初中数学邀请赛试题

第二届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题 (满分150分) 一． 填空题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 1．亲爱的同学，你好，仲元中学欢迎你，祝你考出好的成绩。

估计你的年龄与“仲元”的“年龄”的和是87岁，2009年当你毕业离开“仲元”即将迈进你所理想的大学之时，“仲元”的“年龄”将比你的年龄的4倍还多3岁，你知道仲元中学今年建校多少年了吗？ 。

2
．某地出土一批文物，其中有一本编有页码的书，因为年代太久，保存较好的只有10页，它们的页码分别是：15，75，70，29，42，77，35，5，66，11，估计这本书应有 页。

3．设1x 、2x 是方程032=-+x x 的两根，那么 =+-2042231x x 。

4．在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，且AB=13，CD=8，AD=12，那么点A 到BC 的距离是 。

5．设n 是整数，关于x 的方程02)25(2=+-+n x n x 的两个根都是质数，那么n= 。

6．为了能用无刻度的天平称出30克以内（包括30克）的所有整数克重量的物品，最少可用5个不同重量的砝码，这5个砝码重量的克数依次是 。

7．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211 = 。

8．长方形ABCD 的长是4厘米、宽3厘米。

从这个长方形中剪去两个长2厘米、宽1厘米的小长方形后得到一个“T”形（如上图）。

请你沿直线（用虚线在图上画出这样的直线）把这个“T”形剪两刀，并使剪开的部分恰好能拼成一个正方形。

学校
准考证号 姓名
…
……
……
..
…
…
…….密
…
…
…
…
…
…
.
.……
…
…
…
.
封……………………………
.
.
线
…
…
…
…
…
…
…
…
.
座位号
二．选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分，每题有且只有一个答案） 1．20063的个位数字是（ ）
A.1
B.3
C.7
D. 9
2．若e dx cx bx ax x ++++=+2344)12(，则e c a ++=（ ）
A.40
B.41
C.80
D.82
3．已知2
15-=x ,则x+x 2+x 3+x 4+x 5的值等于下列哪式的值 ( ) A.5x B.5x-1 C.4x D.4x-1
4.如图,在边长为1正方形ABCD 中,E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点,3AE=EB,
有一只蚂蚁从E 点出发,经过F 、G 、H,最后回点E 点,则蚂蚁所走的最小路程是
( )
A. 2
B. 4
C. 22
D. 23
5．如果a 、b 都是正实数，且0111=-++b
a b a ， 那么b
a =（ ） A.251+ B.221+ C.251+- D.221+-
6．把正整数按下图所示的规律排序，那么从2005到2007的箭头方向依次为（ ）
1211874
313109652
1→→→↑↓↑↓↑↓
⋅⋅⋅→→→→ A. →↓
2006 B. 2006→↑
C. ↑→2006
D. ↓
→2006 7．一对小兔子从出生到第三个月就可以长大，并且生一对小兔子，以后每个月可以生一对小兔子，新生的小兔子三个月后又可以生小兔子。

如果你也有一对刚出生的小兔子，那么到第10个月你所有的兔子的对数是（ ）
A.9
B.89
C.21
D.55
8．某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…，当将这些页码相加时，某人把其中一个页码加了两次，结果和为2006，加了两次的是第（ ）页。

A. 10
B.20
C.43
D.53
二． 解答题（本大题共4小题，共54分）
C B
H
1．（本题13分）求值：10
3211321121111+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++=
S 。

2．（本题13分） 整片牧场上的草长得一样密，一样地快。

已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。

如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？
3．（本题14分）设有n 个数据：x 1，x 2，……，x n ，其方差是S 2。

求证函数 22221)()()(n x x x x x x y -+⋯⋯+-+-=的最小值是nS 2。

4．（本题14分）如图，ABC ∆中，BC=6，AC=42，045=∠C ，P 为BC 边上的动点，过P 作PD//AB 交AC 于点D ，连接AP ，∆ABP ，∆APD ，
∆CDP 的面积分别记为S 1，S 2，S 3，设BP=x 。

（1） 试用x 的代数式分别表示S 1，S 2，S 3；
（2） 当P 点在什么位置时，∆APD 的面积最大，并求
最大值。

答案：
一。

1。

72； 2。

82； 3。

1； 4。

12； 5。

7；
6．1，2，4，8，15；或1，2，4，8，16；（有一个即可）
7． 2011； 8． 二． 1．D ；2．B ；3．D ；4. C ；5．C ；6．D ；7．D ；8． D
三．1．解：11
102432322212⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=S )1111011013121211(2-+-⋅⋅⋅+-+-=11
20= 2．解：设牧场上原来有草为a ，每天生长量为b ，一头牛一天的吃草量为c ，那么
⎩⎨⎧=⇒=⇒⨯=+⨯=+c b c b c
b a
c b a 31012036603060247024，a=1600c ； 设有x 头牛，那么 a+96b=96cx ，1600+320=96x ，
所以 x=20(头)；
答：如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有20头牛。

3．证明：22221212)(2n n x x x x x x x nx y +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++-=
所以当x=x n
x x x n =+⋅⋅⋅++21时，y 有最小值， 22221min )()()(n x x x x x x y -+⋯⋯+-+-==nS 2
4．解：（1）ABC ∆中BC 边上的高为4，设∆CDP 中PC 边上的高为h ，则
)60)(6(3
2664<<-=⇒-=x x h x h ；这样 S 1=2x ，S 3=2)6(31)6(32)6(21x x x -=-⋅-，S 2=12-2x-2)6(31x -=x x 23
12+-； （2） S 2=x x 2312+-3)96(312++--=x x =3)3(3
12+--x ； 所以当x=3时，y 有最大值3；此时BP=3，即P 是BC 的中点。