对数函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

(4)对数的真数仅有自变量.
同学们，再见
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物
体内碳14含量看成1个单位，那么
问题情境
设生物死亡年数为 x ，死亡生物体内碳 14 含量为 y
死亡 1 年后，生物体内碳 14 含量为 (1 p ) ；
1
死亡 2 年后，生物体内碳 14 含量为 (1 p ) ；
y (1 p)
物价
年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
解:(2)根据函数 = 1.05 , ∈ [1, +∞)，利用计算工具，可得下表：
物价
��
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加
1所需要的年数在逐渐缩小.
行线，与 =
1
( )5730 (
2
≥ 0)的图象有且只有一个交点(0 , 0 ).
概念构建
同样地，根据指数与对数的关系，由 = ( > 0, 且 ≠ 1)可以得到
= ( > 0, 且 ≠ 1),也是的函数.通常，我们用表示自变量，表示函数.为
此，将 = ( > 0, 且 ≠ 1)中的字母和对调，写出 = ( > 0, 且 ≠ 1).


反过来，已知死亡生物体内碳 14 的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？
问：死亡时间 x 是碳 14 的含量 y 的函数吗？
问题探究

1

y
2

1
5730
x

, x [0, )


指对互化
x log
5730
y
,
y

(0,1]
1
2
根据指数与对数的关系如图，过轴正半轴上任意一点(0, 0 )(0 < 0 ≤ 1)作轴的平
答案： = 3 .
概念构建
= ( > 0, 且 ≠ 1)
【规律方法】
判断一个函数是对数函数的方法
合作探究
例1.求下列函数的定义域：
(1) = 3 2 ;
(2) = (4 − )( > 0, 且 ≠ 1).
解：(1)∵ 2 > 0,即 ≠ 0,

1
5730
x

, x [0, )


像这样，衰减率为常数的变化方式，
我们称为指数衰减．因此，死亡生物
体内碳14含量呈指数衰减．
问题探究
我们已经研究了死亡生物体内碳 14 的含量 y 随死亡时间 x 的变化而衰减的规律．

1

y
2

1
5730
x

, x [0, )
课堂
小结
1.对数函数的概念：
一般地，函数 = ( > 0, 且 ≠ 1)叫做对数函数，其中是自变量，定义
域是(0, +∞).
2.对数函数需要注意的几个点：
(1)形式：形如 = ( > 0, 且 ≠ 1)；
(2)系数：对数符号前面的系数为1；
(3)底数：底数为大于0且不等于1的常数；
由对数与指数间的关系，可得 = 1.05 , ∈ [1, +∞).
由计算工具可得，当 = 2时， ≈ 14.
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
学以致用
例2.假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为.
(1)该地的物价经过几年后会翻一番？
(2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
(4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形.
学以致用
例2.假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为.
(1)该地的物价经过几年后会翻一番？
解：(1)由题意可知，经过年后物价为
= (1 + 5%) ，即 = 1.05 ( ∈ [0, +∞)).
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
年
级：高
主讲教师：
一
学
科：高中数学（人教A版）
Hale Waihona Puke 学校：问题情境
问题 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率
衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这
个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与
死亡年数之间有怎样的关系？
一般地，函数 = ( > 0, 且 ≠ 1)叫做对数函数，其中是自变量，定
义域是(0, +∞).
概念构建
辨析1：判断正误.
(1)对数函数的定义域为.
(2)函数 =
1
是对数函数.
2
(3) = 2 2与 = 3都不是对数函数.
答案：×，×，√.
辨析2：若对数函数的图象经过(9,2)，则此对数函数的解析式为__________ .
∴函数 = 3 2 的定义域是{| ≠ 0}.
(2)∵4 − > 0,即 < 4,
∴ = (4 − )的定义域是{| < 4}.
合作探究
求对数型函数定义域的原则：
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1；
2
死亡 3 年后，生物体内碳 14 含量为 (1 p )
3
……
死亡 5730 年后，生物体内碳 14 含量为 (1 p )
根据已知条件，
(1 p)5730
1

p

1
从而

2
1
5730
1
2
1

1

p
，所以

2
1
5730
x
5730
；

1

y
2