安徽省滁州市新锐中学2020届高三数学质量检测试题

安徽省滁州市新锐中学2020届高三数学质量检测试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上.
1.已知集合{
}2
20A=x x x ,--<{
}
20B=x x ,-<<则A
B =
A ．)2,1(- B. )2,0( C. )1,2(- D. )2,2(- 2. 已知复数z 满足12i
z i
-+=
+，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1234=2+2+=0，a a a a ，则5S = A ． 2
B.0
C. -2
D. -4
4.已知113
2
3
2,3,ln
2
a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B.c b a << C ．c a b << D ．b a c <<
5.已知函数()32x x f x x x e e -=-+-，其中e 为自然对数数的底数，则不等式
()()2210f x f x +->的解集是
A ．()112+,⎛⎫-∞-∞ ⎪⎝⎭， B.()12+,⎛
⎫-∞-∞ ⎪⎝⎭
1， C ．112⎛⎫- ⎪⎝
⎭， D ．12⎛⎫- ⎪⎝⎭，1 6.在ABC △中，2
C π
=
，2AC BC ==，点P 是边AB 上一动点，则CP CA CP CB ⋅+⋅=
A ．4 B. 2 C. 2- D ． 4-
7．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇
骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M 为ON 的一个靠近点N 的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是
A ．31
B ．
32 C ．9
4
D ．9
5
A
B
E
C
D M
A 1
8.右图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《数书九章》中的“中国剩余定理”.执行该程序框图， 则输出的n 为
A ．50
B ．53
C ．59
D ．62
9. 函数()()f x Asin x ωϕ=+（00A ,ω>>，02
π
ϕ<<）
的部分图象如图所示，则下列说法错误的是
A ．函数()f x 的最小正周期为π B.直线512
x π
=-为函数()f x 的一条对称轴 C.点203,π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
为函数()f x 的一个对称中心
D.函数()f x 的图象向右平移
3
π
个单位后得到22y sin x =的图象 10.设双曲线()22
2210x y C :a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F ,F ，过1F 的直线l 与双曲线
左右两支交于M N ，两点，以MN 为直径的圆过2F ，且2
22MN MF MN =⋅，则双曲线
C 的离心率为
A ．2
B. 3
C. 2
D. 5
11.如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折
成1A DE .若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻折过程中，给出以下命题： ①存在某个位置，使MB ∥平面1A DE ； ②存在某个位置，使1DE A C ⊥； ③线段BM 的长是定值；
④存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE . 其中所有正确命题的编号是
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．①③④
12．若函数()()220x x f x ae a e x,a =+-->，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围为
A ．()01,
B ．(]01,
C ．1,e e
⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 4
3x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中的2x 的系数为______．
14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1391072a a ,S ,+== 数列{}n b 中，
1122n n b ,b b ,+==-则72020a b = ______．
15.在四面体ABCD 中，若1=AD DC AC CB ===，则当四面体ABCD 的体积 最大时， 其外接球的表面积为______．
16. 过抛物线2
4y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点，与圆()2
211x y -+=交于
C,D 两点，（从下至上依次为A,C,D,B ）.若21=+BD CA ，则直线l 的斜率k 为______．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （12分）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知7
acosB bcosA ac +=， 2sin A sinA =.
（1）求A 及a ；
（2）若2b c -=,求BC 边上的高.
18.（12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =，BD PA ⊥，E 是BC 上一点，且3EC BE =，设AC BD O =． （1）证明：PO ⊥平面ABCD ；
（2）若60BAD ∠=，PA PE ⊥，求二面角A PE C --的余弦值．
19.（12分）
已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的离心率为2，且过点()1,0C . （1）求椭圆E 的方程；
（2）过1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
点的直线l 与椭圆E 相交于A B ，两点，线段AB 的中点为M ， 求证:2AB CM =. 20.（12分）
国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为
[)[)[)[)[]165,167,167,169,169,171,171,173,173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高()X cm 近似服从正态分布()2
,N μσ，其中μ近
似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ． （i ）求()167.86174.28P X <<；
（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率． 参考数据： 若()2
~,X N
μσ，则
()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，
11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈．
21.（12分） 已知函数1
()(ln )x f x xe
a x x -=-+，a R ∈.
（1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；
（2）设0x 是()f x 的极小值点，且0()0f x ≥，证明：2
3
000()2()f x x x ≥-.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22
12x t
y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，
以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. （1）判断曲线1C 与曲线2C 的位置关系；
（2）设点(),M x y 为曲线2C 上任意一点，求2x y +的最大值
23.（10分））选修4—5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a =-．
（1）当2a =，求不等式()||6f x x +≤的解集；
（2）设()|1|30f x x x +-+≤对任意[2,1]x ∈--成立，求a 的取值范围．
数学答案
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
B
A
C
C
A
D
B
D
B
B
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,Zi 共20分 13．12 14． 10- 15．3
π
7 16.22 三、解答题：共70分. 17.（12分） 解(1) 2763
分 分A .a .=
⋯⋯=⋯⋯π
（2）32112分.⋯⋯ 18.（12分）
证明：四边形ABCD 是菱形，是AC 的中点，，
，，平面PAC ， 平面PAC ，． ，O 是AC 的中点，． 平面ABCD ，平面ABCD ，， 平面ABCD ；......................5分 解：由知，平面ABCD ，．
以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设四边形ABCD 的边长为4，． 四边形ABCD 是菱形，，与都是等边三角形．
．
0，，
0，，
0，，， ，
，
．
，
， 即
，得
．
，
．
设平面PAE 的法向量为
，
由，取，得；
设平面PEC 的一个法向量为，
由，取，得．设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．......................12分
19.（12分）
（1）椭圆方程为
2
21
2
y
x
+=......................4分
（2）设过点
1
(,0)
3
-直线为
1
3
x ty
=-，设()
11
,
A x y，()
22
,
B x y
由
2
2
1
3
1
2
x ty
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
得()22
91812160
t ty
y
+--=，且>0
∆.
则
122
122
12
,
9186
16
,
918
y
y y
t
y
t
t
⎧
+=
⎪⎪+
⋯⋯
⎨
⎪=-
⎪+
⎩
分
又因为()
11
1,
CA x y
=-，()
22
1,
CB x y
=-，
()()
2
121212121212
44416
(1)(1)1
3339 CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y
⎛⎫⎛⎫
⋅=--+=--+=+-++
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
()2
22
1641216
10
91839189
t t
t
t t
-
=+-⋅+=
++
，......................10分
所以CA CB
⊥.
因为线段AB的中点为M，所以||2||
AB CM
=......................12分
20.（12分）解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，
故0.11660.2168+0.3751700.251720.075174170
x=⨯+⨯⨯+⨯+⨯=...2分s2＝（170﹣166）2×0.1+（170﹣168）2×0.2+（170﹣172）2×0.25+（170﹣174）2×0.075＝4.6...4分
（2）由题知μ＝170，
115
= 4.6 2.14
σ=≈，
......................8分
（ii），
故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率
P＝1﹣（1﹣0.0228）10＝1﹣0.977210≈1﹣0.79＝0.21．......................12分21.（12分）解：函数，．
．
令，则，在上是增函数．
又当时，，当时，．
当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；当时，的值域为，必存在，使．
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
存在极小值点．
综上可知实数a的取值范围是．......................5分
证明：由知，即．
，
由，得．
令，由题意在区间上单调递减．
又，由，得，
令，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，函数取最小值，
，即
，即，
，
， ，
......................12分
22.【解】（1）消去t 得1C 的普通方程为10x y +-=，由π2cos 4ρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭得
2cos 2sin ρθθ=-，∴22cos 2sin ρρθρθ=-，即22220x x y y -++=，化为标准方程
为22
22122x y ⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线2C 是以22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
为圆心，半径为1的圆，圆心到直
线10x y +-=的距离
22
122
2
12
2
d --=
=<，故曲线1C 与曲线2C 相交.......................5分
（2）由(),M x y 为曲线2C 上任意一点，可设2
cos 2
2sin 2
x y θθ⎧=
+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，
则()22
22cos sin 5sin 22
x y θθθϕ+=
++=++，其中tan 2ϕ=， ∴2x y +的最大值是
2
52
+.......................10分 23.解：解集为48[,]33
-．......................5分
因为，所以
，可化为，
所以，即
对
恒成立，
则
，所以a 的取值范围是[3,-1]-...................10分。