高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修2-1(2021年整理)

（浙江专版）2018-2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线及其标准方程学案新人教A版选修2-1
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2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。

2。

掌握双曲线的标准方程及其求法。

3。

会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
知识点一双曲线的定义
思考若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
答案如图，曲线上的点满足条件:｜MF1|－｜MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置,使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
梳理(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距;
(2）关于“小于｜F1F2｜”：①若将“小于|F1F2|"改为“等于｜F1F2｜",其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点）；②若将“小于|F1F2｜”改为“大于｜F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
（3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
（4）若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点二双曲线的标准方程
思考双曲线中a,b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c〉a，c〉b，a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2,其中a〉b>0，a>c，c与b大小不确定．
梳理(1)双曲线两种形式的标准方程
焦点所在的坐标
轴
x轴y轴
标准方程错误!－错误!＝1
(a>0，b〉0）
错误!－错误!＝1
(a〉0,b〉0)
图形
焦点坐标
F
1
（－c，0），
F
2
(c,0)
F
1
(0,－c），
F
2
（0，c)
a,b，c的关系式a2＋b2＝c2
（2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走"，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
（1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F1（0,4)，F2(0，－4）的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)
（3）平面内到点F1（0，4）,F2（0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×）
类型一双曲线定义的应用
例1 (1)若双曲线E：错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E上，且｜PF1|＝3,则|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
考点双曲线的定义
题点双曲线定义的应用
答案B
解析由双曲线的定义，得|｜PF1|－|PF2｜｜＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得｜PF2|＝9(负值舍去），故选B.
（2）设F 1,F 2分别是双曲线x 2
－错误!＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3｜PF 1｜＝
4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于（ ) A ．4 2 B ．83 C ．24
D ．48
考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C
解析 由题意，得错误! 解得错误!
又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形, 则12
PF F S
＝1
2
×｜PF 1|×｜PF 2|＝24. 反思与感悟 焦点F 1,F 2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2
项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2
项的系数为正,那么焦点在y 轴上．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2
＋By 2
＝1(AB ＜0)．
跟踪训练1 在△ABC 中，已知|AB ｜＝42，A （－2错误!,0），B (2错误!，0）,且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝错误!sin C ,求顶点C 的轨迹方程． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用
解 由sin B －sin A ＝错误!sin C 及正弦定理， 可得b －a ＝c
2
，
从而有｜CA |－｜CB ｜＝错误!|AB ｜＝2错误!＜｜AB |， 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝错误!，c ＝2错误!, ∴b 2
＝c 2
－a 2
＝6，
∴顶点C 的轨迹方程为错误!－错误!＝1(x ＞错误!)． 类型二 求双曲线的标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦距为26，且经过点M (0,12)；
（2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4错误!），错误!。

考点双曲线的标准方程的求法
题点待定系数法求双曲线的标准方程
解（1）∵双曲线经过点M（0，12），∴M（0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12。

又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25。

∴双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），
则错误!解得错误!
∴双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1.
反思与感悟待定系数法求方程的步骤
（1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
（2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB〈0）．
②与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）共焦点的双曲线的标准方程可设为错误!－错误!＝1（－b2<k<a2）．
(3）计算:利用题中条件列出方程组，求出相关值．
（4）结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练2 （1）求以椭圆错误!＋错误!＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5）的双曲线的标准方程；
(2）已知双曲线过P错误!,Q错误!两点，求双曲线的标准方程．
考点双曲线的标准方程的求法
题点待定系数法求双曲线的标准方程
解(1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3）．
设双曲线方程为错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0），
将点A（4，－5）代入双曲线方程，得错误!－错误!＝1.
又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1.
（2）若焦点在x轴上，
设双曲线的方程为错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0），
所以错误!解得错误!(舍去）．
若焦点在y轴上，
设双曲线的方程为错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)，将P，Q两点坐标代入可得错误!解得错误!
所以双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

综上，双曲线的标准方程为y2
9
－错误!＝1.
类型三双曲线定义及标准方程的应用
例3 在相距2000m的两个哨所A，B,听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s,试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
考点双曲线的标准方程的求法
题点定义法求双曲线的标准方程
解设爆炸点为P，由已知可得｜PA|－｜PB|＝330×4＝1 320＞0.
因为｜AB｜＝2 000＞1 320，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，
使A，B两点在x轴上，以线段AB的中点为坐标原点．
由2a＝1 320,2c＝2 000,得a＝660，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.
因此，点P所在曲线的方程是错误!－错误!＝1（x≥660)．
反思与感悟可以结合双曲线的性质,建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程．
跟踪训练3 已知椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有交点P，且有公共的焦点，且∠F1PF2＝2α，求证：tanα＝错误!.
考点双曲线的标准方程
题点由双曲线方程求参数
证明如图所示，设|PF1｜＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
则在△PF1F2中，
对于双曲线有｜r2－r1｜＝2m，
∴cos2α＝错误!
＝错误!＝错误!
＝－错误!＋1,
∴1－cos2α＝错误!，
∴sinα＝错误!。

则在△PF1F2中,对于椭圆有r1＋r2＝2a，
cos2α＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!－1，
∴1＋cos2α＝2b2
r
1
r
2
，
∴cosα＝错误!，
∴tanα＝错误!。

1．若方程错误!－错误!＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是（）
A．－1〈m〈3 B．m〉－1
C．m〉3 D．m〈－1
考点双曲线的标准方程
题点由双曲线方程求参数
答案B
解析依题意应有m＋1〉0，即m>－1。

2．已知F1（－8，3）,F2(2，3）,动点P满足｜PF1｜－｜PF2|＝10，则P点的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支
C．直线D．一条射线
考点双曲线的定义
题点双曲线定义的应用
答案D
解析F1，F2是定点，且|F1F2｜＝10，所以满足条件|PF1｜－｜PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3．(2018届浙江东阳中学期中）△ABC的顶点为A（－5,0），B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是（)
A.错误!－错误!＝1
B.错误!－错误!＝1
C.错误!－错误!＝1(x〉3）D。

错误!－错误!＝1(x〉4)
答案C
解析由条件可得，圆与x轴的切点为T（3，0),由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA｜－|TB｜＝8－2＝6〈10＝|AB｜，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．
由2a＝6，2c＝10，
得a＝3，b＝4，
所求的双曲线方程为错误!－错误!＝1.考虑到点C不在直线AB上,故选C.
4．经过点P（－3，2错误!)和Q(－6错误!，－7），且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是___________．
考点双曲线标准方程的求法
题点待定系数法求双曲线标准方程
答案错误!－错误!＝1
解析设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则错误!解得错误!
故双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

5．椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则a的值为________．
考点双曲线的标准方程
题点由双曲线方程求参数
答案1
解析由题意知｛a＞0，0＜a2＜4，，4－a2＝a＋2解得a＝1.
1．双曲线定义的理解
(1）定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，若｜MF1｜－｜MF2|＝2a，则点M在右支上;
若｜MF2｜－｜MF1｜＝2a，则点M在左支上．
（2)双曲线定义的双向运用：
①若｜|MF1|－|MF2|｜＝2a(0<2a<|F1F2|），则动点M的轨迹为双曲线；
②若动点M在双曲线上，则||MF1｜－｜MF2｜|＝2a.
2．求双曲线标准方程的步骤
(1）定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式．
(2）定量：是指确定a2,b2的数值，常由条件列方程组求解．
特别提醒：若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式,为简单起见，常标明条件mn〈0。

一、选择题
1．双曲线2x2－y2＝8的焦距是（)
A．2B．2错误!C．4错误!D．4错误!
考点双曲线的标准方程
题点由双曲线方程求参数
答案C
解析因为双曲线方程可化为错误!－错误!＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2错误!，所以2c＝4错误!.
2．已知双曲线错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0)，F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB｜＝m,则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
考点双曲线的定义
题点双曲线定义的应用
答案C
解析不妨设|AF2｜＞|AF1｜，由双曲线的定义，
知|AF2|－|AF1｜＝2a，|BF2|－｜BF1｜＝2a,
所以｜AF2｜＋|BF2|＝(|AF1｜＋|BF1｜）＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2｜＋|BF2|＋｜AB｜＝4a＋2m.故选C。

3．若k∈R，则“k〉5”是“方程错误!－错误!＝1表示双曲线”的( ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点双曲线的标准方程
题点由双曲线方程求参数
答案A
解析当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k〉5或k〈2。

故选A。

4．已知双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点是(0，2）,则实数m的值是（)
A．1B．－1C．－错误!D。

错误!
考点双曲线的标准方程
题点由双曲线方程求参数
答案B
解析由焦点坐标,知焦点在y轴上，∴m〈0，
∴双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1,
∴－m－3m＝4，∴m＝－1。

5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－错误!,0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为（0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.错误!－y2＝1 B。

x2－错误!＝1
C.错误!－错误!＝1
D.错误!－错误!＝1
考点双曲线的标准方程的求法
题点待定系数法求双曲线的标准方程
答案B
解析由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为错误!－错误!＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0，2），
∴点P的坐标为（错误!,4），将其代入双曲线的方程，
得错误!－错误!＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4,∴双曲线的方程为x2－错误!＝1.
6．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1|＝2|PF2|,则cos∠F1PF2等于（)
A.错误!
B.错误!C。

错误!D.错误!
考点双曲线的定义
题点双曲线定义的应用
答案C
解析由双曲线定义知，|PF1|－|PF2｜＝2错误!,
又｜PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2错误!，｜PF1｜＝4错误!,|F1F2｜＝2c＝2错误!＝4.
∴cos∠F1PF2＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!。

7．已知双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2)，则△PFM的周长的最小值为( ）
A．2＋4 2 B．4＋2错误!
C．3错误!D．2错误!＋3
考点双曲线的定义
题点双曲线定义的应用
答案A
解析依题意可知，c＝2,a＝1，
所以|MF｜＝2错误!,|PM|＋|PF｜＝｜PM｜＋|PF1|＋2a，
F
为左焦点，当M，P，F1三点共线时，
1
｜PM｜＋｜PF1｜最小，最小值为｜MF1|，|MF1|＝2错误!，
故周长的最小值为2错误!＋2＋2错误!＝2＋4错误!.
二、填空题
8．已知F1，F2是双曲线x2
16
－错误!＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°,那么|PF2|＋｜QF2｜－|PQ｜的值为________．
考点双曲线的定义
题点双曲线定义的应用
答案16
解析在双曲线错误!－错误!＝1中，2a＝8，
由双曲线定义,得｜PF2｜－|PF1|＝8，｜QF2｜－｜QF1｜＝8，
所以|PF2|＋|QF2|－|PQ｜＝(｜PF2｜－|PF1｜)＋（|QF2|－｜QF1｜)＝16.
9．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________．
考点双曲线的标准方程
题点由双曲线方程求参数
答案（2,＋∞）
解析由曲线C：mx2＋(2－m）y2＝1是焦点在x轴上的双曲线,可得错误!－错误!＝1，
即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2。

10．已知双曲线的两个焦点F1(－错误!,0)，F2（错误!,0)，P是双曲线上一点，且错误!·错误!＝0，｜PF1｜·｜PF2｜＝2，则双曲线的标准方程为________________．
考点双曲线的标准方程的求法
题点待定系数法求双曲线的标准方程
答案错误!－y2＝1
解析由题意可设双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)．
由错误!·错误!＝0,得PF1⊥PF2.
根据勾股定理,得｜PF1|2＋|PF2｜2＝(2c)2，
即|PF1|2＋｜PF2｜2＝20。

根据双曲线定义有|PF1|－｜PF2｜＝±2a。

两边平方并代入|PF1｜·|PF2｜＝2，
得20－2×2＝4a2,解得a2＝4，
从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为错误!－y2＝1.
11．过双曲线
x2
144
－错误!＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点
的距离分别为________．
考点双曲线的定义
题点双曲线定义的应用
答案错误!，错误!
解析因为双曲线方程为错误!－错误!＝1，
所以c＝错误!＝13。

设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，
则F1（－13,0)，F2(13，0)．
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y）(y＞0)，则错误!＝错误!－1＝错误!，所以y＝错误!，即｜AF1｜＝错误!。

又|AF2｜－｜AF1|＝2a＝24，
所以｜AF2|＝24＋25
12
＝
313
12
.
即所求距离分别为错误!，错误!。

三、解答题
12．已知与双曲线错误!－错误!＝1共焦点的双曲线过点P错误!，求该双曲线的标准方程．考点双曲线标准方程的求法
题点待定系数法求双曲线的标准方程
解已知双曲线错误!－错误!＝1，
由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25,∴c＝5。

设所求双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为错误!－错误!＝1.
∵点P错误!在所求双曲线上，
∴错误!－错误!＝1，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝错误!。

当a2＝错误!时，b2＝25－a2＝25－错误!＝－错误!＜0，
不合题意，舍去,∴a2＝1，b2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x2－y2
24
＝1。

13．已知双曲线x2
16
－错误!＝1的左、右焦点分别为F1,F2。

(1）若点M在双曲线上，且错误!·错误!＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3错误!,2)，求双曲线C的方程．
考点双曲线标准方程的求法
题点待定系数法求双曲线的标准方程
解（1）如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h,
错误!·错误!＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2｜＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c）2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴错误!mn＝4＝错误!|F1F2|·h，
∴h＝错误!。

(2)设所求双曲线C的方程为
x2
16－λ
－错误!＝1（－4〈λ〈16），
由于双曲线C过点(32，2)，
∴错误!－错误!＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去），
∴所求双曲线C的方程为错误!－错误!＝1。

四、探究与拓展
14．若双曲线错误!－y2＝1（n＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1｜＋|PF2|＝2错误!,则△PF1F2的面积为( )
A．1B。

错误!C．2D．4
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 A
解析 设点P 在双曲线的右支上，
则｜PF 1｜－｜PF 2|＝2错误!，
已知|PF 1｜＋|PF 2|＝2错误!，
解得|PF 1｜＝错误!＋错误!，|PF 2|＝错误!－错误!，
|PF 1｜·｜PF 2｜＝2.
又｜F 1F 2|＝2错误!，
则｜PF 1|2＋｜PF 2｜2＝|F 1F 2｜2
，
所以△PF 1F 2为直角三角形,
且∠F 1PF 2＝90°，
于是12PF F S ＝错误!｜PF 1｜·|PF 2|＝错误!×2＝1。

故选A 。

15．已知△OFQ 的面积为2错误!,且错误!·错误!＝m ，其中O 为坐标原点．
(1)设错误!＜m ＜4错误!,求错误!与错误!的夹角θ的正切值的取值范围；
(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示，｜错误!|＝c ，m ＝错误!c 2，当|错误!｜取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
考点 双曲线标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 (1）因为错误!
所以tan θ＝错误!. 又6＜m ＜4错误!,
所以1＜tan θ＜4,
即tan θ的取值范围为（1，4）．
（2)设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1（a ＞0，b ＞0），
Q （x 1，y 1），则FQ →＝（x 1－c ，y 1），
所以S △OFQ ＝错误!|错误!|·|y 1|＝2错误!，则y 1＝±错误!.
又错误!·错误!＝m ，即(c ，0）·（x 1－c ，y 1)＝错误!c 2，
解得x1＝错误!c，
所以|错误!｜＝错误!＝错误!≥错误!＝2错误!，
当且仅当c＝4时,取等号，|OQ→｜最小，
这时Q的坐标为(错误!，错误!)或(错误!，－错误!)．因为错误!所以错误!
于是所求双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1.。