15版河北工大复变函数作业

15版河北工大复变函数作业
河北工业大学向量分析与场论作业（1）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1．设A 是n m ?矩阵，,)(Ax x f =则________)('=x f 。

2．设r T t z t y t x t )](),(),([)(=，],[T t t 0∈是一条空间曲线，则在参数为t 的点，曲线r )(t 的切线向量为__________________。

二．设x =T x x x x x ],,,,[54321，f T f f f ],,[321=，且1f (x )=3423321+-+x x x e x
,
2f (x )=5311226x x x x x -+-cos , 3f (x )=54321x x x x x ++sin ，求f )('x ,f ),,,,('72310
三．设S 为球心在原点、半径为a 的球的外表面，r 为向径向量，求积分：
dS r S
河北工业大学向量分析与场论作业（2）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1. 数量场z
y x z y x u 2
2+=),,(过点),,(2110M 的等值面为________。

2.设l 为数量场u 在0M 的等值面上的一个向量，则l
u (0M )=_______. 3.设l 和grad u 方向一致，则
l
u =_________. 二．求函数2
22x yz y u -+=在点),,(121M 处沿向量k j i l ++
=2
1
的方向导数。

三．设函数2
2
y y e x u x
-+=cos ，点),,(11πM 求（1）u 在点),,(11πM 的梯度；（2）u 在点),,(11πM 处沿向量k j i l 22++=的方向导数；（3）u 在点M 沿哪个方向方向导数最大？这个方向导数的最大值是多少？
河北工业大学向量分析与场论作业（3）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1．设向量场，F )(yz x +=2i +)(zx y +2j +)(zy z +2k ,则F ??_____=。

2．设,222z y x r ++=
则_______)(=r .
二．（单项选择题）设),,(z y x u 是数量函数，r =x i +y j +z k ，=r a r |,|是常向量，则下列结论中不成立的是[ ]。

(a))(r 1
=0 (b)r (??a )=
r
1
)(a r ? (c) ?)(a r ?=0 (d)22222
2z
u
y u x u u ??+??+??=)( 三．试计算r =x i +y j +z k 穿出曲面h z a y x S ≤≤=+02
22,:的通量（包括
上下底面）。

四．设F )(2x axz +=i +)(2xy by +j +)(xyz cxz z z 22
-+-k ,试确定常数
c b a ,,，使F ??0=。

河北工业大学向量分析与场论作业（4）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1.设r =x i +y j +z k ，则_________=??r 。

2.设F 是一个向量函数，且)('M F
+--=221412242222x xz x
y xz y z ，则 _____________________,__________=??=??F F 。

二．（单项选择题）设),(z y xy u ?+=2，),(M F F =r =x i +y j +z k ，
=r |r |,)(r f 可微，则下列各式不成立的是[ ].
(a)u =0 (b) 0=?F (c))((r f ??=)r 0 (d))(F =0
三．设F )(yz x 232-=i +)(22yz xy +j +)(2
3xz xyz -k ,求F 在点
),,(112-M 沿平面12=++z y x S :上侧法线方向的环量面密度。

河北工业大学向量分析与场论作业（5）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1．设)(M F 是保守场，u 是其势函数，则________=u . 2．以函数2221
z y x r r
u ++=-=,作为势函数的保守场为________.
二．单项选择题
1．下列条件中不是)(M F 为区域G 内的保守场的充要条件的是[ ]。

(a) )(M F 在G 内积分和路线无关。

(b)对G 内任意一个分段光滑的闭曲线C ，积分?
C
M F ).(d l =0.
(c)在G 内处处成立)(M F ??=0。

(d) )(M F 在G 内存在势函数u ，使=?u )(M F .
2．设u 是保守场)(M F =),,(z y x P i +),,(z y x Q j +),,(z y x R k 的势函数，则下列表述不正确的是[ ]。

(a)?
++=
x x y y z
z dz z y x R dy z y x Q dx z y x P z y x u 0
000),,(),,(),,(),,(.
(b)=du ?)(M F d l ,d l =d x i +d y j +d z k 。

(c) u ?=)(M F 。

(d) u 与场)(M F 的势能相等。

三．证明：F 22xyz =i +)cos (y z x +22j +yz x 22k 为有势场，并求其势函数。

四．设F )(32+=xy i +)(z x 42-j y 4-k ，证明)(M F 为保守场。

设),,(),,,(112213--B A 为场内两点，计算积分?B
A
M F ).(d l 。

河北工业大学向量分析与场论作业（6）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1．任一个向量场)(M F 的旋度场)(M F ??是一个_________场。

2．设222z y x r ++=
，则_____________,=?
=?r
r 1。

3．设532433322--++-=y x y x z y z x u ，则_________=?u 。

二．设,2xyz u =F )(z xy x 2282+=i +)(xy y x 333-j +-224z y ( )z x 32k ，证明u F 为管形场。

三．证明向量场F )(y x 521-+=i +)(z x y 754+-j +)(z y 67-k 为调和场，并求出它的势函数，证明向量场的势函数为调和函数。

河北工业大学复变函数论作业（1）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题 1．已知,i
z 212
-=
则Re ______,=z Im ________=z ,______||=z , Arg _______=z ；
2.若,31i z +
=它的三角表示式是_______，指数表示式是_____；
二．设n 为正整数，试证明1)2
31()231(
1
313-=--++-++n n i i 。

三．描出下列不等式所确定的点集，并指出该点集是否有界？是否为区域或闭区域？对区域指出是单连通区域还是多连通区域？1．1Im ,2||><+<z<="" p="" z="">
3.2Re ,4
)1arg(0≥<
-<="">
4.4)2()2(≤--+-z i z i z z
河北工业大学复变函数论作业（2）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1.arg _______;)33(=+-i arg _________)22(i --.
2.若Re ,)(x z f =Im y z f =)(,则)(z f 的连续性区域为________.
3.设),,(),(1
y x iv y x u z
w +==
则=),(y x u ________，=),(y x v ________ 4．函数z z f arg )(=的连续性区域是____________。

二．在映射2
z w =之下，z 平面上的曲线:C Re 1=z 映射成w 平面上的什么曲
线？
三．考察函数1
1
)(+-=z z z f 在圆域1||<="">
四．设函数)(z f 连续，证明函数)(z f 。

河北工业大学复变函数论作业（3）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1．iz z z f 2)(3+=在________内解析，它的导数=')(z f ________；2．当___________,____,===n m l 时，函数y nx my z f 23)(+=3(x i + )2lxy +为解析函数；
二．设,Re )(z z z f =此函数在何处可导？在何处解析？并求出)0('f 三．设,2)(2
233y x i y x z f +-=问：（1）)(z f 在那个区域内连续？(2) )(z f 在哪
些点可导？求函数在可导点的导数。

（3）)(z f 有无解析点？
河北工业大学复变函数论作业（4）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1.__________1=-i e ; Ln _____________)31(=+i ; _________
___________)
1(2
=-; .______________=i
i 2.设01=+z
e ，则__________=z ；设0sin =z ，则___________=z 。

二．计算下列函数值：
1．Ln )1(- 2. sin i
3. i
i -+1)1(
4.)2
sin(z -π
河北工业大学复变函数论作业（5）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题 1.设1|:|=z C ，则
===C C C dz z z z dz z dz ._________
||________,______,2 2．设1|:|=z C ，且当1||=z 时，2|)(|≤z f ，则积分________|)(|
≤?
C
dz z f 。

二．分别沿曲线2)2(;)1(x y x y ==;(3)由0=z 到,1=z 再到i z +=1的直线段计算积分?
++i dz iy x 10
2)(的值。

三．设C 为联结i z -=1到i z =2的直线段，试证明
2|)(|22≤+?dz iy x C。

河北工业大学复变函数论作业（6）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1.设C 是包围0=z 的任意一条闭曲线，则积分?
=C
zdz z ___________cos 3
2．设,1|:|=z C 则积分?
=C
dz z ___________。

3．设23|:|=
z C ，则积分________?=+C i
z dz。

4．设C 为以i 5
6,21±±为顶点的菱形边界，取正向，则积分________?=-C i z dz
； 5. 设,2
2
,:π
θπ
θ
≤
≤-
=i e z C 则积分?=C
dz z ___________||。

二．分别沿曲线8||)3(;2||)2(;2||)1(==+=-z i z i z 计算下面积分的值。

+C
dz z 4
1
2。

三．设C ：2
3
=
||z ，计算积分 ?++C dz z z ))((411
22。

四．计算积分
--C
dz z
z z 21
2 其中C 是z 平面上的任一条简单闭曲线(分包含0=z ，包含1=z ，同时包含
1,0==z z 与不包含1,0==z z 四种情形计算)。

五．设C 表示圆周1||=z 的上半部分，方向从11=z 到12-=z ，计算积分
+C
dz z z z
)(2。

河北工业大学复变函数论作业（7）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1. 设1|2:|=-z C ，则积分________
2
=-C
z
dz z e 2设,2|:|=z C 则积分
=-
C
z dz z e ___________)2
(2
π。

3．设?-=
C d z z f ζζζ?)()(，则在C
内，
)(z f 与)(z ?有关系式_________。

二．(单项选择题)设,1|:|=z C ，则下列计算过程不正确的是[ ]。

(a)因z cos 在C 内解析，故?=C dz z
0cos 1
； (b)
0)
2)(12(2)
2)(12()2)(12(0
=-+=-+=-+=??z C C
z z z i
dz z z z z
z z dz
π;
(c)
-=-=+-=-+-=C
z C i z i dz z z z z dz
;52
)2(2122
1)
2(21
)2)(12(2
1ππ (d)
0)'(cos 2cos 0
2
===?
z C z i dz z z
π
三．计算下列积分： 1．? =-+C
z i i z C dz z e 2
3
|2:|,12
；
2．?=-C z C dz i z z 2|:|,)(4 3
3．?
=--+C
z z C dz z z z e 1|2
1
:|,)1(3
2
四．计算积分?
=--+C
z z C dz z z ,1|:|,1
1
02
2分别设 (1)10=z ; (2) 10-=z ; (3) i z =0; 五．设C 是1||=z 上由1到1-的上半圆周，试证明e dz z
e C z
π≤?||。

六．?
-C
z
C dz z z e ,)1(3
为不经过0与1的正向简单闭曲线。

河北工业大学复变函数论作业（8）
_______专业____班姓名________学号_________ 一．填空题设∑∞
=-
0 0
) (
n
n
z
z
a在
1
z收敛，在
2
z发散，则它在_________内绝对收
敛，在_________内发散。

二．（单项选择题）设幂级数∑∞
=-
0 0
) (
n
n
z
z
a的收敛半径为R，则在R
z
z=
-|
|
上，
正确的是（）。

(a)幂级数收敛；(b)幂级数发散；
(c)幂级数在某些点收敛，在另外的点发散；(d)以上情况都有可能出现。

三．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1．∑∞
=1
n
n
n
i
2．∑∞
=
+
1
)
1(
2
n
n
n
i
n。

河北工业大学复变函数论作业（9）
_______专业____班姓名________学号_________
一．填空题
1．设)(z f 在0z 解析，1z 是)(z f 距0z 最近的一个奇点，则)(z f 在0z 的泰勒级数展开式的收敛半径_________=R 。

2．22)1()(+=z z z f 的零点为_________，其阶数分别为_________。

二．将下列函数展开为0z z -的幂级数，并指出它们的收敛半径。

1．.1,110=+-z z z 2．.1,1
02-=z z
四．指出下列函数的零点及其阶数：
1．1)(-=z e z f 2．1)(+=z e z f π。