma = 解得：2
g a =
设经时间t 到达Oxz 平面内的点N （x,y,z ）。

由运动的分解可得：
沿0v 方向z=0v t 沿PM 方向212
PM at = 又,cot 30sin 30h
PM x h =
=︒︒
又联立以上各式解得：,2x z v ==所以，带电质点落在N
（，0
，2v ）点（或带电质点落在Oxz
平面内,2x z v ==。

答案：（1
）min 0
,22mg
E B q qv =
=
（2）带电质点落在N
（，0
，2v ）点（或带电质点落在Oxz
平面内,2x z v ==。

点评：运动的描述、受力分析、动力学是物理学的重要基础，本例要解决的不过是包含洛兹力、电场力的动力学问题，但由于电场力、洛伦兹力、重力和速度不在同一平面内，故在分析物理过程时需要有较强的空间想象力。

例10．两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图中的a 、b 所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。

在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。

若电场强度0E 、磁感应强度0B 、粒子的比荷
q m 均已知，且00
2m
t qB π=，两板间距20
2
10mE h qB π=。

（1）求粒子在00~t 时间内的位移大小与极板间距h 的比值。

（2）求粒子在极板间做圆周运动的最大半径（用h 表示）。

（3）若板间电场强度E 随时间t 的变化仍如图所示中的a 表示，磁场的变化改为如图中的c 所示，试画出粒子在板间运动的轨迹（不必写计算过程）。

解析：方法一（1）设粒子在00~t 时间内运动的位移大小为1s ，则：
2
0101,2qE s at a m
=
= 又202
00
102,o mE m t h qB qB ππ== 联立解得：
11
5
s h =。

（2）粒子在~2o o t t 时间内只受洛伦兹力的作用，且速度方向与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。

设运动速度的大小为1v ，轨道半径为1R ，周期为T ，则：
2
110101
,v v at qv B m R ==
联立解得：15h R π
= 又0
2m
T qB π=
即粒子在~2o o t t 时间内恰好完成一个周期的圆周运动。

在2~3o o t t 时间内，粒子做初速度为1v 的匀加速直线运动，设位移在小为2s ，则：2210012
s v t at =+
解得：235
s h =
由于12s s h +<，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。

在4~5o o t t 时间内，粒子运动到正极板（如图a 所示）。

因此粒子运动的最大半么225h
R π
=。

（3）粒子在板间运动的轨迹如图b 所示。

方法二 由题意可知，电磁场的周期为20t ，前半周期内粒子受电场的作用而做匀加速直线运动，加速度为：
qE a m
=
，方向向上 后半周期内粒子受磁场的作用而做匀速圆周运动，周期为：
2o m
T t qB π=
= 粒子恰好完成一次匀速圆周运动。

至第n 个周期末，粒子的位移大小为n s ，则：
201
()2
n s a at =
又已知20
2
10mE h qB π= 解得：2
5n n s h =，粒子的速度大小为：0n v ant =，粒子做圆周运动的半径为：0
n n mv R qB = 解得：5n nh
R π
=
显然223s R h s +<<
（1）粒子在00~t 时间内的位移大小与极板间距h 的比值11
5
s h =。

（2）粒子在极板间做圆周运动的量大半径225h R π
= （3）粒子在板间运动的轨迹如图中b 所示。

答案：（1）
15
（2）
25h π
（3）如图中b 所示。

例11．如图所示，在xOy 坐标系的第Ⅱ象限内，x 轴和平行x 轴的虚线之间(包括x 轴
和虚线)有磁感应强度大小为B 1=2×10-2
T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，虚线过y 轴上的P 点，OP=1.0m ，在x ≥0的区域内有磁感应强度大小为B 2、方向垂直纸面向外的匀强磁场。

许多质量m=1.6×10-25kg 、电荷量g=+1.6×10-18C 的粒子，以相同的速率v=2×105
m ／s 从C 点沿纸面内的各个方向射入磁感应强度为B 1的区域，OC=0.5m 。

有一部分粒子只在磁感应强度为B 1的区域运动，有一部分粒子在磁感应强度为B 1的区域运动之后将进入磁感应强度为B 2的区域。

设粒子在B 1区域运动的最短时间为t 1，这部分粒子进入磁感应强度为B 2的区域后在B 2区域的运动时间为t 2，已知t 2=4t 1。

不计粒子重力。

求：
（1）粒子在磁感应强度为B 1的区域运动的最长时问t 0=? （2）磁感应强度B 2的大小? 解析：（1）设粒子在磁感应强度为B 1的区域做匀速圆周运动的半径为r ，周期为T 1，则
r =
1
qB m υ
= 1.0 m ； T 1 =12qB m π
由题意可知，OP = r ，所以粒子沿垂直x 轴的方向进入时，在B 1区域运动的时间最长
为半个周期，即
t 0 =
2
1
T 1 = 1.57×10–5 s （2）粒子沿+x 轴的方向进入时，在磁感应强度为B 1的区域运动的时间最短，这些粒子在B 1和B 2中运动的轨迹如图所示，在B 1中做圆周运动的圆心是O 1，O 1点在虚线上，与y 轴的交点是A ，在B 2中做圆周运动的圆心是O 2，与y 轴的交点是D ，O 1、A 、O 2在一条直线上。

由于OC =
21r ， 所以∠AO 1C = 30°， 则t 1 =112
1
T。