2022年最新强化训练京改版八年级数学下册第十五章四边形综合训练试卷(含答案详解)
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京改版八年级数学下册第十五章四边形综合训练
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.B.C.D.
2、下列四个图形中,为中心对称图形的是()
A.B.
C.D.
3、如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,将其折叠,使AB边落在对角线AC上,得到折痕AE,则点E 到点B的距离为()
A B C D 4、如图,四边形ABCD 为平行四边形,延长AD 到E ,使DE =AD ,连接EB ,EC ,DB ,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )
A .A
B =BE B .DE ⊥D
C C .∠ADB =90°
D .C
E ⊥DE
5、下列图标中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A .
B .
C .
D .
6、下列说法中,正确的是( )
A .若a b =,0c ≠,则a c b c +=-
B .90′=1.5°
C .过六边形的每一个顶点有4条对角线
D .疫情防控期间,要掌握进入校园人员的体温是否正常,可采用抽样调查
7、下列图形中不是中心对称图形的是( )
A .
B .
C .
D .
8、如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 的中点,连接AE ,点F 是AE 的中点,连接DF ,若AB =9,AD
=CDFE 的面积是( )
B.C.D.54
A.
9、如图,M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P,则∠APN的度数是()
A.120°B.118°C.110°D.108°
10、下列图形中,是中心对称图形的是()
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、点D、E、F分别是△ABC三边的中点,△ABC的周长为24,则△DEF的周长为______.
2、如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍,那么这个多边形的边数n =____
3、如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,分别以点A 、C 为圆心,AO 长为半径画弧,分别交AB 、CD 于点E 、F .若6AC =,35CAB ∠=︒,则图中阴影部分的面积为_______.(结果保留π)
4、如图,在菱形纸片ABCD 中,AB =2,∠A =60°,将菱形纸片翻折,使点A 落在CD 的中点E 处,折痕为FG ,点F ,G 分别在边AB ,AD 上,则cos∠EFG 的值为________.
5、一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°,则这个正多边形的边数为
__________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,AB ⊥AC ,AB =3,AD =5,求BD 的长.
2、△ABC 为等边三角形,AB =4,AD ⊥BC 于点D ,E 为线段AD 上一点,AE AE 为边在直线AD 右侧构造等边△AEF .连结CE ,N 为CE 的中点.
(1)如图1,EF与AC交于点G,
①连结NG,求线段NG的长;
②连结ND,求∠DNG的大小.
(2)如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转,旋转角为α.M为线段EF的中点.连结DN、MN.当30°<α<120°时,猜想∠DNM的大小是否为定值,并证明你的结论.
3、(阅读材料)
材料一:我们在小学学习过正方形,知道:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
材料二:如图1,由一个等腰直角三角形和一个正方形组成的图形,我们要判断等腰直角三角形的面积与正方形的面积的大小关系,可以这样做:如图2,连接AC,BD,把正方形分成四个与等腰三角形
ADE全等的三角形,所以
1
4
AED
S S
△正方形
.
(解决问题)如图3,图中由三个正方形组成的图形(1)请你直接写出图中所有的全等三角形;
(2)任意选择一组全等三角形进行证明;
AB ,求S1和S2的值.
(3)设图中两个小正方形的面积分别为S1和S2,若6
4、(探究发现)
(1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为BC的中点,E、F分别为边AC、AB上两点,若满足∠EDF=90°,则AE、AF、AB之间满足的数量关系是.
(类比应用)
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D为BC的中点,E、F分别为边AC、AB上两点,若满足∠EDF=60°,试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系,并说明理由.
(拓展延伸)
(3)在△ABC中,AB=AC=5,∠BAC=120°,点D为BC的中点,E、F分别为直线AC、AB上两点,若满足CE=1,∠EDF=60°,请直接写出AF的长.
5、已知:▱ABCD的对角线AC,BD相交于O,M是AO的中点,N是CO的中点,求证:BM∥DN,
BM=DN.
-参考答案-
一、单选题
1、D
【详解】
解:A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项符合题意;
D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2、B
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
【详解】
解:选项B 能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以是中心对称图形;
选项A 、C 、D 不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形;
故选:B .
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形定义,关键是找出对称中心.
3、C
【分析】
由于AE 是折痕,可得到AB =AF ,BE =EF ,再求解5,51,AC
CF 设BE =x ,在Rt △EFC 中利用勾股定理列出方程,通过解方程可得答案.
【详解】
解: 矩形ABCD ,
90,B ∴∠=︒ 设BE =x ,
∵AE 为折痕,
∴AB =AF=1,BE =EF =x ,∠AFE =∠B =90°,
Rt △ABC 中,2222125,AC AB BC
∴Rt △EFC 中,51FC ,EC =2-x , ∴2
22251x x ,
解得:x=,
则点E到点B.
故选:C.
【点睛】
本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题;二次根式的乘法运算,利用对折得到1
CF,再利用勾股定理列方程是解本题的关键.
4、B
【分析】
先证明四边形BCED为平行四边形,再根据矩形的判定进行解答.
【详解】
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
又∵AD=DE,
∴DE∥BC,且DE=BC,
∴四边形BCED为平行四边形,
A、∵AB=BE,DE=AD,
∴BD⊥AE,
∴□DBCE为矩形,故本选项不符合题意;
B、∵DE⊥DC,
∴∠EDB=90°+∠CDB>90°,
∴四边形DBCE不能为矩形,故本选项符合题意;
C、∵∠ADB=90°,
∴∠EDB =90°,
∴□DBCE 为矩形,故本选项不符合题意;
D 、∵C
E ⊥DE ,
∴∠CED =90°,
∴□DBCE 为矩形,故本选项不符合题意.
故选:B .
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识,判定四边形BCED 为平行四边形是解题的关键.
5、B
【分析】
由题意直接根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得出答案.
【详解】
解:A .是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B .既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意;
C .不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D .是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:B .
【点睛】
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念,注意掌握把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
6、B
【分析】
由等式的基本性质可判断A ,由160,'︒= 可判断B ,由过n 边形的一个顶点可作()3n -条对角线可判断
C ,由全面调查与抽样调查的含义可判断
D ,从而可得答案.
【详解】
解:若a b =,则,a c b c +=+故A 不符合题意; 90′=90 1.5,60⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭
故B 符合题意; 过六边形的每一个顶点有3条对角线,故C 不符合题意;
疫情防控期间,要掌握进入校园人员的体温是否正常,事关重大,一定采用全面调查,故D 不符合题意;
故选:B .
【点睛】
本题考查的是等式的基本性质,角度的换算,多边形的对角线问题,全面调查与抽样调查的含义,掌握以上基础知识是解本题的关键.
7、B
【分析】
根据中心对称图形的概念求解.
【详解】
解:A 、是中心对称图形,故本选项不合题意;
B 、不是中心对称图形,故本选项符合题意;
C 、是中心对称图形,故本选项不合题意;
D 、是中心对称图形,故本选项不合题意.
故选:B .
【点睛】
本题考查了中心对称图形的知识,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
【分析】
过点F 作FM AD ⊥,FN BC ⊥分别交于M 、N ,由F 是AE 中点得12FM FN AE ==
,根据ABE ADF ABCD CDEF S S S S =--矩形四边形,计算即可得出答案.
【详解】
如图,过点F 作FM AD ⊥,FN BC ⊥分别交于M 、N ,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴BC AD ==90ABE ∠=︒,
∵点E 是BC 的中点,
∴12
BE BC == ∵F 是AE 中点, ∴1922
FM FN AB ===,
∴119699222
ABE ADF ABCD CDEF S S S
S =--=-⨯-⨯=矩形四边形 故选:C .
【点睛】 本题考查矩形的性质与三角形的面积公式,掌握ABE ADF ABCD CDEF S S S S =--矩形四边形是解题的关键.
【分析】
由五边形的性质得出AB =BC ,∠ABM =∠C ,证明△ABM ≌△BCN ,得出∠BAM =∠CBN ,由
∠BAM +∠ABP =∠APN ,即可得出∠APN =∠ABC ,即可得出结果.
【详解】
解:∵五边形ABCDE 为正五边形,
∴AB =BC ,∠ABM =∠C ,
在△ABM 和△BCN 中
AB BC ABM C BM CN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
===, ∴△ABM ≌△BCN (SAS ),
∴∠BAM =∠CBN ,
∵∠BAM +∠ABP =∠APN ,
∴∠CBN +∠ABP =∠APN =∠ABC =
()521801085
-⨯︒=︒ ∴∠APN 的度数为108°;
故选:D .
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理;熟练掌握五边形的形状,证明三角形全等是解决问题的关键.
10、D
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
【详解】
A 、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B 、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、是中心对称图形,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念,理解概念并知道一些常见的中心对称图形是关键.
二、填空题
1、12
【分析】
据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,可以判断DF、FE、DE为三角形中位线,利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答.
【详解】
解:∵如图所示,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,
∴ED、FE、DF为△ABC中位线,
∴DF
1
2
=BC,FE1
2
=AB,DE1
2
=AC,
∴△DEF的周长=DF+FE+DE
1
2
=BC
1
2
+AB
1
2
+AC1
2
=(AB+BC+CA)
1
2
=⨯24=12.
故答案为:12.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理,根据中点判断出中位线,再利用中位线定理是解题的基本思路.
2、6
【分析】
根据多边形内角和公式(n -2)×180°及多边形外角和始终为360°可列出方程求解问题.
【详解】
解:由题意得:
(n -2)×180°=360°×2,
解得:n =6;
故答案为6.
【点睛】
本题主要考查多边形内角和及外角和,熟练掌握多边形的内角和公式及外角和是解题的关键.
3、74
π##
【分析】
由图可知,阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是矩形,
∴6AC BD ==,OA OC OB OD ===,AB CD ∥,
∴3OA OC ==,35ACD CAB ∠=∠=︒, ∴图中阴影部分的面积为:2353723604ππ⨯⨯=. 故答案为:74
π.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
4
【分析】
根据题意连接BE,连接AE交FG于O,如图,利用菱形的性质得△BDC为等边三角形,
∠ADC=120°,再在在Rt△BCE中计算出BE
BE⊥AB,利用勾股定理计算出AE,从而得到OA的长;设AF=x,根据折叠的性质得到FE=FA=x,在Rt△BEF中利用勾股定理得到(2-x)2+
2=x2,解得x,然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF,再利用余弦的定义求解即可.
【详解】
解:连接BE,连接AE交FG于O,如图,
∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△BDC为等边三角形,∠ADC=120°,
∵E点为CD的中点,
∴CE=DE=1,BE⊥CD,
在Rt△BCE中,BE=3CE=3,
∵AB∥CD,
∴BE⊥AB,
∴227
(
23)
AE=+=.
∴7
AO=,
设AF=x,
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴FE=FA=x,
∴BF=2-x,
在Rt△BEF中,(2-x)2+(3)2=x2,
解得:
7
4
x=,
在Rt△AOF中,OF=
∴474
cos AFO ∠=
故答案为. 【点睛】 本题考查了折叠的性质以及菱形的性质,注意掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
5、9
【分析】
设正多边形的外角为x 度,则可用代数式表示出内角,再由内角与外角互补的关系得到方程,解方程即可求得每一个外角,再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数.
【详解】
设正多边形的外角为x 度,则内角为(5x −60)度
由题意得:560180x x +-=
解得:40x =
则正多边形的边数为:360÷40=9
即这个正多边形的边数为9
故答案为:9
【点睛】
本题考查了正多边形的内角与外角,关键是运用方程求得正多边形的外角.
三、解答题
1、【分析】
根据平行四边形的性质可得5BC AD ==,AD OC =,BO DO =勾股定理求得AC ,BO ,进而求得BD
【详解】 解:四边形ABCD 是平行四边形
115,,22
BC AD OA OC AC OB OD BD ∴====== AB ⊥AC ,
90BAC ∴∠=︒
在Rt ABC 中,3,5AB BC ==
4∴=AC
122AO AC ∴=
= 在Rt ABO 中,3,2AB AO ==
BO ∴
2BD BO ∴==
BD ∴=【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,勾股定理,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
2、(1)①NG =
120DNG ∠=︒;(2)DNM ∠的大小是定值,证明见解析. 【分析】
(1)①先根据等边三角形的性质、勾股定理可得2,CD AD ==DE =
定理可得CE =,然后根据等边三角形的性质可得90EGC ∠=︒,最后根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半即可得;
②先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得,NE ND NE NG ==,再根据等腰三角形的性质可得,EDN DEN EGN GEN ∠=∠∠=∠,从而可得120EDN EGN DEN GEN ∠+∠=∠+∠=︒,然后根据四边形的内角和即可得;
(2)连接,BE CF ,先证出BAE CAF ≅,根据全等三角形的性质可得ABE ACF ∠=∠,从而可得120EBC BCF ∠+∠=︒,再根据三角形中位线定理可得,ENM ECF CDN EBC ∠=∠∠=∠,然后根据三角形的外角性质、角的和差即可得出结论.
【详解】
解:(1)①∵ABC 是等边三角形,4AB =,AD BC ⊥,
∴30,4,2EAG AB BC AC BD CD ∠=︒=====,
∴
AD ,
∵AE =
∴DE AD AE =-=
∴CE =
∵AEF 是等边三角形,
60AEF ∴∠=︒,
18090AGE EAG AEF ∴∠=︒-∠-∠=︒,
∴EG AC ⊥,即90EGC ∠=︒,
又∵点N 为CE 的中点,
∴12NG CE ==; ②如图,连接ND ,
由(1)①知,180120DEG AEF ∠=︒-∠=︒, ∵90EDC EGC ∠=∠=︒,点N 为CE 的中点, ∴,NE ND NE NG ==,
,EDN DEN EGN GEN ∴∠=∠∠=∠,
120EDN EGN DEN GEN DEG ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒, ∴360()120DNG EDN EGN DEG ∠=︒-∠+∠+∠=︒;
(2)DNM ∠的大小是定值,证明如下:
如图,连接,BE CF ,
∵ABC 和EAF △都是等边三角形,
∴,,60==∠=∠︒=AB AC AE AF BAC EAF ,
∴BAC CAE EAF CAE ∠+∠=∠+∠,即BAE CAF ∠=∠,
在BAE 和CAF 中,AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,
∴()BAE CAF SAS ≅,
∴ABE ACF ∠=∠,
∵6060120ABC ACB ∠+∠=︒+︒=︒,
∴120EBC BCF ABC ABE ACB ACF ∠+∠=∠-∠+∠+∠=︒,
∵点N 为CE 的中点,点M 为EF 的中点,
∴MN CF ,
∴ENM ECF ∠=∠,
∵BD CD =,即点D 是BC 的中点,
∴DN BE ,
∴CDN EBC ∠=∠,
∵END CDN NCD EBC BCF ECF ∠=∠+∠=∠+∠-∠,
∴DNM END ENM ∠=∠+∠
EBC BCF ECF ECF =∠+∠-∠+∠
EBC BCF =∠+∠
120=︒,
∴DNM ∠的大小为定值.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理等知识点,较难的是题(2),通过作辅助线,构造全等三角形和利用到三角形中位线定理是解题关键.
3、(1)ADC ABC ≌△△;AHK CIJ △≌△;AEG CFG △≌△;(2)证明ADC ABC ≌△△;证明见解析;(3)19S =,28S =
【分析】
(1)根据图形可得出三对全等三角形;
(2)根据正方形的性质及全等三角形的判定定理对(1)中全等三角形依次证明即可;
(3)连接BG ,由材料二可得,ABC ∆被分成4个面积相等的等腰直角三角形,即可得出1S ;连接HJ ,KI ,过点H 作HM ⊥AD 于点M ,过点I 作IN ⊥CD 于点N ,则ACD ∆被分为9个面积相等的等腰直角三角形,即可得出2S .
【详解】
解:(1)ADC ABC ≌△△;AHK CIJ △≌△;AEG CFG △≌△
(2)证明ADC ABC ≌△△;
由题意得,在正方形ABCD 中,
∵AB AD =,90ABC ADC ∠=∠=︒,
在Rt ABC ∆和Rt ADC ∆中
AC AC AB AD =⎧⎨=⎩
(HL)Rt ABC Rt ADC ∴△≌△;
证明:AHK CIJ △≌△;
由题意得,在正方形HIJK 中,
HK IJ =,90AHK CIJ ∠=∠=︒,
∵AC 为正方形ABCD 的对角线,
∴45DAC DCA ∠=∠=︒,
在RRRRRR 和RRRRRR 中
DAC DCA AHK CIJ HK IJ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴RRRRRR ≅RRRRRR ;
证明:AEG CFG △≌△
由题意得,在正方形EBFG 中,
EG FG =,90AEG GFC ∠=∠=︒,
∵AC 为正方形ABCD 的对角线,
∴45EAG FCG ∠=∠=︒,
在RRRRRR 和RRRRRR 中
EAG FCG AEG GFC EG FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴RRRRRR ≅RRRRRR ;
(3)如图,连接BG ,由材料二可得,ABC ∆被分成4个面积相等的等腰直角三角形,
R RRRR =R RRRR =12×6×6=18. ∴111892S =⨯= 连接HJ ,KI ,过点H 作HM ⊥AD 于点M ,过点I 作IN ⊥CD 于点N ,则ACD ∆被分为9个面积相等的等腰直角三角形, ∴241889
S =⨯=. ∴19S =,28S =.
【点睛】
题目主要考查正方形的性质、全等三角形的判定定理及对题意的理解能力,熟练掌握全等三角形的判定定理及理解题意是解题关键.
4、(1)AB =AF +AE ;(2)AE +AF =12AB ,理由见解析;(3)32或72 【分析】
(1)证明△BDF≌OADE,可得BF=AE,从而证明AB=AF+AE;
AB=AF+FG=(2)取AB中点G,连接DG,利用ASA证明△GDF≌△ADE,得到GF=AE,可得AG=1
2
AE+AF;
(3)分两种情况:当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时,取AC的中点H,连接DH,同理证明△ADF≌△HDE,得到AF=HE,从而求解.
【详解】
(1)
如图1,∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=45°,
∵D为BC中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°,AD=BD=CD,
∴∠ADB=∠ADF+∠BDF=90°,
∵∠EDF=∠ADE+∠ADF=90°,
∴∠BDF=∠ADE,
∵BD=AD,∠B=∠CAD=45°,
∴△BDF≌△ADE(ASA),
∴BF=AE,
∴AB=AF+BF=AF+AE;
故答案为:AB=AF+AE;
AE+AF=1
AB.理由是:
2
如图2,取AB中点G,连接DG,
∵点G是Rt ADB斜边中点,
AB,
∴DG=AG=BG=1
2
∵AB=AC,∠BAC=120°,点D为BC的中点,∴∠BAD=∠CAD=60°,
∴∠GDA=∠BAD=60°,即∠GDF+∠FDA=60°,又∵∠FAD+∠ADE=∠FDE=60°,
∴∠GDF=∠ADE,
∵DG=AG,∠BAD=60°,
∴△ADG为等边三角形,
∴∠AGD=∠CAD=60°,GD=AD,
∴△GDF≌△ADE(ASA),
∴GF=AE,
AB=AF+FG=AE+AF,
∴AG=1
2
AB;
∴AE+AF=1
2
当点E在线段AC上时,如图3,取AC的中点H,连接DH,当AB=AC=5,CE=1,∠EDF=60°时,
AE=4,此时F在BA的延长线上,
同(2)可得:△ADF≌△HDE(ASA),
∴AF=HE,
∵AH=CH=1
2AC=
5
2
,CE=1,
∴
53
1
22 AF HE CH CE
==-=-=,
当点E在AC延长线上时,如图4,
同理可得:
57
1
22 AF HE CH CE
==+=+=;
综上:AF的长为3
2
或
7
2
.
【点睛】
本题考查三角形综合问题,掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
5、见解析
【分析】
连接,
MD BN,根据平行四边形的性质可得AO=OC,DO=OB,由M是AO的中点,N是CO的中点,进而可得MO=ON,进而即可证明四边形MBDN是平行四边形,即可得证.
【详解】
如图,连接,
MD BN,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=OC,DO=OB.
∵M为AO的中点,N为CO的中点,
即
11
,
22 ON OC OM OA ==
∴MO=ON.
∴四边形MBDN是平行四边形,
∴BM∥DN,BM=DN.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定,掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键.。