2019-2020学年高中数学第三章函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点(2)预习案新人教A版必修1.doc

合集下载

2019A新高中数学必修第一册：3.1.1 方程的根与函数的零点

解: 任取 1≤x1<x2≤2, f(x1)-f(x2)=log2x1+x1+a-(log2x2+x2+a) =log2x1-log2x2+x1-x2 < 0. 得 f(x1)<f(x2), ∴函数在区间 [1, 2] 上是单增函数. 则方程在 1 与 2 之间只有一根, 于是有 f(1)·f(2)<0,
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章小结
3.1.1 方程的根与函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解复习与提高
返回目录
1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上的点有什么关系?
2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数的图象、对应方程的解有什么关系?
(C) (2, 3)
(D) (3, +∞)
解: 设 f(x)=lgx+x-3,
f(x) 在(0, +∞)上是增函数,
f(1)= -2, <0,
f(2)=lg2-1<0,
f(3)=lg3 >0,
f(2)·f(3)<0,
∴方程的解在2与3之间.
2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;
【课时小结】
2. 求函数的零点所在区间 (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的图象
连续不断, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点.
(2) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上是连续的单调函数, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.

2019-2020年高中数学第三章函数的应用新人教版必修

2019-2020年高中数学第三章函数的应用新人教版必修目标定位 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.3.能利用函数的图象和性质判断函数零点的个数.自主预习1.函数的零点对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点.2.方程、函数、图象之间的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.3.函数零点存在的判定方法如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根.温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )·f (b )＜0不一定成立.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点是一个点.( )(2)若函数y ＝f (x )满足在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在(a ，b )内有唯一零点.( )(3)函数y ＝f (x )满足f (a )·f (b )>0，函数y ＝f (x )也可能有零点.( )提示 (1)错.函数的零点是一个数，而不是一个点.(2)错.有零点但不一定唯一.(3)对.如：f (x )＝x 2，x ∈[－1，1].答案 (1)× (2)× (3)√2.下列函数没有零点的是( )A.f (x )＝0B.f (x )＝3C.f (x )＝x 2－2D.f (x )＝x －1x解析函数f (x )＝3不能满足f (x )＝0，因此没有零点；函数f (x )＝0有无数个零点；函数f (x )＝x 2－2有两个零点，为±2；函数f (x )＝x －1x有两个零点，为±1. 答案 B3.若4是函数f (x )＝ax 2－2log 2x 的零点，则a 的值等于( )A.4B.－4C.－14D.14解析由题意知f (4)＝0，即16a －2log 24＝0，解得a ＝14. 答案 D4.函数f (x )＝x 2－5x 的零点是________.解析由f (x )＝x 2－5x ＝0，解得x ＝0或x ＝5，所以函数f (x )的零点为0或5.答案 0或5类型一求函数的零点【例1】指出下列函数的零点：(1)f (x )＝x 2－3x ＋2的零点是________；(2)f (x )＝x 4－1的零点是________；(3)若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则a ＝________，b ＝________.解析 (1)令f (x )＝0，即(x －1)(x －2)＝0，所以零点为1和2.(2)由x 4－1＝0，得(x 2＋1)(x －1)(x ＋1)＝0，所以x ＝±1，所以函数f (x )＝x 4－1的零点是1和－1.(3)由于函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，所以是2和3是方程x 2－ax －b ＝0的两个根，所以2＋3＝－(－a )，2×3＝－b ，所以a ＝5，b ＝－6.答案 (1)1和2 (2)1和－1 (3)5；－6规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.【训练1】 (1)函数f (x )＝2x －1的零点是________；(2)若f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________.解析 (1)由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.(2)因为f (x )＝ax －b 的零点是3，所以f (3)＝0，即3a －b ＝0，也就是b ＝3a .所以g (x )＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx (x ＋1).所以方程g (x )＝0的两个根为－1和0，即函数g (x )的零点为－1和0.答案 (1)0 (2)－1和0类型二判断函数零点所在区间【例2】在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e －1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，∴零点在⎝⎛⎭⎫14，12上. 答案 C规律方法 (1)判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.(2)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点.【训练2】方程lg x ＋x ＝0的根所在的区间可能是( )A.(－∞，0)B.(0.1，1)C.(1，2)D.(2，4)解析由于lg x 有意义，所以x >0，令f (x )＝lg x ＋x ，显然f (x )在定义域内为增函数，又f (0.1)＝－0.9<0，f (1)＝1>0，故f (x )在区间(0.1，1)内有零点.答案 B类型三函数零点个数的判断(互动探究)【例3】 (1)判断函数f (x )＝x 2＋x －b 2的零点的个数.(2)判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数.[思路探究]探究点一如何求二次函数的零点个数？提示二次函数的零点个数的判断可借助判别式.探究点二如何求不可解函数的零点个数？提示对于不可解函数可转为图象交点的个数.解 (1)对于方程x 2＋x －b 2＝0，因为Δ＝12＋4b 2>0，所以方程有两个实数根，即函数f (x )有两个零点.(2)法一函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数.在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点.从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点.法二由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f (x )在(1，2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法判断函数零点个数的四种常用方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)结合单调性，利用f (a )·f (b )＜0，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.例如，函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )＝g (x )的实数根的个数，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象交点的个数.【迁移探究1】若例题第(1)题中，变为若函数f (x )＝ax 2－x －1有两个零点，求实数a 的取值范围.解 ∵f (x )＝ax 2－x －1有两个零点，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝1＋4a >0，得a >－14且a ≠0，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 【迁移探究2】若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围.解当a ＝0时，由f (x )＝－x －1＝0，得x ＝－1.当a >0时，此函数图象开口向上，又f (0)＝－1<0，结合二次函数图象知成立.当a <0时，此函数图象开口向下，又f (0)＝－1<0，从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋4a ＝0，－－12a<0，解得a ＝－14. 综上可知，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫14∪[0，＋∞). [课堂小结]1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.1.对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( )A.方程f (x )＝0一定有实数解B.方程f (x )＝0一定无实数解C.方程f (x )＝0一定有两实根D.方程f (x )＝0可能无实数解解析 ∵函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1，3)上有实数解.答案 D2.函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0，∴f (x )在(0，1)内有零点.答案 C3.若函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，那么函数g (x )＝－2ax 2－2x ＋1的零点是________. 解析由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.∴g (x )＝x 2－2x ＋1，令g (x )＝0得方程x 2－2x ＋1＝0的根为x ＝1，故g (x )的零点为1.答案 14.求函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数.解令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x. 设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点.基础过关1.函数f(x)＝lg x＋1的零点是()A.110 B.10 C.1010 D.10解析由lg x＋1＝0，得lg x＝－1，所以x＝110.答案A2.下列图象表示的函数中没有零点的是()解析由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无交点.答案A3.若函数f(x)满足在区间(1，2)内有唯一的零点，则()A.f(1)·f(2)>0B.f(1)·f(2)＝0C.f(1)·f(2)<0D.不确定解析如图，A、B、C三选项都有可能，故选D.答案D4.已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________.解析∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案05.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a取值的范围是________.解析由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.答案(－∞，1)6.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f (x )＝2x －1－3.解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.7.若函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，试求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点.解函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a ＝5，b ＝－6，所以g (x )＝－6x 2－5x －1，易求得函数g (x )的零点为－12，－13. 8.已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1).(1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的零点.解 (1)要使函数有意义：则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解之得：－3<x <1，所以函数的定义域为(－3，1). (2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)，由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，即x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1±3.因为－1±3∈(－3，1)，故f (x )的零点是－1±3.能力提升9.函数f (x )＝ln x ＋2x －3的零点所在的区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析因为f (1)＝－1<0，f (2)＝1＋ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，且函数f (x )是(0，＋∞)上的连续函数，所以函数f (x )的零点所在区间是(1，2).答案 B10.若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A.(a ，b )和(b ，c )内B.(－∞，a )和(a ，b )内C.(b ，c )和(c ，＋∞)内D.(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.答案A11.设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解析令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，∵f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0.∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2.答案212.对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根.其中正确的有________(填序号).解析设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确.答案①②③13.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4].(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？解(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图象如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5].(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.∴方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点.由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点.探究创新14.已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，求下列条件下，实数a 的取值范围.(1)零点均大于1；(2)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内.解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得⎩⎪⎨⎪⎧（－2a ）2－16≥0，f （1）＝5－2a >0，a >1.解得2≤a <52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝4>0，f （1）＝5－2a <0，f （6）＝40－12a <0，f （8）＝68－16a >0，解得103<a <174. 3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型目标定位 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及其三种函数模型增长速度的差异.3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题.自主预习1.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x 增大逐渐变陡随x 增大逐渐变缓随n 值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢.(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)在区间(0，＋∞)上，总存在一个x0，当x>x0时，log a x<x n.()(2)在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是y＝3x.()(3)对于任意的x>0，a x>log a x.()提示(1)对.根据图象可知结论正确.(2)对.在这几类函数中，指数函数的增长速度最快.(3)错.当0<a<1时，不一定成立.答案(1)√(2)√(3)×2.函数y1＝2x与y2＝x2，当x＞0时，图象的交点个数是()A.0B.1C.2D.3解析当x＝2，4时，y1＝y2，当x＞4时，y1＞y2，当2＜x＜4时，y1＜y2，当0＜x＜2时，y1＞y2，故交点个数是2，选C.答案C3.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A.y＝2xB.y＝10 000xC.y＝log3xD.y＝x3解析由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断.答案A4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年) 的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只.解析由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.答案300类型一几类函数模型的增长差异【例1】(1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：关于x 呈指数函数变化的变量是________. 解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快. (2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.答案 (1)D (2)y 2规律方法在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x 0，当x ＞x 0，就有log a x ＜x n ＜a x . 【训练1】下列函数中，随x 增大而增长速度最快的是( ) A.2 014ln x B.y ＝x 2 014 C.y ＝x2 014D.y ＝2 014·2x解析由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝xx·2x 的增长速度最快.故选D. 答案 D类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数.(2)结合函数图象，判断f(6)与g(6)，f(2 010)与g(2 010)的大小.解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)结合图象及运算可知f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，而x1＜6＜x2，2 010＞x2，从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6).当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 010)＞g(2 010).规律方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.【训练2】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图.(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).解(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x，(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x).函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.类型三函数模型的选择问题【例3】某汽车制造商在xx年初公告：随着金融危机的解除，公司计划xx年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份xx xx xx如果我们分别将xx ，xx ，xx ，xx 定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数型函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？解建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1. (2)构造指数型函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x －42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系. 规律方法解函数应用题的四个步骤第一步：阅读、理解题意，认真审题.读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化. 第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型)，求得结果. 第四步：再转译成具体问题作出解答.【训练3】某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每根0.5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一根铅笔；(2)按总价的92%付款，现要买软皮本4本，铅笔若干根(不少于4根)，若购买铅笔数为x 根，支付款数为y 元，试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？解由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为：y＝2×4＋0.5(x－4)＝0.5x＋6(x≥4，且x∈N).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为：y＝(0.5x＋2×4)×92%＝0.46x＋7.36(x≥4，且x∈N).令0.5x＋6＝0.46x＋7.36，解得x＝34，且当4≤x＜34时，0.5x＋6＜0.46x＋7.36，当x＞34时，0.5x＋6＞0.46x＋7.36，即当购买铅笔数少于34根(不少于4根)时，用优惠办法(1)合算；当购买铅笔数多于34根时，用优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34根时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算.[课堂小结]三种函数模型的选取(1)指数型函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数型函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，x＞0，a ＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A.y＝100xB.y＝log100xC.y＝x100D.y＝100x解析由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断.答案D2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.答案D3.已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________万件.解析由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·（0.5）1＋b ，1.5＝a ·（0.5）2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2，所以3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件). 答案 1.754.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半价优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按原价23优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.解设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋12(x ＋1)a ＝12(x ＋3)a ；乙旅行社收费：y ＝23(x ＋2)a .∵23(x ＋2)a －12(x ＋3)a ＝16(x －1)a ， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等. 当x ＞1时甲旅行社更优惠.基础过关1.下列函数中，增长速度最慢的是( ) A.y ＝6xB.y ＝log 6xC.y ＝x 6D.y ＝6x解析对数函数增长的越来越慢. 答案 B2.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x ，在区间(2，4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B. 答案 B3.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设xx 年的湖水量为m ，从xx 年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为( ) A.y ＝0.9x50 B.y ＝(1－0.1x50)m C.y ＝0.9x 50mD.y ＝(1－0.150x )m解析设每年湖水量为上一年的q %，则(q %)50＝0.9， ∴q %＝0.9150.∴x 年后的湖水量为y ＝0.9x50m . 答案 C4.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.解析设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)5.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由电脑记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法：①前5 min 温度增加的速度越来越快；②前 5min 温度增加的速度越来越慢；③5 min 以后温度保持匀速增加；④5 min 以后温度保持不变. 其中正确的说法是________.解析因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平，即前5 min 每当t 增加一个单位增量Δt 时，y 相应的增量Δy 越来越小，而5 min 后y 关于t 的增量保持为0，故②④正确. 答案 ②④6.有一种树木栽植五年后可成材，在栽植后五年内，年增长20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐. 乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.请计算后回答：十年后哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)解设最初栽植量为a ，甲方案在10年后木材量为y 1＝a (1＋20%)5(1＋10%)5＝a (1.1×1.2)5 乙方案在10年后木材量为y 2＝2a (1＋20%)5＝2a ×1.25 ∵y 1－y 2＝a (1.1×1.2)5－2a ×1.25<0.∴y 1<y 2，因此，十年后乙方案可以得到较多的木材.7.某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元.为了促销，现拟定买一个这种商品赠送一个小礼品的方案.实践表明：礼品的价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品的价值为(n ＋1)元时的销售量比礼品的价值为n 元(n ∈N *)时的销售量增加10%.请确定礼品的价值，使商店利润最大.解设未赠礼品时销售量为m 件，礼品价值为n 元(且n 小于20，因为若n 大于或等于20，那么该商品就不会赚钱)时利润为y n 元，则当礼品价值为n 元时，销售量为m (1＋10%)n ，故利润y n ＝(100－80－n )·m (1＋10%)n ＝m (20－n )·1.1n (0＜n ＜20，n ∈N *).设当礼品价值为(n ＋1)元时商店利润最大，则必有⎩⎪⎨⎪⎧y n ＋1≥y n ，y n ＋1≥y n ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧m （19－n ）·1.1n ＋1≥m （20－n ）·1.1n ，m （19－n ）·1.1n ＋1≥m （18－n ）·1.1n ＋2，且0＜n ＜20，n ∈N *，解得8≤n ≤9，即n ＝8或9.故当礼品价值为9元或10元时，获利最大.8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1.(1)求出V 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数. 解 (1)设V ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V ＝12log 3Q 100.(2)令V ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，所以，一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.能力提升9.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( ) A.y ＝0.2x B.y ＝110(x 2＋2x )C.y ＝2x10D.y ＝0.2＋log 16x解析将题中所给三个数据代入解析式知，函数y ＝2x10较为接近.答案 C10.如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线在右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为二次函数图象的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C. 答案 C11.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.解析由题意2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝12 000.∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm ＝e 6－1. 答案 e 6－112.某化工厂xx 年12月的产量是xx 年1月份产量的n 倍，则该化工厂这一年的月平均增长率是________.解析设月平均增长率为x ，第一个月的产量为a ，则有a (1＋x )11＝na ，所以1＋x ＝11n ，所以x ＝11n －1.答案11n －113.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品就有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)工厂每月生产6 000件产品时，又应如何选择呢？解设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水.(2)当x＝6 000时，y1＝114 000，y2＝108 000，∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水.探究创新14.某地区为响应上级号召，在xx年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域.(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；…经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*).(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0，x∈N*)的图象，如图所示.作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值.因为8<x0<9，则取x0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.3.2.2函数模型的应用实例目标定位 1.能利用给定的函数模型解决实际问题；能选择适当的函数模型进行拟合，实现问题的解决.2.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型在社会生活中的广泛应用.3.初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法.自主预习1.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.温馨提示：利用函数模型解决实际应用题时，要抓住关键：选择和建立恰当的函数模型. 2.应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题.温馨提示：用得到的函数进行拟合时，可能误差较大或不切合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切记盲目下结论.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.()。

高中数学人教A版必修1第三章3、1、1方程的根与函数的零点的近似值 - 教案

3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。

二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。

b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。

②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。

探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。

②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。

你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。

（精度为0.1）课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于（） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。

2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)课件新人教A版必修第一册

2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选 C.
答案：C
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元) 分别为 L1＝5.06x－0.15x2 和 L2＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为( )
7655tt－－34＋＋22
224，3≤t<4， 299，4≤t≤5.ห้องสมุดไป่ตู้
这个函数的图象如下图所示．
当时间 t 在[0,5]内变化时，对于任意的时刻 t 都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)， [4,5]内行驶的平均速率分别为 50 km/h，80 km/h,90 km/h，75 km/h， 65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．
方法归纳
1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数． 2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．
大值．
【解析】设每个提价 x 元(x≥0，x∈N)，利润为 y 元．每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元，进货总额＝8(100－10x)元，显然 100－10x>0，即 x<10，则 y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．当 x＝4 时，y 取得最大值，此时销售单价应为 14 元，最大利润为 360 元．答：当售价定为 14 元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为 360 元. 可根据实际问题建立二次函数模型解析式．

2019_2020学年高中数学第三章函数的应用章末复习课件新人教A版必修1

3学科思想培优
一、函数零点与方程的根根据函数零点的定义，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x) ＝0 的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)＝0 是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．
[典例 2] 我国加入 WTO 时，根据达成的协议，某产品的市场供应量 P 与市场价格 x 的关系近似满足 P(x)＝2(1－ kt)(x－b)2(其中 t 为关税的税率，且 t∈0，12，x 为市场价格，b， k 为正常数)，当 t＝18时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求 b，k 的值； (2)记市场需求量为 Q，它近似满足 Q(x)＝211－2x，当 P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于 9 元，求税率的最小值．
个零点，即方程 mx2－x－2＝0 有两个相等的实数根，所以 Δ＝1＋8m＝0，解得 m＝－18.
综上，可知当 m＝0 或 m＝－18时，函数 f(x)只有一个零点．
3．转化与化归思想转化与化归思想在本章中的重要应用就是将含指数型、对数型函数的零点问题转化为二次函数等熟悉的函数的零点问题，从而达到化难为易的目的．
第三章函数的应用
章末复习
1知识系统整合
2规律方法收藏
1．方程的根与函数的零点方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． 2．零点判断法如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a， b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．

2018-2019学年高中数学第三章函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函

第三章 3.1 3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )A.12，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12C ．－12，－12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－12 解析：由y ＝2x －1＝0，得x ＝12，故交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，零点是12. 答案：B2．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 解析：因为f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点．答案：B3．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ≥1 解析：由题意知，Δ＝4－4a ＜0，∴a ＞1.答案：B4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c ＜0，则函数零点的个数是________．解析：∵a ·c ＜0，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，则函数有两个零点．答案：25．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．解析：∵a ≠0，∴此函数为二次函数．设另一个零点为x 2，由根与系数的关系，得1＋x 2＝－2a a＝－2.∴x 2＝－3. 答案：－36．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．解：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2.则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－m ＋，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝2.所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)．要求其零点，令log 2(－2x ＋1)＝0，解得x＝0.所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.。

高中数学步步高必修1课件配套课时作业与单元检测3.1.1

第三章函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理解二次函数的图象与x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.1.函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴的交点和相应的ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的关系函数图象判别式 Δ>0 Δ＝0Δ<0 与x 轴交点个数 ____个 ____个 ____个方程的根 ____个 ____个无解2.对于函数y ＝f(x),我们把________________叫做函数y ＝f(x)的零点.3.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y ＝f(x)的图象______________⇔函数y ＝f(x)__________.4.函数零点的存在性定理如果函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象是________的一条曲线,并且有____________,那么,函数y ＝f(x)在区间(a,b)内________,即存在c ∈(a,b),使得__________,这个c 也就是方程f(x)＝0的根.一、选择题1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中,a·c<0,则函数的零点个数是( )A .0个B .1个C .2个D .无法确定2.若函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是( )A .若f(a)f(b)>0,不存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0B .若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0C .若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0D .若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝03.若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2,那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A .0,－12B .0,12C .0,2D .2,－124.函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A .(－2,－1)B .(－1,0)C .(0,1)D .(1,2)5.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( ) A .0 B .1C .2D .36.已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示,则实数b 的取值范围是( )A .(－∞,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,＋∞)二、填空题7.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,－2是它的一个零点,且在(0,＋∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.8.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________.9.根据表格中的数据,可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ,k ＋1)(k ∈N ),则k 的值为________.三、解答题10.证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解.11.关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.能力提升12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0),f (－2)＝－2,则方程f (x )＝x 的解的个数是( )A.1B.2C.3D.413.若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k 的取值范围.第三章函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1.2 1 0 2 12.使f(x)＝0的实数x3.有实数根与x 轴有交点有零点4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0作业设计1.C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中,∵ac<0,∴a ≠0,∴Δ＝b 2－4ac>0,即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根,则对应函数的零点个数为2个.]2.C [对于选项A ,可能存在根；对于选项B ,必存在但不一定唯一；选项D 显然不成立.]3.A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0,∴b ≠0,a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0,得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 4.C [∵f(x)＝e x ＋x －2,f(0)＝e 0－2＝－1<0,f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.]5.C [x ≤0时,令x 2＋2x －3＝0,解得x ＝－3.x>0时,f(x)＝ln x －2在(0,＋∞)上递增,f(1)＝－2<0,f(e 3)＝1>0,∵f(1)f(e 3)<0∴f(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点.总之,f(x)在R 上有2个零点.]6.A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ,则由f (0)＝0可得d ＝0,f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ,又由x ∈(0,1)时f (x )>0,可得a >0,∴b <0.]7.3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)＝0,又∵f (x )在(0,＋∞)上是增函数,由奇函数的对称性可知,f (x )在(－∞,0)上也单调递增,由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0,＋∞)上只有一个零点,综上f (x )在R 上共有3个零点,其和为－2＋0＋2＝0.8.2解析该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数.在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知,两个函数图象有2个交点,即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点.9.1解析设f (x )＝e 2－(x ＋2),由题意知f (－1)<0,f (0)<0,f (1)<0,f (2)>0,所以方程的一个实根在区间(1,2)内,即k ＝1.10.证明设f (x )＝x 4－4x －2,其图象是连续曲线.因为f (－1)＝3>0,f (0)＝－2<0,f (2)＝6>0.所以在(－1,0),(0,2)内都有实数解.从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.11.解令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧ m <0f (4)>0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0,解得－1913<m <0. 12.C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 当x ≤0时,方程为x 2＋4x ＋2＝x ,即x 2＋3x ＋2＝0,∴x ＝－1或x ＝－2；当x >0时,方程为x ＝2,∴方程f (x )＝x 有3个解.]13.解设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1

数的图象与x轴交点的横坐标。
思考(完成下表)：一元二次方程的根与相应二次函数的图象关系？
△ =b2－4ac
△＞0
△= 0
△＜ 0
ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
两个不相等实数根 x1, x2
y
y= ax2 +bx+c (a>0)的图象 x1 0 x2
x
两个相等实数根 x1= x2
y
0 x1 x
看图填空
在区间(a，b)上
y
___(有/无)零点；
a
f(a)·f(b) ___ 0
b x （“＜”或
“＞”）．
函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上
的图象是连续不断的一条曲线，
并且有f(a)·f(b)<0，
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，
即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也
解法2（估算）：估计f(x)在各
整数处的函数值的正负，可得如下表格：
x
1234
f(x) －－＋＋
解法3（函数交点法）
将函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数转化为函数g(x)=lnx与h(x)=-2x+6的
图象交点的个数。
y
6
h(x)=-2x+6
1
0
1 23
g(x)=lnx x
练一练：
没有实数根 y
0
x
函数的图象与点 x 轴的交
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
探究归纳
规律：
方程如果有实数根，那么方程
的实数根就是函数的图象与x轴交

2019-2020高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1

解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得 x＝－2.所以函数的零点为 x＝－2.
(2)令x－1xx－2－34x＋3＝0，解得 x＝1.所以函数的零点为 x ＝1.
(3)令 4x＋5＝0，则 4x＝－5<0，而 4x＞0，所以方程 4x＋5 ＝0 无实数根．所以函数不存在零点．
(4)令 log3(x＋1)＝0，解得 x＝0.所以函数的零点为 x＝0.
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点： (1)函数是连续的； (2)定理不可逆； (3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种： (1)用定理； (2)解方程； (3)用图象． 4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
2．根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝ 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点 ⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)令 x2＋2x＋4＝0，由于 Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程 x2＋2x＋4＝0 无实数根．所以函数 f(x)＝x2＋2x＋4 不存在零点． (3)令 2x－3＝0，解得 x＝log23. 所以函数 f(x)＝2x－3 的零点是 x＝log23. (4)令 1－log3x＝0，解得 x＝3，所以函数 f(x)＝1－log3x 的零点是 x＝3.

高中数学必修一《方程的根与函数的零点》优秀教学设计

在探究零点存在性定理时，学生连线方法众多，去伪存真的过程消耗了些时间，也使本节略显拖沓。
如果再上这节课，我会将第一个探究环节完全放手学生，因为通过前面两章知识的学习，学生已经掌握了大部分二次函数相关知识，对于“三个二次”关系有了较完整的认识，只需要老师给出零点的概念并加以推广就可以了。而第二个探究环节，问题设计上指向更明确些，要求学生连线成函数图象，再进行后续探究，这样整节课会更加精炼、流畅。
教学设计
基本信息
名称
3.1.1方程的根与函数的零点
所属教材目录
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时
教材分析
本节课主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课不仅为二分法的学习做准备，也为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．
难点
在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，准确理解零点存在性定理．
教学策略与设计说明
为使学生体验发现的快乐，本节采用：创设情境——自主探究——辨析研讨——反思评价的四环节教学法。由于学生数形结合与抽象思维能力还有欠缺，因此本节先从学生较为熟悉的二次函数入手，在充分体会了二次函数零点相关知识的发现后，再推向一般，形成零点概念，这样由特殊到一般、由具体到抽象的体验过程，符合高一学生的认知特点。而对于零点存在性定理的探究，由学生所画不同函数图象，既能激发学生的学习热情，也能帮助学生建立一种发现新知的思想。
创设情境，产生疑问，引起兴趣，引出课题。比赛模式引入，充分调动学生积极性和主动性。

2021版高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件人教A版必修1.ppt

结合下面的表格，完成填空
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
图象
与x轴交点的坐标
对应方程的根
_(_-_1_，__0_)_，__(_3_，__0_)_ _-_1_，__3_
_(_1_，__0_)_ _1_
y=x2-2x+3
_无__ _无__
2.结合问题1，你认为方程f(x)=0的根与对应函数y=f(x)的图象有什么关系？提示：方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等.
结论： 1.函数零点的定义对于函数y=f(x)，使f(x)=0的_实__数__x叫做函数y=f(x)的零点. 2.函数零点的意义方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与_x_轴__有交点⇔函数y=f(x)有_零__点__.
【对点训练】
1.设函数f(x)=21-x-4，g(x)=1-log2(x+3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为 ( )
(2)f(x)在区间(2，4)上有零点吗？_______； f(2)=_______，f(4)=_______，f(2)f(4)_______0(填“<”或“>”). 提示：有 -3 5 <
2.观察函数y=f(x)的图象.
(1)在区间(a，b)上_______(填“有”或“无”)零点； f(a)·f(b)_______0(填“<”或“>”). (2)在区间(b，c)上_______(填“有”或“无”)零点； f(b)·f(c)_______0(填“<”或“>”). (3)在区间(c，d)上_______(填“有”或“无”)零点； f(c)·f(d)_______0(填“<”或“>”). 提示：(1)有 < (2)有 < (3)有 <

2019秋高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1

• 『规律方法』 1.正确理解函数的零点：
• (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
• (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔ 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
• 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有_2____个零点．
• [解析] 令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac，∵a·c<0，
• ∴b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a·c<0)有2个零点．
5．求下列函数的零点． (1)f(x)＝x2－5x－6； (2)f(x)＝x3－7x＋6； (3)f(x)＝(12)x－4； (4)f(x)＝lnx－1.
• 〔跟踪练习3〕 • 判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数．
[解析] 解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝lnx，y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．
解法二：因为f(3)＝ln3>0，f(2)＝－1＋ln2＝ln2e <0，所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．
数学
必修① ·人教A版
第三章
函数的应用
在教科书第三章的章头图中，我们看到一大群喝水、嬉戏的兔子，但正是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直到20世纪50年代，科学家采用载液瘤毒杀死了90%的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019-2020学年高中数学第三章函数的应用3.1.1 方程的根与函数的零点（2）预习
案新人教A版必修1
【教学目标】
1.知识与技能
会运用连续函数零点存在性定理判断零点是否存在或者求出函数零点的个数.并求出函数的零点;
2.过程与方法
结合函数的图像,能求出函数的零点个数,以及零点所在区间;,
3.情感、态度、价值观
进一步培养学生数形结合思想,化归与转化的思想,函数与方程的思想
【预习任务】
1.理解函数零点存在定理
①默写零点存在性定理;
②写出二次函数f(x)=x2-2x+1的零点所在的区间:这个区间端点的函数值的符号分别是什么?
③如果区间端点的函数值同号且函数图像连续不断，函数在这个区间一定有零点吗？举例说明:
④如果区间端点的函数值异号，函数在这个区间一定有零点吗？
2.探究：函数f(x)=x2-2ax+4的两个零点均大于1，求实数a的取值范围
【自主检测】
1.求下列函数的零点：
①f(x)=4x-3 ②f(x)= -x2-2x+3 ③f(x)=x4-1
2.函数f(x)=x2-2ax+4的一个零点均大于1，另一个零点小于1，求实数a的取值范围
【组内互检】
1.零点存在性定理;
2.讨论求函数零点的步骤。