高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理二导学案新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理(二)
教学目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.
2.会用余弦定理解三角形.
3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．
教学过程
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家分享自己对余弦定理及其变
形形式的了解。

通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，可以先用正弦定理b sin B ＝c
sin C 求出sin C ＝32
.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？ 提示：能．在余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 中，已知三个量AC ＝b ，AB ＝c ，cos B ，
代入后得到关于a 的一元二次方程，解此方程即可．
2.已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角
形个数为0,1,2，具体判断方法为：
设在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理a sin A ＝b sin B
，可求得sin B ＝b sin A a .
(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；
(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：
①当a<CD时，无解；
②当a＝CD时，一解；
③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个．
④当a≥b时，一解．
(4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
二、合作探究
探究点1：判断三角形的形状
问题1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？
提示：不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．
问题2 △ABC 中，sin2A ＝sin2B .则A ，B 一定相等吗？
提示：∵A ，B ∈(0，π)，
∴2A,2B ∈(0,2π)，
∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，
即A ＝B 或A ＋B ＝π2
. 例1在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC
的形状．
解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，
得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，
即b 2＋c 2－a 2＝bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝bc
2bc ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3
. 又sin A ＝2sin B cos C .
∴由正弦、余弦定理，
得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a ，
∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．
变式训练：将本例中的条件(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc 改为(b 2＋c 2－a 2)2＝b 3c ＋c 3b －
a 2bc ，其余条件不变，试判断△ABC 的形状．
解 由(b 2＋c 2－a 2)2＝b 3c ＋c 3b －a 2bc ，得
(b 2＋c 2－a 2)2＝bc (b 2＋c 2－a 2)，
∴(b 2＋c 2－a 2)(b 2＋c 2－a 2－bc )＝0，
∴b 2＋c 2－a 2＝0或b 2＋c 2－a 2－bc ＝0，
∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＋c 2－a 2＝bc ，
由a 2＝b 2＋c 2，得A ＝90°，
由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得
cos A ＝12， ∴A ＝60°，
∴△ABC 为等边三角形或等腰直角三角形．
名师点评：(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．
(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，b 2＋c 2＝(b ＋c )2
－2bc 等等．
探究点2：证明三角形中的恒等式
问题：前面我们用正弦定理化简过a cos B ＝b cos A ，当时是把边化成了角；现在我们学
了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？
提示：由余弦定理得a
a 2＋c 2－
b 22a
c ＝b b 2＋c 2－a 22bc
，去分母得a 2＋c 2－b 2＝b 2＋c 2－a 2，化简得a ＝b .
例2 在△ABC 中，有(1)a ＝b cos C ＋c cos B ；
(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；
(3)c ＝a cos B ＋b cos A ，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
证明 方法一 (1)由正弦定理，得
b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ，
∴b cos C ＋c cos B
＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B
＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C )
＝2R sin(B ＋C )
＝2R sin A ＝a .
即a ＝b cos C ＋c cos B .
同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；
(3)c ＝a cos B ＋b cos A .
方法二 (1)由余弦定理，得
cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ，
∴b cos C ＋c cos B
＝b ·a 2＋b 2－c 2
2ab ＋c ·a 2＋c 2－b 2
2ac
＝a2＋b2－c2
2a
＋
a2＋c2－b2
2a
＝
2a2
2a
＝a.
∴a＝b cos C＋c cos B.
同理可证(2)b＝c cos A＋a cos C；
(3)c＝a cos B＋b cos A.
名师点评：证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．
四、当堂检测
1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于( )
A．60°B．45°或135°
C．120°D．30°
2．在△ABC中，若b2sin2C＋C2sin2B＝2bc cos B cos C，则△ABC的形状一定是( ) A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
提示：1．C 2.B
3．解设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
∴22＝a2＋(23)2－2a×23cos30°，
即a2－6a＋8＝0，
解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，三边长为2,2,23，可组成三角形；
当a＝4时，三边长为4,2,23，也可组成三角形．
∴满足条件的三角形有两个．
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对
的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次
方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的
平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足
的基本条件．
六、课例点评
本节课是进一步学习余弦定理，为突破以往“基础自测”＋“典型例题”＋“变式巩固”的模式，
本节课突出了教材回归，在强调知识运用的同时也更强调知识的由来和其中蕴含的思想方法，真正发挥教材的作用，帮助学生建构完整的知识和方法网络，提升学生分析和认识问题的高度。