概率论与数理统计-第6章-第1讲-矩估计法

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法2
1 n
θ
n i1 Xi X EX 2 θ 2 X
法3
1
n
n i1
X
2 i
EX 2
θ 1 x2dx θ 2

3
θ
3 n
n i1
X
2 i
法4
B2
DX
θ2 12
θ 2 3B2
不同的矩法可得到不同的矩估计,因此矩估计不唯一.
12
第1讲 矩估计法
这一讲我们介绍了点估计的第一种方法——矩估计法. 矩 估计法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布 .
估参数的方程, 从而解出待估参数。
4
01 矩估计法
设待估计的参数为 1,2 ,,m
设总体的 k 阶矩存在,记为 E( X k ) k (1,2 ,,m )
样本X1,
X2,…,
Xn
的k阶矩为
Ak
1 n
n i1
X
k i
令 k (1,2,,m ) Ak k 1,2,, m
——含未知参数 1,2, ,m 的方程组 解方程组 , 得 m 个统计量:ˆi ( X1, X 2, , X n )
解2
1
n
n i1
Xi
X
EX
ab 2
1
n
n i1
(Xi
X )2
B2
D(X )
(b a)2 12
a
X
3B2
b X 3B2
11
02 典型例题
例 设总体 X ~U ( 0 ,θ ) , θ未知, X1 ,…, Xn 是 X 的样本 , 试求θ
的矩估计量 .
法1 上题的特例 a 0,b θ θ X 3B2
X1,…,Xn是X 的一组样本,求 μ, σ 2 的矩估计.


1
n
1
n
n
i 1 n
i 1
X i EX
X
2 i
EX 2

1
n
n i1
Xi
μ
1 n
n i1
X
2 i
σ2
μ2
解得
μ
1 n
n i 1
Xi
X
2
σ
1 n
n i1
X
2 i
X
2
1 n
n i1
(Xi
X )2
B2
一般,不论总体服从什么分布,若总体期望 与方差 2 存在,
E( X ) 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 (1 2 ) 3 4
X
1 n
n i1 X i
1 (3 1 3 0 3 1 2 3) 8
2
EX X
3 4 2
1
.
4
7
本章内容
01 矩估计法 02 典型例题
02 典型例题
例 设总体X有数学期望和方差: EX μ , DX σ 2
E(X )
xf (x)dx
1
x
x 1
dx
, 1
令 X 总体矩 1
样本矩
得 ˆ X 的矩估计
X 1
6
01 矩估计法

设 X 的分布列为
X P
0
2
1
2 (1 )
2
2
3
1 2
其中 (0 1) 是未知参数. 利用总体 X 的样本值: 3,1,3,0,3,1,2,3,
2
求 的矩估计.
2
本章内容
01 矩估计法 02 典型例题
01 矩估计法
例 ——生活经验:
X —某品牌手机的待机时间,欲估其 = EX , 抽取X1, X 2, , X100
理论依据——大数定律
ˆ
1 100
100 i1
Xi
X
替换原理
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法称为 矩估计法.
方法
用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建立含有待
缺点是:当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的信 息 . 一般场合下,矩估计量不具有唯一性 .当矩不存在时,矩估 计法会失效.
概率论与数理统计
学海无涯,祝你成功!
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则它们的矩估计量分别为
ˆ
1 n
n i1
Xi
X
ˆ 2
1 n
n i1
(Xi
X )2
B2
9
02 典型例题
例 设总体 X ~ U (a,b) , a,b 未知, 求参数a,b 的矩估计量.
解1 由于 E( X ) a b , D( X ) (b a)2
2
12
E(X 2) D(X ) ab X
E2(X
)
(b
a)2 12
a
2
b
2

2
(b a)2 12
a
b 2
2
A2
1 n
n i1
X
2 i
解得
aˆ矩 X 3(A2 X 2 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
,
bˆ矩 X
3( A2 X 2 ) X
3 n
n i1
(Xi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X )2
.
10
02 典型例题
例 设总体 X ~ U (a,b), a,b 未知, 求参数a,b 的矩估计量.
01矩估计法设总体的概率密度为总体矩样本矩的矩估计其中是未知参数是总体01矩估计法其中是未知参数利用总体的样本值
概率论与数理统计
第6章 参数估计
第1讲 矩估计法
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第1讲 矩估计法
点估计
根据样本构造一个统计量ˆ ˆ( X1, , X n ), 用它估计未知参数,称为点估计.
称ˆ( X1, , X n )为 的估计量; 称ˆ(x1, , xn )为 的估计值 .
未知参数1, ,m 的矩估计量 代入一组样本值得 m 个数:
ˆi ˆi (x1, x2, , xn ) 1, ,m 的矩估计值
5
01 矩估计法

设总体
X
的概率密度为
f
(x)
x
1
,
x
1,
0, x 1.
其中 1 是未知参数,X1, X 2, , X n 是总体 X 的
一个简单样本,求 的矩估计.
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