列分式方程解应用题的策略技巧

2021年第4期
在八年级数学“分式”这一章中，最后一部分是列分式方程解应用题。

列分式方程解应用题与列整式方程解应用题相比，它们建立方程模型的思想和步骤是相同的，但对于需要列出分式方程的实际问题而言，问题中的数量关系要相对复杂，解方程时的变形也相对复杂，因而这一部分内容具有一定的难度，也是学生比较难处理的一部分内容。

一般来说，正确理解题意是列分式方程的基础，而确定一个未知量并用字母表示，找出问题中与之相关的运算关系和等量关系，并把这样的关系用数学形式表示出来，是解决问题的关键。

作为数学教师，笔者在讲解这一部分知识时，总是想方设法地让学生理解题意，并能巧列方程。

本文所说的策略技巧深得学生们喜欢并能熟练应用，不论涉及多复杂的数量关系的应用题，也能很顺利地列出方程，现总结一下供大家借鉴。

一、巧列路程类、工程类的应用题
小策略：设速度、找路程、据时间、列方程。

对于这一类的问题，学生在分析时间关系和速度关系时会感到比较困难，特别是题目中的路程、速度与时间关系比较复杂时，更难以找出等量关系列出方程。

为此，笔者总结了如下的小策略技巧，并编成顺口溜：“设速度、找路程、据时间、列方程。

”简单的十二个字，包含了整个方程的未知量的设法、已知量的找法、等量关系的找法等。

“设速度”就是根据题目中的速度关系设出未知数，如速度比、速度的倍数关系等；“找路程”就是找出速度对应的各自的路程，如普通汽车的路程、豪华汽车的路程、自行车走的路程、步行走的路程等；“据时间、列方程”其实是用公式t=s/v，将题目中的时间关系作为方程的等量关系，列出方程，从而顺利解答方程。

例1：八年级学生要去市实践学校进行社会实践，两地相距72 km，一部分学生从学校乘早7时出发的普通客车，由于车辆原因，另一部分学生乘7时45分出发的豪华客车去实践基地，两车恰好同时到达。

已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是3∶2，两车的平均速度分别是多少？
解析：学生在分析这个问题时，利用上面的小策略就很容易找出等量关系列出方程。

其中“设速度”就是根据速度关系分别设豪华客车的平均速度为3x千米/时，普通客车的平均速度为2x千米/时；“找路程”就是找各自对应的路程，都是72 km，路程除以速度就是时间； “据
列分式方程解应用题的策略技巧- 肖俊芳　李 健 -
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时间”就是两车所用的时间差为45分钟，化为34
小时，从而列出方程：722x - 723x = 34
该方法也适用于工程类问题，可以把工作量看作路程，效率看作速度，完成该工作量所用时间关系为等量关系，如例2。

例2：前几年，日照和潍坊两城市之间新建一条城际高速公路，建成后，公路运行里程由原来的312 km缩短至154 km，车辆通行的平均时速是原来的2.5倍，运行时间也因此缩短约2.5小时，求城际高速公路车辆的平均时速。

解析：“设速度”就是根据速度关系设原来时速为x ，则现行时速为2.5x ；“找路程”就是找各自对应的路程，分别为312 km和154 km，“据时间”就是原来的时间减去现行的时间等于2.5小时，很轻松就列出了方程：
312x - 154
2.5x
 = 2.5二、巧列营销类应用题
小策略：设单价、找总价、据数量、列方程。

对于营销类的应用题，部分学生也会感到比较困难，特别是数量价格关系比较复杂的题目，更是难以找出等量关系列出方程。

为此，笔者总结了如下的小策略技巧，并编成顺口溜：“设单价、找总价、据数量、列方程。

”其中包含了整个方程的未知量的设法、已知量的找法、等量关系的找法等。

“设单价”就是根据货品的单价关系，如单价的比、单价的和差倍数关系等，设未知数；“找总价”就是找各个单价对应的货品的总花费；“据数量、列方程”，根据公式“数量=总价/单价”，得出各自的数量，由题目中的数量关系列出方程，从而解得该类型题目。

这个方法适用于各种货品的购买营销，如房产、水果蔬菜、学习用品等等。

例3：阳光假日小区有多层和高层两种类型的住宅销售，多层和高层住宅每平方米的价格分别是全楼每平方米平均价格的1.2倍与0.9倍，而且一套多层住宅比一套高层住宅的面积少25 m 2。

如果多层和高层两种住宅的售价分别为72万元与63万元，求全楼每平方米的平均价格。

解析：针对本题，“设单价”设的是每平方米的平均价格为x 元，那么多层住宅每平方米的价格是1.2x 元，高层住宅每平方米的价格是0.9x 元。

“找总价”，总价分别为72万元与63万元，总价除以单价为数量，从而根据数量列出方程：
7200001.2x
 = 6300000.9x - 25
例4：某校为了丰富学生的校园生活，组建了乐器社团，现准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，请列出正确的方程。

解析：“设单价”，A 型的为x 元，则B 型的为（x +20）元，“总价”分别为2700元和4500元，根据数量相等的关系列出方程：
2700x
 = 4500x +20总之，对于初二学生来说，思维能力还不够强，但是课程内容与初一相比，要深得多﹑难得多，学生们在学习方面面临着更大的挑战。

有的学生因此产生了畏难情绪，感觉学习吃力，容易失去学习的兴趣，特别是对待应用题，就更犯难了，而这样的一些小技巧，易理解、易掌握，能让学生体会到做题的乐趣和收获的成就感，从而获得更长久的健康发展。

（作者单位：山东省潍坊市奎文区卧龙学校）。