2018版高考数学人教A版理一轮复习真题集训第九章解析几何92和答案

真题演练集训
1．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎨
⎧
－ln x ，0<x <1，
ln x ，x >1
图象上点P 1，P 2处的
切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(0，＋∞)
D ．(1，＋∞)
答案：A
解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)， 由于l 1⊥l 2，所以1x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1
x 2.
又切线l 1：y －ln x 1＝1
x 1
(x －x 1)，
l 2：y ＋ln x 2＝－1
x 2
(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y －ln x 1
＝1
x 1
x －x 1
，y ＋ln x 2
＝－1
x 2
x －x 2
，
解得x P ＝
2
x 1＋
1
x 1
.
所以S △PAB ＝1
2
×2×x P ＝
2x 1＋
1x 1
，
因为x 1>1，所以x 1＋1
x 1
>2，
所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.
2．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A. (0,1)
B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－22，12
C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13
D. ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
13，12 答案：B
解析：如图①所示，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b a ，0在线段AB 上时，
可求得E ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－b a ＋1，a ＋b a ＋1， 则S △EFB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝12S △ABC ＝1
2，
整理得a ＝
b 21－2b
，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
－1≤－b
a <0，a ＝
b 2
1－2b >0，
可解得13≤b <12
；
①②
如图②所示，当点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0在点A 左侧时，可求得E ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－b a ＋1，a ＋b a ＋1，G ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－b a －1，a －b a －1， 则S 四边形ABEG ＝S △BEF －S △AFG ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋b a ·a －b a －1＝12S △ABC ＝1
2，
整理可得a 2＝－2b 2＋4b －1，
由⎩⎨
⎧
－b a <－1，
a 2
＝－2b 2
＋4b －1>0，
可解得1－
22<b <13或1<b <1＋2
2
(舍去)． 综上可得，b 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫
1－22，12，故选B.
3．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x
(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．
答案：－3
解析：由曲线y ＝ax 2＋b x
过点P (2，－5)可得 －5＝4a ＋b
2.①
又y ′＝2ax －b x
2，
所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－7
2.②
由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.
4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．
答案：5
解析：∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．
当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；
当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，
∴△APB 为直角三角形， ∴|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，
∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝10
2
＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．
课外拓展阅读
直线过定点及直线的距离最值问题
专题一 直线过定点问题
直线l 的方程中除去x ，y 还有其他字母(称为参数)，若直线l 过一个定点P ，求定点P 的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P 的坐标．
已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，求过两点
Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程．
由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程． 因为点P (2,3)在已知直线上， 所以2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0， 所以2(a 1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0， 即
b 1－b 2a 1－a 2＝－2
3
， 所以所求直线方程为y －b 1＝－2
3(x －a 1)．
所以2x ＋3y －(2a 1＋3b 1)＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.
点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．
解法一：点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的距离d ＝|2m －1－3|
m 2
＋1
＝|2m －4|
m 2
＋1
， 则设f (m )＝d 2＝m －2
m 2＋1
＝4×m 2－4m ＋4m 2＋1
＝4⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋3－4m m 2
＋1，
下面求
3－4m
m 2＋1
(m ∈R )的最大值． 设3－4m ＝t ，则m ＝3－t
4
. 当m <3
4
时，t >0，
则3－4m m 2＋1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 42＋1
＝16t t 2＋25－6t ＝16t ＋25
t －6 ≤
16
225－6
＝4，
当且仅当t ＝
25
t
，即t ＝5时等号成立；
当m ＝34时，3－4m m 2＋1
＝0；
当m >34时，t <0，则0>3－4m m 2＋1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 42
＋1
＝16t t 2＋25－6t
＝16t ＋25
t
－6
≥16－225－6
＝－1， 当且仅当t ＝25
t
，即t ＝－5时等号成立．
综上可得，
3－4m
m 2＋1
(m ∈R )的最大值为4， 所以点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是＋
＝2 5.
解法二：对于直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )， 令m ＝0，则有－y －3＝0； 令m ＝1，则有x －y －3＝0， 解方程组⎩⎨
⎧
－y －3＝0，
x －y －3＝0，
得⎩⎨
⎧
x ＝0，y ＝－3，
则直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．
由原题答图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值，此时|PQ |＝
－
2
＋＋
2
＝25，
所以点P (2,1)到直线l 的最大距离是2 5. 2 5 方法探究
受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴．
专题二 有关直线的距离最值问题
已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．
(1)设A 关于直线l 的对称点A ′(m ，n )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋0
2＋8＝0，解得⎩⎨
⎧
m ＝－2，
n ＝8，
故A ′(－2,8)．
P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |， 当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |， 则点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点， 解⎩⎨
⎧
x ＝－2，x －2y ＋8＝0，
得⎩⎨
⎧
x ＝－2，y ＝3，
故所求的点P 的坐标为(－2,3)．
(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |， 当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |， 则点P 就是直线AB 与直线l 的交点， 又直线AB 的方程为y ＝x －2， 解⎩⎨
⎧
y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，
得⎩⎨
⎧
x ＝12，y ＝10，
故所求的点P 的坐标为(12,10)．
已知点A (3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上各找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．
由点A (3,1)及直线y ＝x ，可求得点A 关于y ＝x 的对称点为点B (1,3)，同样可求得点A 关于y ＝0的对称点为点C (3，－1)，如图所示．
则|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，
当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，△AMN 的周长最短，为|BC |＝2 5.
由B (1,3)，C (3，－1)可得，直线BC 的方程为2x ＋y －5＝0.
由⎩⎨
⎧
2x ＋y －5＝0，y ＝x ，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝53，y ＝53，
故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53，53.
对于2x ＋y －5＝0，令y ＝0，得x ＝5
2，
故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，0.
故在直线y ＝x 上找一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，53，在y ＝0上找一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
52，0，可使△AMN 的周
长最短，最短周长为2 5.
领悟整合
在直线l 上找一点P 到两定点A ，B 的距离之和最小，则点P 必在线段AB ′上，故将l 同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P 到两定点A ，B 的距离之差最大，则点P 必在AB ′的延长线或BA ′的延长线上，故将l 异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A ′，B ′为点A ，B 关于l 的对称点)．。