新高考 核心考点与题型 立体几何 第5讲 立体几何中的建系设点速算技巧 - 解析

第1讲 立体几何中的建系设点速算技巧
考情分析
纵观高考的立体几何解答题，一般两问，第一问多证明平行或垂直，第二问多计算二面角，或求证存在性问题；如果通过传统的逻辑推理证明，第一问一般可以解决，但是第二问容易算错，或找点困难，而且很耗时间。

从解题难度与效率看推荐使用向量法来做立体几何。

向量法解决立体几何问题，化空间位置关系为向量坐标运算关系，可有效降低问题的难度。

向量的坐标运算，本质上说点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标及法向量？这是本节要介绍的内容，虽内容简单，务必精熟。

基础知识
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面
xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原
点即为z 轴与底面的交点
2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上
（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。

但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。

6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若222
AB AC BC +=，则AB AC ⊥
解题时都是给出几何体（柱体、椎体居多，长方体太简单很少），相当于给出了线面（线线）垂直、平行的关系；情况复杂一点的是给斜棱柱、斜棱锥或者组合体，关键就是确定顶点到底面的投影及高度，或底面相互垂直的线段及长度，再通过平移，即可建系。

（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：
x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z
规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0
（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了
111,,0,,1,022H I ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果()'
11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横
纵坐标相同）
由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。

如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。

例如：正方体中的'
B 点，其投影为B ，而()1,1,0B 所以()'
1,1,B z ，而其到底面的距
离为1，故坐标为()'
1,1,1B
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么
B
就要用到第三个方法： 3、需要计算的点
① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,222x x y y z z M +++⎛⎫
⎪⎝⎭
，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算
② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求'
A 点的坐标，如果使用向量计算，则设()',,A x y z ，可
直接写出()()()'1,0,0,1,1,0,1,1,1A B B ，观察向量''AB A B =，而()0,1,0AB = ，
()''1,1,1A B x y z =--- 101
110101x x y y z z -==⎧⎧⎪⎪
∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩
()'1,0,1A ∴
（三）刻画直线与平面方向的向量
1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =--
2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何快速求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线
（2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组：
111222
0x y z x y x y z x y z z ++=⎧⎨
++=⎩ 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=⎧⎨
++=⎩ ，解得：2x y
z y =-⎧⎨=⎩
::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=-
速算法向量技巧：找出两个维度数量积为零的一组方程，互换系数，保证方程有解（符号具体分析），将解出的两个数代入另外一组方程得到第三个数。

典型例题：
例1：在三棱锥P ABC -中，
PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=，,,D E F 分别是棱,,AB BC CD 的中点，1,2AB AC PA ===，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 解：
PA ⊥平面ABC ,PA AB PA AC ∴⊥⊥
90BAC ∠= ,,PA AB AC ∴两两垂直
以,,AP AB AC 为轴建立直角坐标系
坐标轴上的点：()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2A B C P 中点：:D AB 中点1,0,02⎛⎫
⎪⎝⎭ ， :E BC 中点11,,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，:F PC 中点10,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
综上所述：()()()1
1111,0,0,0,1,0,0,0,2,,0,0,,,0,0,,12
22
2B C P D E F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
注：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。

这些过程在解答题中可以省略。

例2：在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,BC CC 上的点，2CF AB CE ==，
1::1:2:4AB AD AA =，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标
思路：建系方式显而易见，长方体1,,AA AB AD 两两垂直，本题所给
的是线段的比例，如果设1,2,4AB a AD a AA a ===
标都含有a 使得坐标都为具体的数。

解：因为长方体1111ABCD A B C D -
1,,AB AD AA ∴两两垂直
∴以1,,AB
AD AA 为轴如图建系，设AB 为单位长度
11
2,4,1,2
AD AA CF CE ∴====
()()()()()()()11111,0,0,1,2,0,0,2,0,1,0,4,0,0,4,1,2,4,0,2,4B C D B A C D ()
31,,0,1,2,12
E F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
例3：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1,60AD DC CB ABC ===∠=，CF ⊥ 平面ABCD ，且1CF =，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。

思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD 找过C 的相互垂直的直线即可。

由题意，BCD ∠不是直角。

所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系 方案一：（选择BC 为轴），连结AC 可知120ADC ∠= ∴在ADC 中
2
2
2
2cos 3AC AD DC AD DC ADC =+-=
AC ∴=
由1,60AC BC ABC ==∠=可解得2,90AB ACB =∠=
AC BC ∴⊥ CF ⊥平面ABCD ,CF AC CF BC ∴⊥⊥
以,,AC CF BC 为坐标轴如图建系：
(
)
)
()10,1,0,,,0,0,0,122B A
D F ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
方案二（以CD 为轴）
过C 作CD 的垂线CM CF ⊥平面ABCD ,CF CD CF CM ∴⊥⊥
∴以,,CD CF CM 为坐标轴如图建系：
（同方案一）计算可得：22
CM AB =
=
()()31,0,,0,0,1,0,0,0,12
222A B D F ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
规律方法：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z 轴），对于,x y 轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足C 的直线为轴建立的坐标系。

例4：已知四边形ABCD 满足1
,2
AD BC BA AD DC BC a ===
=∥，E 是BC 中点，将BAE 翻折成1B AE ，使得平面1B AE ⊥平面AECD ，F 为1B D 中点
B
D
D
A
思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。

本题在翻折时，BAE 是等边三角形，四边形AECD 为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面'
B AE ⊥平面AECD ，结合'
B AE 是等边三角形，可取AE 中点M ，则可证'
B M ⊥平面AECD ，再在四边形AECD 找一组过M 的垂线即可建系 解：取AE 中点M ，连结'
B M
'B AE 是等边三角形 'B M AE ∴⊥
平面'
B AE ⊥平面AECD
'B M ∴⊥平面AECD ，连结DM ''
,B M ME B M MD ∴⊥⊥
四边形AECD 为60的菱形 ADE ∴为等边三角形
DM AE ∴⊥ '
,,B M MD ME ∴两两垂直
如图建系，设AB 为单位长度
'11333,0,0,,0,0,0,,0,1,,0,0,0,22222A E D C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
F 为'
B D 中点 330,,44F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
例5：如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点,4,3,4O OA OB OP ===，且OP ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的三等分点（靠近P ），建立适当的直角坐标系并求各点坐标
思路：由OP ⊥平面ABCD ，可得OP 作为z 轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取,OB OC 作为,x y 轴。

在所有点中只有M 的坐标相对麻烦，对于三等分点可得
1
3
PM PC =，从而转化为向量关系即可求出M 坐标
解：OP ⊥平面ABCD ,OP OB OP OC ∴⊥⊥
菱形ABCD OB OC ∴⊥ ,,OP OB OC ∴两两垂直 以,,OP OB OC 为坐标轴如图建系
可得：()()()()()0,0,4,3,0,0,0,4,0,0,4,0,3,0,0P B C A D --
M
F
A B'
E
D
C
M A E
D
C
设(),,M x y z 由13PM PC =
可得：1
3
PM PC = ()(),,4,0,4,4PM x y z PC =-=- 00443348433x x y y z z ⎧⎧
⎪⎪==⎪⎪
⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪
⎪⎪
-=-=⎪⎪⎩⎩
480,,33M ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭ 反思：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质
（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来
例6：如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 与直角梯形BDEF 所在的平面互相垂直，
EF BD ∥，,ED BD
⊥1AD EF ED ==，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐
标，并求出平面AEF ACE ,的法向量
思路：题目已知面面垂直，从而可以找到DE 与底面垂直，再由底面是正方形，可选,AD DC 为,x y 轴，图中F 点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到 解：平面EFBD ⊥平面ABCD
又因为直角梯形BDEF ED DB ∴⊥ ED ∴⊥平面ABCD 正方形ABCD AD BD ∴⊥ ,,ED DA DC ∴两两垂直 以,,DE DA DC 为轴建立直角坐标系
坐标轴上的点：
)()
(),,0,0,1A C E
底面上的点：)B
F 点两种确定方式：
① 可看其投影，落在BD
中点处22⎛⎫
⎪⎝⎭，且高度为1，所以
F 22⎛⎫
⎪⎝⎭
② 设(),,F x y z (
)(
)
,,1,2,EF x y z DB ∴=-
=
1
2EF
DB =
210x y F z ⎧=⎪
⎪
⎫⎪∴=⇒
⎨⎪⎝⎭⎪
-
=⎪⎪⎩
综上所述：
)()
(
))
,,0,0,1,,22A C E B
F ⎛⎫
⎪⎝⎭
例7：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B
的中心，11AA C H =⊥平面11AA B B
，1C H =，建立适当的坐标系并确定各点坐标
思路：1C H ⊥平面11AA B B ，从而1C H 可作z 轴，只需在平面11AA B B 找到过H 的两条垂线即可建系（两
种方案），对于坐标只有C 坐标相对麻烦，但由11C C A A =可以利用向量进行计算。

解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系） 如图建系：则
)
)()1
1
,,A A B
(
)(1,B C
设(),,C x y z
，则(1
,,C C x y z =- (
1
0,A A =-由11
C C A A =
可得：000x x y y z z ==⎧⎧⎪⎪
=-⇒=-⎨⎨⎪⎪
-==⎩⎩(0,C ∴- 综上所述：
))()(1
1
,,,A A B B ((1
,0,C C -
方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系） 如图建系：由1AA =计算可得112A
H B H == ()()()112,0,0,0,2,0,0,2,0A A B -()(12,0,0,B C -设(),,C x y z ，则(1,,C C x y z =- ()12,2,0A A =--
由11
C C A A =可得：22
220x x y y z z ⎧⎧=-=-⎪⎪
=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩ (2,C ∴-- 综上所述：()()()()112,0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,0,A A B B --((1,2,C C -- 反思：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。

（相信所给的1AA =目的也倾向使用
1
1
方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。

所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础
例8：已知斜三棱柱1111,90,2,ABC A B C BCA AC BC A -∠===在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
思路：本题建系方案比较简单，1A D ⊥平面ABC ，进而1A D 作z 轴，再过D 引AC 垂线即可。

难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是1B 的投影不易在图中作出（需要扩展平面ABC ）
解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。

解：过D 作AC 的垂线DM
，
1A D ⊥平面ABC
11,A D DC A D DM ∴⊥⊥，而DM DC ⊥
∴以1,,A D DC DM 为轴建立直角坐标系
()()()0,1,0,0,1,0,2,1,0A C B -，设高为h
则()10,0,A h ，设()1,,C x y z 则()()110,2,0,,,AC AC x y z h ==-
由11
AC AC =可得：00
220x x y y z h z h ==⎧⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩
()10,2,C h ∴ ()()112,1,,0,3,BA h AC h =--=
21111030BA AC BA AC h ∴⊥⇒⋅=⇒-+=，解得h =((11,A C ∴
设(1,B x y ()11,,0A B x y ∴= 而()2,2,0AB =且11A B AB = 2
2
x y =⎧∴⎨
=⎩
(1B ∴
综上所述：()()()(((1110,1,0,0,1,0,2,1,0,,,A C B A C B -
A
1
A。