李宁物理竞赛讲义第1讲运动学
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一般山东省一等奖在七八十名左右，二等奖五百名左右，三等奖若干。先进行预赛考试，选拔 出参加复赛的名单，复赛过程中先进行理论考试、理论成绩全省前 150 名进行实验考试，共分两批 次进行。
微元法：为了分析清楚物理量之间的关系，尤其是定量的关系，往往采用微元法．也就是分析， 经历了一段极小的时间 ∆t ，改变了一个小长度 ∆x ，或者一个小角度 ∆θ 之后，有什么变化。利 用几何的知识，就可以解决问题了。
AD = v∆t, AC = vA∆t,
第4页
所以
vA
=
AC AD
v.
上式中
vA
为交点的移动速度.
又以
α
表示等腰 ∆AO1O2
的底角，且视
AC 为一小段弦，则由图中知
又在等腰 ∆ADC 中，有
π
π
∠CAD = 2 − ∠DAO2 = 2 − α
AD = 2AC · cos ∠CAD
即 AD = 2AC sin α. 联立以上两式有
v地对人 2 = v风对地 + 2v地对人 1 = v风对人 1 + v地对人 1，由此显然 v风对人 1 = v地对人 1，两者相互垂
直，所以
v风
=
√ 2v人对地
1
=
√
5 2
2ms−1
极坐标的介绍 对于运动，有时使用平面直角坐标系处理是不方便的，所以我们采用极坐标系， 用 (r, θ) 两个参数来表述一个物体的空间坐标，对于一个位置矢量 ⃗r 在直角坐标系下表述为：
在如下图所示的三角形中，边角有如下关系：
第1页
正弦定理：
a
b
c
sin A = sin B = sin C
(3)
余弦定理：
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
(4)
再介绍几个和差关系：
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β (5)
【解答】设经过了一小段时间 t 之后，人和 M 都有位移，其位移之比为：
解得
v=
H H −h
vA
vt = H vAt H − h
3. 一个半径为 R 的环（环心为 O2) 立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为 O1）以速度 v 从前一环的旁边经过. 试求当两环的环心相距为 d（2R > d > 0）时，两环上部的交点 A 的运动 速度. 两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的.
可得
√
v
h2 + s2
u = cos θ =
v s
图中的速度 v′ 为小船绕收绳点转动的速度，因而 v′ 所对应的向心加速度的大小为
v′2
v2 tan2 θ
v2h2
an
=
√ h2
+ s2
=
√ h2
+ s2
=
√ s2 h2
+ s2
an 的方向沿收绳方向，而在该方向上绳保持恒定的速率，故该方向上的加速度即为 an，而 与速度一样，由于小船在水面上做直线运动，因此小船的加速度亦在水平方向上，因而，加
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2α − sin2β
再介绍一个辅助角公式：
√
(
a sin α + b cos α = a2 + b2 √
a
sin α + √ b
) cos α
a2 + b2
a2 + b2
(6)
√
= a2 + b2 sin (α + φ)
其中 φ 满足 sin φ = √ b , cos φ = √ a ，也就是 tan φ = b
vA
=
v 2 sin α
=
√ 2 R2
v
( )2
−
d 2
/R
=
Rv √
4R2 −
d2
二、由速度的分解求解
仍如图，由于交点是在不动的环上由 A 点移至 C 点，故交点的移动速度必沿不动圆环的切 线方向，另一方面，可以从水平方向上来考察交点的运动，当交点由 A 移至 C 时，由于交 点在水平方向上的坐标总是与两环心连线中点的坐标相同，则在任何一段时间内此交点的水 平位移总是等于环心 O1 的水平位移的一半，即此交点速度的水平分量是
间为
d
d
d a2 + b2
t = v cos θ = u cos θ sin θ = u ab .
6. 某人以 2.5m/s 的速度向正西方向跑时，感到风来自正北. 如他将速度增加一倍，则感到风从正 西北方向吹来. 求风速大小.
解：【分析】v风对人 = v风对地 + v地对人, 用标号 1，2 区分两种情形，则在情形 2 中，v地对人 2 =
路程所用的时间，没有现成的公式可以直接应用. 为此，我们来研究蚂蚁爬完一小段路程 ∆l
所用的时间 ∆t. 设蚂蚁在某一小段路程 ∆l 上的速度为 υ（由于 ∆l 很小，则 υ 可近似看成
是常数，即在这小段内蚂蚁的运动可近似看成是匀速运动），则它爬完这段路程 ∆l 所用的
时间 ∆t 为
∆l 1 ∆t = = · ∆l
⃗r = x⃗i + y⃗j + z⃗k (7)
⃗v = vx⃗i + vy⃗j + vz⃗k = x˙⃗i + y˙⃗j + z˙⃗k 用极坐标来描述位置矢量表述为：
∑n i2
=
n (n +
1) (2n
+
1)
6
i=1 ∑n i3 = [ n (n + 1) ]2
(2)
2
i=1
原函数
导数
原函数
表 1: 常用导数表
导数
原函数
导数
y = ax y = xn y = ln x
y′ = a
y′ = nxn−1
y
=
1 x
y = ax2
y
=
1 x
y = ex
y′ = 2ax
y′
a2 + b2
a2 + b2
a
1. 蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比. 当蚂蚁爬到距巢中心 l1 = 1m 的
A 点处时，速度是 υ1 = 0.02m/s. 试求蚂蚁继续由 A 点爬到距巢中心 l2 = 2m 的 B 点需要多长
的时间 t？
解：【分析】蚂蚁爬行作变速运动，且不是匀变速运动，为求得蚂蚁爬完 A 点至 B 点这段
t=
=
· ∆l
υ
υ
l=l1
l=l1
依上分析可知， ∑l2
1 υ
·
∆l 之值近似是下图中阴影部分的面积. 这样，由图可求出蚂蚁由 A
l=l1
点爬至 B 点所用的总时间 t 为
11 1
t
=
( 2 υ1
+
υ2 )(l2
−
l1)
由于
υ2 υ1
=
l1 ，且
l2
l1
= 1m，l2
= 2m，υ1
=
0.02m/s，故得
解：在中学物理竞赛的培训中，本题是必做题之一. 由于中学物理竞赛应尽量避开高等数学 的应用，对本题的解答一般采用矢量分解方法求解. 当然，本题亦可采用小量分析的方法达 到目的，但计算过程过于复杂，况且，这一模型在竞赛中并不可能单独成题，往往只是构题
第5页
的一部分，因而用矢量分解方法应是比较合理的.
速度的分解图像与速度分解图像类似，由此可得小船的加速度为
√
a
=
an cos θ
=
v2h2 √ s2 h2 +
s2
h2 + s2 v2h2
=
s
s3
相对运动：因为描述运动要选取参照系，所以参照系的选取将对我们解决问题产生巨大的影响． 首先我们要分析一下速度的相对性。 绝对速度：我们（在高考范围内）一般把质点对地面，或者相对于地面上静止的物体的运动称为 “绝对运动”。相应的速度为“绝对速度”。 相对速度：质点相对于运动参考系的运动称为相对运动。相应的速度为相对速度。 牵 连 速 度： 运 动 的 参 考 系 相 对 于 地 面 的 运 动 称 为 牵 连 运 动。 相 应 的 速 度 为 牵 连 速 度。 则 有： ⃗v绝对=⃗v相对 + ⃗v牵连 或者 ⃗vAC = ⃗vAB + ⃗vBC 。
解：【分析】本题有多种方法，既可以用微元法，也可用速度的分解. 【解答】 一、用微元法求解
设两环心相距为 d 时刻的位置如图中的实线所示，自此时刻起，经历一段极短的时间 ∆t， 动环移到了图中的虚线位置，而两环上部的交点则由图中的 A 点移至 C 点，由于 ∆t 很小， 故图中的 A, C, D 三点是相距很近的（为使图中相对位置清楚，图中的位移是夸大了的）， 则 arcAC, arcDC 可以近似地看成是与弦 AC, DC 重合的. 故这段时间内，动环的位移可用 AD 表示，交点的位移可用弦运动的参考系。
5. 在宽度为 d 的街上，有一连串汽车以速度 u 鱼贯驶过，已知汽车的宽度为 b，两车间的距离为 a，如图所示. 一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间.
第6页
解：【分析】本题考查参考系的选取以及相对速度变换，速度的矢量合成 【解答】
本题较为常见的错误是，将船速度作为收绳速度的分速度，将 v 在水平与竖直方向上进行分 解，从而得到 u = v cos θ 的错误结论.
【解答】由于小船沿水面方向做直线运动，所以小船对岸边的收绳点（原题图中滑轮处）的
运动可分解为两个分运动：一是指向收绳点的运动，其速度的大小即为收绳的速率 v；二是
绕收绳点向下的转动. 因此小船的速度 u 的分解如图所示，图中 θ 为绳与水面的夹角. 由图
如图，人位于 A 处时，若他相对于车 2 的速度是指向 B 的，则人将擦 B 点而过，设人对地
的速度为 v，人相对于车 2 的速度为 V ，车对地的速度为 u，则此三者的关系是 V = v − u，
对应的矢量图如图所示. 图中的 θ 为图中的 ∠BAC. 可见，在图中，由于 u 和 θ 的大小是确
定的，故只有当 v⊥V 时，v 才有最小值，此时 v 的大小为 v = u sin θ 则对应的人过街的时
12 =
υ2 υ1
所以
t
=
1 2
(
1 υ1
+
1 υ2
)(l2
− l1)
= 3(l2 − l1) = 75s 2υ1
2. 一人身高为 h，在灯下以匀速率 vA 沿水平直线向右行走．如图所示，设灯距地面高度为 H，求 人影的顶端 M 点沿地面移动的速度 v．
第3页
解：【分析】可采用微元法，设经过了一小段时间 t 之后，影子顶端 M 经过了多少位移， 再利用几何关系得到答案.
1
vAx
=
v 2
由上一解法中已得出 vA 的方向与水平方向的夹角为
∠CAD = π − α 2
则有 vAx = vA cos ∠CAD = vA sin α，故得
vA
=
vAx sin α
=
v 2 sin α
=
Rv √
4R2 −
d2
4. 如图所示，岸高为 h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向夹角为 θ 时，收绳速率为 v， 则该位置船的速率为多大？(求小船的加速度后面讲)
微元法的好处是把曲线变成直线，非线性变成线性，非理想模型变成理想模型，把线性的变量 变成常量。这个也是微积分的一个基本思想。
1. 累加求和：我们用符号 ∑ 来表示累加求和，用法如下：
∑n n (n + 1) i=
(1)
2
i=1
其中 i 可以理解成是一个变量，只能整数的从 1 变到 n.
常用的一些结论如下：
李宁物理竞赛讲义 第一讲运动学
导语:物理竞赛的学习是一门很艰苦的课程，为对物理学科感兴趣，并计划在更高等学府从事理 工科专业的学生开设的一门校本课程。一般面向对象是优质高中前 5% 的学生及个别在物理方面有 天赋的学生。参与学习的同学要求平时课内总成绩优异，日常学习学有余力。
学习物理竞赛的一般路径：《力学篇》、《中学物理奥赛辅导：热学·光学·近代物理》、《电磁 学篇》，真题模拟，《更高更妙的物理》《物理学难题集萃》。
υυ
可见，如果作上图所示的 1 υ
− l 图象时，其中阴影区的面积恰为 ∆t，由此我们可以设法用
1 υ
− l 图上的面积来表示对应的时间.
υ1 = 2υ2
第2页
【解答】将蚂蚁由 A 至 B 的全程分为很多小段，设任一小段 ∆l 上对应的速度为 υ，则蚂
蚁爬完全程所用的时间 t 为
∑ l2 ∆l ∑ l2 1
=
−
1 x2
y′ = ex
y = sin x y = cos x y = u(x) · v(x)
y′ = cos x y′ = − sin x y′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
三角函数 对于常见的正弦函数 (f (x) = sin x)、余弦函数 (f (x) = cos x)、正切函数 (f (x) = tan x)、余切函数 (f (x) = cot x) 初中已经学过，不再赘述。先介绍两个定理
v风对地 + v地对人 2 = v风对地 + 2v地对人 1 = v风对人 1 + v地对人 1，由此显然 v风对人 1 = v地对人 1，两者
相互垂直，所以
v风
=
√ 2v人对地
=
√
5 2
2ms−1
【解答】
v风对人 = v风对地 + v地对人，用标号 1，2 区分两种情形，则在情形 2 中，v风对人 2 = v风对地 +
微元法：为了分析清楚物理量之间的关系，尤其是定量的关系，往往采用微元法．也就是分析， 经历了一段极小的时间 ∆t ，改变了一个小长度 ∆x ，或者一个小角度 ∆θ 之后，有什么变化。利 用几何的知识，就可以解决问题了。
AD = v∆t, AC = vA∆t,
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所以
vA
=
AC AD
v.
上式中
vA
为交点的移动速度.
又以
α
表示等腰 ∆AO1O2
的底角，且视
AC 为一小段弦，则由图中知
又在等腰 ∆ADC 中，有
π
π
∠CAD = 2 − ∠DAO2 = 2 − α
AD = 2AC · cos ∠CAD
即 AD = 2AC sin α. 联立以上两式有
v地对人 2 = v风对地 + 2v地对人 1 = v风对人 1 + v地对人 1，由此显然 v风对人 1 = v地对人 1，两者相互垂
直，所以
v风
=
√ 2v人对地
1
=
√
5 2
2ms−1
极坐标的介绍 对于运动，有时使用平面直角坐标系处理是不方便的，所以我们采用极坐标系， 用 (r, θ) 两个参数来表述一个物体的空间坐标，对于一个位置矢量 ⃗r 在直角坐标系下表述为：
在如下图所示的三角形中，边角有如下关系：
第1页
正弦定理：
a
b
c
sin A = sin B = sin C
(3)
余弦定理：
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
(4)
再介绍几个和差关系：
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β (5)
【解答】设经过了一小段时间 t 之后，人和 M 都有位移，其位移之比为：
解得
v=
H H −h
vA
vt = H vAt H − h
3. 一个半径为 R 的环（环心为 O2) 立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为 O1）以速度 v 从前一环的旁边经过. 试求当两环的环心相距为 d（2R > d > 0）时，两环上部的交点 A 的运动 速度. 两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的.
可得
√
v
h2 + s2
u = cos θ =
v s
图中的速度 v′ 为小船绕收绳点转动的速度，因而 v′ 所对应的向心加速度的大小为
v′2
v2 tan2 θ
v2h2
an
=
√ h2
+ s2
=
√ h2
+ s2
=
√ s2 h2
+ s2
an 的方向沿收绳方向，而在该方向上绳保持恒定的速率，故该方向上的加速度即为 an，而 与速度一样，由于小船在水面上做直线运动，因此小船的加速度亦在水平方向上，因而，加
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2α − sin2β
再介绍一个辅助角公式：
√
(
a sin α + b cos α = a2 + b2 √
a
sin α + √ b
) cos α
a2 + b2
a2 + b2
(6)
√
= a2 + b2 sin (α + φ)
其中 φ 满足 sin φ = √ b , cos φ = √ a ，也就是 tan φ = b
vA
=
v 2 sin α
=
√ 2 R2
v
( )2
−
d 2
/R
=
Rv √
4R2 −
d2
二、由速度的分解求解
仍如图，由于交点是在不动的环上由 A 点移至 C 点，故交点的移动速度必沿不动圆环的切 线方向，另一方面，可以从水平方向上来考察交点的运动，当交点由 A 移至 C 时，由于交 点在水平方向上的坐标总是与两环心连线中点的坐标相同，则在任何一段时间内此交点的水 平位移总是等于环心 O1 的水平位移的一半，即此交点速度的水平分量是
间为
d
d
d a2 + b2
t = v cos θ = u cos θ sin θ = u ab .
6. 某人以 2.5m/s 的速度向正西方向跑时，感到风来自正北. 如他将速度增加一倍，则感到风从正 西北方向吹来. 求风速大小.
解：【分析】v风对人 = v风对地 + v地对人, 用标号 1，2 区分两种情形，则在情形 2 中，v地对人 2 =
路程所用的时间，没有现成的公式可以直接应用. 为此，我们来研究蚂蚁爬完一小段路程 ∆l
所用的时间 ∆t. 设蚂蚁在某一小段路程 ∆l 上的速度为 υ（由于 ∆l 很小，则 υ 可近似看成
是常数，即在这小段内蚂蚁的运动可近似看成是匀速运动），则它爬完这段路程 ∆l 所用的
时间 ∆t 为
∆l 1 ∆t = = · ∆l
⃗r = x⃗i + y⃗j + z⃗k (7)
⃗v = vx⃗i + vy⃗j + vz⃗k = x˙⃗i + y˙⃗j + z˙⃗k 用极坐标来描述位置矢量表述为：
∑n i2
=
n (n +
1) (2n
+
1)
6
i=1 ∑n i3 = [ n (n + 1) ]2
(2)
2
i=1
原函数
导数
原函数
表 1: 常用导数表
导数
原函数
导数
y = ax y = xn y = ln x
y′ = a
y′ = nxn−1
y
=
1 x
y = ax2
y
=
1 x
y = ex
y′ = 2ax
y′
a2 + b2
a2 + b2
a
1. 蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比. 当蚂蚁爬到距巢中心 l1 = 1m 的
A 点处时，速度是 υ1 = 0.02m/s. 试求蚂蚁继续由 A 点爬到距巢中心 l2 = 2m 的 B 点需要多长
的时间 t？
解：【分析】蚂蚁爬行作变速运动，且不是匀变速运动，为求得蚂蚁爬完 A 点至 B 点这段
t=
=
· ∆l
υ
υ
l=l1
l=l1
依上分析可知， ∑l2
1 υ
·
∆l 之值近似是下图中阴影部分的面积. 这样，由图可求出蚂蚁由 A
l=l1
点爬至 B 点所用的总时间 t 为
11 1
t
=
( 2 υ1
+
υ2 )(l2
−
l1)
由于
υ2 υ1
=
l1 ，且
l2
l1
= 1m，l2
= 2m，υ1
=
0.02m/s，故得
解：在中学物理竞赛的培训中，本题是必做题之一. 由于中学物理竞赛应尽量避开高等数学 的应用，对本题的解答一般采用矢量分解方法求解. 当然，本题亦可采用小量分析的方法达 到目的，但计算过程过于复杂，况且，这一模型在竞赛中并不可能单独成题，往往只是构题
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的一部分，因而用矢量分解方法应是比较合理的.
速度的分解图像与速度分解图像类似，由此可得小船的加速度为
√
a
=
an cos θ
=
v2h2 √ s2 h2 +
s2
h2 + s2 v2h2
=
s
s3
相对运动：因为描述运动要选取参照系，所以参照系的选取将对我们解决问题产生巨大的影响． 首先我们要分析一下速度的相对性。 绝对速度：我们（在高考范围内）一般把质点对地面，或者相对于地面上静止的物体的运动称为 “绝对运动”。相应的速度为“绝对速度”。 相对速度：质点相对于运动参考系的运动称为相对运动。相应的速度为相对速度。 牵 连 速 度： 运 动 的 参 考 系 相 对 于 地 面 的 运 动 称 为 牵 连 运 动。 相 应 的 速 度 为 牵 连 速 度。 则 有： ⃗v绝对=⃗v相对 + ⃗v牵连 或者 ⃗vAC = ⃗vAB + ⃗vBC 。
解：【分析】本题有多种方法，既可以用微元法，也可用速度的分解. 【解答】 一、用微元法求解
设两环心相距为 d 时刻的位置如图中的实线所示，自此时刻起，经历一段极短的时间 ∆t， 动环移到了图中的虚线位置，而两环上部的交点则由图中的 A 点移至 C 点，由于 ∆t 很小， 故图中的 A, C, D 三点是相距很近的（为使图中相对位置清楚，图中的位移是夸大了的）， 则 arcAC, arcDC 可以近似地看成是与弦 AC, DC 重合的. 故这段时间内，动环的位移可用 AD 表示，交点的位移可用弦运动的参考系。
5. 在宽度为 d 的街上，有一连串汽车以速度 u 鱼贯驶过，已知汽车的宽度为 b，两车间的距离为 a，如图所示. 一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间.
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解：【分析】本题考查参考系的选取以及相对速度变换，速度的矢量合成 【解答】
本题较为常见的错误是，将船速度作为收绳速度的分速度，将 v 在水平与竖直方向上进行分 解，从而得到 u = v cos θ 的错误结论.
【解答】由于小船沿水面方向做直线运动，所以小船对岸边的收绳点（原题图中滑轮处）的
运动可分解为两个分运动：一是指向收绳点的运动，其速度的大小即为收绳的速率 v；二是
绕收绳点向下的转动. 因此小船的速度 u 的分解如图所示，图中 θ 为绳与水面的夹角. 由图
如图，人位于 A 处时，若他相对于车 2 的速度是指向 B 的，则人将擦 B 点而过，设人对地
的速度为 v，人相对于车 2 的速度为 V ，车对地的速度为 u，则此三者的关系是 V = v − u，
对应的矢量图如图所示. 图中的 θ 为图中的 ∠BAC. 可见，在图中，由于 u 和 θ 的大小是确
定的，故只有当 v⊥V 时，v 才有最小值，此时 v 的大小为 v = u sin θ 则对应的人过街的时
12 =
υ2 υ1
所以
t
=
1 2
(
1 υ1
+
1 υ2
)(l2
− l1)
= 3(l2 − l1) = 75s 2υ1
2. 一人身高为 h，在灯下以匀速率 vA 沿水平直线向右行走．如图所示，设灯距地面高度为 H，求 人影的顶端 M 点沿地面移动的速度 v．
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解：【分析】可采用微元法，设经过了一小段时间 t 之后，影子顶端 M 经过了多少位移， 再利用几何关系得到答案.
1
vAx
=
v 2
由上一解法中已得出 vA 的方向与水平方向的夹角为
∠CAD = π − α 2
则有 vAx = vA cos ∠CAD = vA sin α，故得
vA
=
vAx sin α
=
v 2 sin α
=
Rv √
4R2 −
d2
4. 如图所示，岸高为 h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向夹角为 θ 时，收绳速率为 v， 则该位置船的速率为多大？(求小船的加速度后面讲)
微元法的好处是把曲线变成直线，非线性变成线性，非理想模型变成理想模型，把线性的变量 变成常量。这个也是微积分的一个基本思想。
1. 累加求和：我们用符号 ∑ 来表示累加求和，用法如下：
∑n n (n + 1) i=
(1)
2
i=1
其中 i 可以理解成是一个变量，只能整数的从 1 变到 n.
常用的一些结论如下：
李宁物理竞赛讲义 第一讲运动学
导语:物理竞赛的学习是一门很艰苦的课程，为对物理学科感兴趣，并计划在更高等学府从事理 工科专业的学生开设的一门校本课程。一般面向对象是优质高中前 5% 的学生及个别在物理方面有 天赋的学生。参与学习的同学要求平时课内总成绩优异，日常学习学有余力。
学习物理竞赛的一般路径：《力学篇》、《中学物理奥赛辅导：热学·光学·近代物理》、《电磁 学篇》，真题模拟，《更高更妙的物理》《物理学难题集萃》。
υυ
可见，如果作上图所示的 1 υ
− l 图象时，其中阴影区的面积恰为 ∆t，由此我们可以设法用
1 υ
− l 图上的面积来表示对应的时间.
υ1 = 2υ2
第2页
【解答】将蚂蚁由 A 至 B 的全程分为很多小段，设任一小段 ∆l 上对应的速度为 υ，则蚂
蚁爬完全程所用的时间 t 为
∑ l2 ∆l ∑ l2 1
=
−
1 x2
y′ = ex
y = sin x y = cos x y = u(x) · v(x)
y′ = cos x y′ = − sin x y′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
三角函数 对于常见的正弦函数 (f (x) = sin x)、余弦函数 (f (x) = cos x)、正切函数 (f (x) = tan x)、余切函数 (f (x) = cot x) 初中已经学过，不再赘述。先介绍两个定理
v风对地 + v地对人 2 = v风对地 + 2v地对人 1 = v风对人 1 + v地对人 1，由此显然 v风对人 1 = v地对人 1，两者
相互垂直，所以
v风
=
√ 2v人对地
=
√
5 2
2ms−1
【解答】
v风对人 = v风对地 + v地对人，用标号 1，2 区分两种情形，则在情形 2 中，v风对人 2 = v风对地 +