初二数学(2)

1.如图1，在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F，
（1）求证：BF⊥ED；
（2）将图1中直线AP绕点A顺时针旋转，使∠PAB=60°（如图2），若A B=2，求△BED的面积．
（1）证明：连接AE，如图1所示：
∵点B关于直线AP的对称点为E，
∴EF=BF，AE=AB，
∴△AEF和△ABF关于直线AP对称，
∴∠3=∠4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AE=AD，∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠5=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥ED；
（2）连接AE，过E作EG⊥AD，交DA的延长线于G，如图2所示：
∵∠PAB=60°，AB=2，
∴PA=
1
2
AB=1，PB=
3
，
∴BE=2PB=2
3
，
∴△ABE的面积=
1
2
×2
3
×1=
3
，
∵∠EAP=∠PAB=60°，
∴∠EAG=60°+60°-90°=30°，
∴EG=
1
2
AE=
1
2
AB=1，
∴△ADE的面积=
1
2
×2×1═1，
又∵△ABD的面积=
1
2
×2×2=2，
∴△BED的面积=△ADE的面积+△ABE的面积+△ABD的面积=1+
3
+2=3+
3
2.等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E。

（1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；
（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由。

（1）C(－1，－1)；（2）见解析；（3）BD=2(OA +OD)
【解析】
试题分析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F，则△ACF≌△ABO(AAS)，即得C F=OA=1，AF=OB=2，
从而求得结果；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD(ASA)，即得CG= AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G，从而得到结论；
(3)在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH, ∠ADH=∠AH D，可得∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，即得∠AEC=∠BHA，从而证得△A CE≌△BAH(AAS)，即可得到AE=BH=2OA，从而得到结果.
（1）如图，过点C作CF⊥y轴于点F
则△ACF≌△ABO(AAS)，
∴CF=OA=1，AF=OB=2
∴OF=1
∴C(－1，－1)；
（2）如图，过点C作CG⊥AC交y轴于点G
则△ACG≌△ABD(ASA)
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G
∵∠DCE=∠GCE=45°
∴△DCE≌△GCE(SAS)
∴∠CDE=∠G
∴∠ADB=∠CDE；
(3) 如图，在OB上截取OH=OD，连接AH
由对称性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO
∴∠AEC=∠BHA
又∵AB=AC ∠CAE=∠ABH
∴△ACE≌△BAH(AAS)
3．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），点E是射线BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接DE，以DE为边作等边△DEF，连接CF.
（1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，过点D作DG∥AB，DG交BC于点G，求证：CF=EG；
（2）如图2，当DE的反向延长线与AB的反向延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，求证：CD=CE+CF；
（3）如图3，当DE的反向延长线与线段AB相交，且点C，F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.
解析：
（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
∵DG∥AB，
∴∠DGC＝∠B．
∴∠DGC＝∠DCG＝60°．
∴△DGC是等边三角形．
∴DC＝DG，∠CDG＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°
∴∠EDG＝60°－∠GDF，∠FDC＝60°－∠GDF，∴∠EDG＝∠FDC，
∴△EDG≌△FDC．
∴FC＝EG．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
如图2，过点D作DG∥AB，DG交BC于点G．
∴∠DGC＝∠B＝60°．
∴∠DGC＝∠DCG＝60°
∴△DGC是等边三角形．
∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDG＝60°－∠CDE，∠FDC＝60°－∠CDE，∴∠EDG＝∠FDC．
∴△EDG≌△FDC．
∴EG＝FC．
∵CG＝CE＋EG，
∴CG＝CE＋FC．
∴CD＝CE＋FC．
（3）解：如图3，猜想DC、EC、FC之间的等量关系是FC＝DC＋EC．
证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
过点D作DG∥AB，DG交BC于点G．
∴∠DGC＝∠B．
∴∠DGC＝∠DCG＝60°
∴△DGC是等边三角形．
∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°．
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDG＝60°＋∠CDE，∠FDC＝60°＋∠CDE，
∴∠EDG＝∠FDC．
∴△EDG≌△FDC．
∴EG＝FC．
∵EG＝EC＋CG，
∴FC＝EC＋DC．
点睛：本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键．
4.如果记y=x2/1+x2,并有f(1)表示当X=1是,y 的值,即f(1)=1方/1+1方=1/2；f(1/2)表示当x =1/2时，y的值……
如果记y=x2/1+x2,并有f(1)表示当X=1是,y的值,即f(1)=1方/1+1方=1/2；f(1/2)表示当x=1/2时，y的值，即f(1/2)=(1/2)2/1+(1/2)2=1/5……那么，
f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+…+f(n)+f(1/n)的结果是什么（结果用含n的式子表示，n为正整数）
y=f(x)=x^2/(1+x^2)
f(1/x)=(1/x^2)/(1+1/x^2)=1/(x^2+1)
故有f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(x^2+1)=(x^2+1)/(x^2+1)=1
那么有:f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+…+f(n)+f(1/n)=f(1)+[f(2)+f(1/2)] +[f(3)+f(1/3)]+...+[f(n)+f(1/n)]
=1/2+[1+1+...+n( 共有n-1个1)]
=1/2+(n-1)
=n-1/2
5.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E 与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（3分）
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），
求证：△ACN为等腰直角三角形；（3分）
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？
若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．（4分）
（1）证明：如图1
， ∵EN ∥AD ，
∴∠MAD=∠MNE ，∠ADM=∠NEM ．
∵点M 为DE 的中点， ∴DM=EM ． 在△ADM 和△NEM 中，
∴
．
∴△ADM ≌△NEM ． ∴AM=MN ． ∴M 为AN 的中点．
（2）证明：如图2， ∵△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，
∴AB=AD ，CB=CE ，∠CBE=∠CEB=45°． ∵AD ∥NE ，
∴∠DAE+∠NEA=180°． ∵∠DAE=90°， ∴∠NEA=90°．
∴∠NEC=135°．
∵A ，B ，E 三点在同一直线上， ∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°． ∴∠ABC=∠NEC ． ∵△ADM ≌△NEM （已证）， ∴AD=NE ． ∵AD=AB ， ∴AB=NE ． 在△ABC 和△NEC 中，
∴△ABC ≌△NEC ． ∴AC=NC ，∠ACB=∠NCE ． ∴∠ACN=∠BCE=90°． ∴△ACN 为等腰直角三角形．
（3）△ACN 仍为等腰直角三角形．
证明：如图3，此时A 、B 、N 三点在同一条直线上．
∵AD ∥EN ，∠DAB=90°， ∴∠ENA=∠DAN=90°． ∵∠BCE=90°，
∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．
∵A 、B 、N 三点在同一条直线上， ∴∠ABC+∠CBN=180°． ∴∠ABC=∠NEC ． ∵△ADM ≌△NEM （已证）， ∴AD=NE ． ∵AD=AB ， ∴AB=NE ． 在△ABC 和△NEC 中，
∴△ABC ≌△NEC ．
∴AC=NC ，∠ACB=∠NCE ． ∴∠ACN=∠BCE=90°． ∴△ACN 为等腰直角三角形．
6
已知：如下图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H 是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G。

（1）求证：BF=AC；
（2）求证：CE=BF；
（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。

题型：解答题难度：中档来源：四川省期末题
答案（找作业答案--->>上魔方格）
解：（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，
且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA，
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC，
∴BF=AC；
（2）在Rt△BEA和Rt△BEC中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC，
∴CE=AE=AC，
又由（1），知BF=AC，
∴CE=AC=BF；
（3）2CE2=BG2
证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，
则CD=BD，H为BC中点，
则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）
连接CG，
则BG=CG，∠GCB=∠GBC=22.5°，∠EGC=45°，
又∵BE垂直AC，
故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE，
∴CE2+GE2=CG2=BG2；
即2CE2=BG2，BG=CE。

7如图△ABC与△CDE都是等边三角形,且∠EBD=65°,则∠AEB的度数是( )
A .115°
B .120°
C .125°
D .130°
【考点】
【答案】
【解析】
8.四边形ABCD，AB=AD，B关于AC对称点B1在CD上，∠BAD=a,求∠ACB
8如图1，图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，点D时AB边长的中点，点E时AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接CE，过点B 作BF⊥CE于F，交射线CD于点G．
（1）当点E在点D的左侧运动时，（图1），求证：△ACE≌△CBG；
（2）当点E在点D的右侧运动时（图2），（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）当点E运动到何处时，BG=5，试求出此时AE的长．
（1）在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG=
1
2
∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
∠ACE=∠CBG
AC=BC
∠A=∠BCG
，
∴△ACE≌△CBG；
（2）结论仍然成立，即△ACE≌△CBG．理由如下：在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG=
1
2
∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
∴△ACE≌△CBG；
（3）在Rt△ABC中，
∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD=
1
2
AB=4，
在Rt△BDG中，DG=
BG2-BD2
=3．
点E在运动的过程中，分两种情况讨论：
①当点E在点D的左侧运动时，CG=CD-DG=1，
∵△ACE≌△CBG，
∴AE=CG=1；
②当点E在点D的右侧运动时，CG=CD+DG=7，
∵△ACE≌△CBG，
∴AE=CG=7．
9.如图，平面直角坐标系中，A（2，0），△OAC为等边三角形．
（1）如图1，若D（0，4），△ADE为等边三角形，∠DAC=10°，求∠AEC的度数．
（2）如图2，若P为x轴正半轴上一点，且P在A的右侧，△PCM为等边三角形，MA的延长线交y轴于N，求AM-AP的值．
（3）如图3，若P为x轴正半轴上一点，且P在A的右侧，△PAM为等边三角
形，OM与PC交于F，求证：AF+MF=PF．
（1）如图1，∵△AOC和△DAE是等边三角形，∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°
∴∠CAE=∠DAO=60○-∠CAD，
在△CAE和△OAD中，
AC=AO
∠CAE=∠OAD
AE=AD
，
∴△CAE≌△OAD（SAS），
∴CE=OD=4，∠ACE=∠AOD=90°，
∵∠DAC=10°，∠DAE=60°，
∴∠CAE=60°+10°=70°，
∴∠AEC=180°-90°-70°=20°；
（2）如图2，∵△AOC和△CPM是等边三角形，∴OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，
∴∠OCP=∠ACM，
在△OCP和△ACM中，
CM=CP
∠OCP=∠ACM
OC=AC
，
∴△OCP≌△ACM（SAS），
∴AM=OP，
∴AM-OP=OP-AP=OA，
∵A（2，0），
∴OA=2，
即AM-AP=2；
（3）证明：如图3，将△PAF顺时针旋转60°得到△EAM，
则△PAF≌△MAE，∠FAE=60°，
∴PF=EM，AF=AE，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF=AF，
∴AF+MF=EF+MF=EM=PF，即AF+MF=PF．
10.如图1，点A在x轴上，点D在y轴上，以OA、AD为边分别作等边△OA C和等边△ADE，若D（0，4），A（2，0）．
（1）若∠DAC=10°，求CE的长和∠AEC的度数．
（2）如图2，若点P为x轴正半轴上一动点，点P在点A的右边，连PC，以PC为边在第一象限作等边△PCM，延长MA交y轴于N，当点P运动时，
①∠ANO的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．
②AM-AP的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．
（1）∵△AOC和△DAE是等边三角形，
∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°
∴∠CAE=∠DAO=60○-∠CAD，
在△CAE和△OAD中
AC＝AO
∠CAE＝∠OAD
AE＝AD
∴△CAE≌△OAD（SAS），
∴CE=OD=4，∠ACE=∠AOD=90°，
∵∠DAC=10°，∠DAE=60°，
∴∠CAE=60°-10°=50°，
∴∠AEC=180°-90°-50°=40°．
（2）①∠ANO的值不变化，其度数为30°，
理由是：∵△AOC和△CPM是等边三角形，∴OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，∴∠OCP=∠ACM，
在△OCP和△ACM中
OC＝AC
∠OCP＝∠ACM
CP＝CM
∴△OCP≌△ACM（SAS），
∴∠COA=∠CAM=60°，
∴∠MAP=180°-60°-60°=60°，
∴∠OAN=∠MAP=60°，
∵∠AON=90°，
∴∠ANO=90°-60°=30°．
②不变，
理由是：∵△OCP≌△ACM，
∴AM=OP，
∴AM-OP=OP-AP=OA，
∵A（2，0），
∴OA=2，
即AM-AP=2，
∴AM-AP的值不发生变化，永远是2．
11.
如图，已知∠AOB=15°，点M在边OB上，且O M=4，点N和点P分别是OM和OA上的一个动点，则PM+PN的最小值为_ _____．
作M关于OA的对称点Q，过Q作QN⊥OB于N，交OA于P，则此时PM+ PN的值最小，连接OQ，
则∠QOA=∠AOB=15°，OQ=OM=4，PM=PQ，∠QNO=90°，
∵QN=
1
2
OQ=
1
2
×4=2，
∴PM+PN=PQ+PN=QN=2，
故答案为：2．
12.已知点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.
（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）设∠AOB=α，∠BOC=β.
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.
解：（1）①90°.
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是. 如图1，连接OD.
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°.
∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120°, AD= OB.
∴△OCD是等边三角形.
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°.
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°.
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°.
∴∠DAO=90°.
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴.
∴.
（2）①如图2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值.
作图如图2的实线部分.
如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A’O’C，连接OO’.
∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°.∴O’C= OC, O’A’ = OA，A’C = BC,
∠A’O’C =∠AOC.
∴△OC O’是等边三角形.
∴OC= O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O=60°.
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC =∠A’O’C=120°.
∴∠BOO’=∠OO’A’=180°.
∴四点B，O，O’，A’共线.
∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’时值最小.
②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A’B=.。