汽车结构有限元分析03_单元类型及单元分析

平面高阶单元特性分析，可以建立单元应 变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵和节点力向量等 计算公式。
由于被积函数非常复杂，刚度矩阵 [k] 已 不可能写成显式积分，需要用数值积分计算。 通常的方法是在单元内选出某些积分点，算出 被积函数在这些积分点的值，然后用一些加权 系数乘上这些函数值，再求出总和作为近似的 积分值。数值积分将积分问题化为求和问题处 理。数值积分有多种方法，而高斯积分法是数 值积分法中具有较高精度的方法，所以在有限 元法中都采用高斯积分法，
1.2 梁单元---最简单的等截面2节点梁单元，节点位移为 挠度和转角，节点力为剪力和弯矩。
单元每个节点有两个自由度，单元形状函数应是三次多项式：
v(x) ? ? 1 ? ? 2 x ? ? 3 x2 ? ? 4 x3
由单元两端点的条件： ； ，可 x ? 0, v ? vi ,? ? ? i x ? l, v ? v j ,? ? ? j
3.1 四节点四面体单元
四面体单元不象六面体单元只适用 于几何形状规则的单元，它对结构的划分 有良好的适应性。每个节点有三个方向的 位移自由度 u，v和w ，四个节点共有12个位 移分量。 单元位移函数为 ：
?u ? ? 1 ? ? 2 x ? ? 3 y ? ? 4 z ??v ? ? 5 ? ? 6 x ? ? 7 y ? ? 8 z ?? w ? ? 9 ? ? 10 x ? ? 11 y ? ? 12 z
上述在局部坐标系中得出的杆单元或梁 单元刚度矩阵，由于整体结构中各杆梁位 置不同、倾角不同，有限元模型要求一个 单元在整体坐标系中能够任意定位，这就 需要建立两种坐标系下的转换关系。对平 面桁架、空间桁架、平面刚架与空间刚架， 都需要建立这种坐标变换关系。
对平面桁架，根据坐标旋转公式 即可。
整体坐标系与局部坐标系下的单元刚度
?
??[?B]T [D][B]dV
?
[?
?
k
e 21
]
??
[?
?
k
e 201
]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
?
[k
e 202
]
[ ? k1e20 ] ?
[ ?
k
e 220
]
? ?
? ??
[ ?
k
e 2020
? ]?
实体单元可以直接利用三维 CAD所做好的 实体模型，所以非常容易理解。实体单元能够 适用于所有的结构，但其节点数或单元数可能 非常之多。虽然板梁结构都可以采用实体单元 建模，但对于符合板或梁形式的结构还是采用 梁单元或板壳单元为佳，其精度完全满足工程 结构设计要求。采用实体单元分析所花费时间 一般较采用梁单元与板单元为多，另外三维网 格调整是比较困难的，用板梁单元建立的模型， 截面内力容易判断，在初期设计阶段，更易于 评价计算结果。
dx
，
v 为挠度。按照梁的平面弯曲公式：
? ? ? y d 2v ,? ? E? ? ? y d 2v
dx 2
dx 2
单元弯曲应变和应力 ：? ? ?B??? ?e ? ? E? ? E?B????e? ?S??? ?e
单元刚度矩阵为： ??? ??? ?k?? ?B?T ?D?B??dV ? E ?? l ?B?T ?B?dx ??dA
提高解的精度，要从设计新的单元和新的位移模式着手。 线性位移模式单元是实际位移分布的最低级逼近形式，精 度是受到局限的。而对具有曲线边界的问题，采用直线边 界单元，则存在着用折线代替曲线所带来的误差，而这种 误差不能用提高单元位移模式的精度来补偿，因此需要构 造一些曲边高精度单元，以便在给定的精度下用较少数目 的单元去解决实际问题。
3）位移模式中必须能保证单元之间的连续性。
满足条件1）和2）的单元叫做完备单元， 满足条件3）的单元叫做协调单元，同时满足 以上三个条件的单元称为完备协调单元。
对于不同物理性质、不同单元类型的问 题，有限元法求解的基本步骤是相同的， 只是具体公式推导和求解运算不同。仅说 明单元分析。就单元应用而言，要了解单 元属性。
单元属性包括单元材料特性和单元几何 特性。
单元材料特性说明了构成单元的材料力 学特性与物理特性，如弹性模量、泊松比、 密度等。单元几何特性则说明了单元的截 面几何尺寸、单元厚度及空间位置特性等。
大型通用软件都形成了单元库 ，供用户选用， 而且可以添加新的单元类型。
部分结构单元简图概览
本讲内容如下：
矩阵的形式： ?k ?? ?T ???T??T
对于空间等参梁单元主要有 2节点直梁单元， 3节点曲梁单元。空间梁单元的每个节点有六个 自由度，两个节点共由十二个位移分量组成 。空 间梁单元节点力列矩阵也由十二个力的分量组成， 即轴向拉压、扭转以及在 xy、xz两平面内的剪切 和弯曲。空间梁单元采用了平截面假设，既变形 前垂直于梁中性轴的截面，变形后仍保持平面， 但不一定垂直中性轴。这种假设包含了剪切变形 影响，这种梁单元可以处理大变形小应变的几何 非线性问题和材料非线性问题。
需要强调指出的是，由于单元刚度矩阵等都 是在局部坐标中生成的，而单元总装是在整体坐 标中进行的，因此在总装之前，这些矩阵还要经 过一次方向变换，而方向余弦值则由局部坐标与 整体坐标之间的关系决定。
空间梁单元定位
对于空间梁单元，其局部坐标需要通过梁的 两个节点 i、j，再加上梁主惯性平面中的任一参 考点k，才可确定。
解出四个待定系数，将位移模式写成标准形函
数形式，则有：
v(x) ? ?N ??? ?e
按梁单元的受力状态，其节点力向量为：
? ? ? ?F e ? Qi M i Q j M j T
节点位移向量为： ? ? ? ?? e ? vi ? i v j ? j T
式中Ｑ为剪力，Ｍ为弯矩，?
为转角，? ?
d?
形状函数为完全二次多项式
u?? v??7
1 ? ? 2x? ? ? ? 8x ? ? 9
3y ? ? 4 y ? ? 10
x2 x2
? ?
? ?
5 xy 11 xy
? ?
? ?
6 y2 12 y
2
? ? ?
矩形四节点单元：
u( x，y) ? ? 1 ? ? 2 x ? ? 3 y ? ? 4 xy?
?0
?
? 12 6l ? 12 6l ?
?k ?e
?
EI l3
? ?
6l
?? 12
4l 2 ? 6l
? 6l 12
2l
2
? ?
? 6l?
? ?
6l
2l 2
? 6l
4l
2
? ?
目前使用的梁单元除一次梁单 元外，还有二次梁单元、曲梁单 元和锥梁单元等。二次梁单元是 由三个节点确定的抛物线，曲梁 单元是由两个节点决定的、具有 曲率半径的圆弧，而锥梁单元则 是采用两个节点处截面积不等的 线性梁。
实体单元无须输入除材料性质参数以外的 任何单元特性参数。
4 板壳单元
1.薄板矩形单元
薄板弯曲只研究中面的变形，矩形板单元也只研 究其一个矩形平面。每个节点有三个位移分量，即挠 度w及绕x、y轴的转角 ? x 、? y ，取四个角点i、j、m、p
为四个节点，挠度以沿z轴正向为正，转角则按右手法
则标出矢量，沿坐标轴正向为 正。节点i的三个位移
需要输入的 单元特性参数 有材料性质参 数、截面面积 A、截面惯性 矩I，截面极 惯性矩等。
或者直接输入梁 截面尺寸，如 长宽高等，工 程上多采用型 材，可查表获 得。
2.二维单元分析
平面问题的有限元分析中，目前通用程序中主要采用三角形
三节点、三角形六节点、四边形四节点和四边形八节点单元。
三角形六节点单元
l
? ? ?B??? ?e
由应力应变关系 ： ? ? E?B??? ?e ? ?S ??? ?e
单元刚度矩阵可由一般形式推出 ：
?k ?e
?
????B?T ?D?B??dV
?
A??B?T E ?B?dx
?
EA ? 1 l ??? 1
? 1?
1
? ?
杆单元的特征是不能传递力矩，与能够传 递力矩的梁单元的特性不同。用来处理杆构件 的建模问题。需要输入的单元特性参数主要有 材料性质、截面面积 A，极惯性矩 I P 等。
由于采用高斯积分，相应 截面上的应力等量值也是在积 分点上获得的，再由积分点外 推到节点，在查看计算结果输 出时要注意输出点的位置。
3.三维单元分析
利用有限单元法来分析空间问题时， 也像分析平面问题时一样，要将弹性体 进行离散，形成有限元离散体。空间问 题时弹性体的离散可用多种不同单元， 如四节点四面体单元、八节点六面体单 元、20节点六面体单元及各种等参单元。 其中四节点单元是最简单的空间单元， 它是一种常应变单元。
等参单元既能适应复杂结构的曲面边界，又便于构造
高阶单元，20节点六面体等参元就是其中一种。
空间20节点等参元是由边长为2的立方体单元经过坐 标变换得到的。为插值表示出曲面的单元形状，每个边 至少应有3个节点。在单元内建立曲线坐标系，将此曲面 六面体单元变换映射成一个20节点正方体单元。
形函数的构成要分成八个角点的形函 数和各棱边中节点的形函数两种情况表述。 其表达式如下：
v( x，y )
?
?
5
?
?
6x
?
?
7
y
?
?
8
xy
? ?
八节点的曲边等参元 ：
u ? ? 1 ? ? 2? ? ? 3? ? ? 4? 2 ? ? 5?? ? ? 6? 2 ? ? 7? 2? ? ? 8?? 2 v ? ? 9 ? ? 10? ? ? 11? ? ? 12? 2 ? ? 13?? ? ? 14? 2 ? ? 15? 2? ? ? 16?? 2
1.一维单元分析 ； 2.二维单元分析； 3.三维单元分析 ； 4.板壳单元 ； 5.其它各种单元介绍； 6.单元选用；
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。 1.1杆单元---最简单的两节点一维单元，
用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴向
分布载荷为q(x)。单元2个节点的位移向
3.2 八节点六面体单元
几何形状规则的结构三维分析时，可 选用六面体单元，它有八个节点，节点参 数为三个坐标轴方向的位移分量。边长分 别为的平行六面体单元，也称为砖形单元。
每个节点的形状函数为：
1
Ni (? ,? ,? )
?
(1 ? 8
? i? )(1 ? ? i?
)(1 ?
? i?
)
3.3 20节点六面体等参元
分量可表示为：
{? i } ?
? wi ?
???
xi
? ?
???
yi
? ?
?
? ?
wi
? ?
?? ? ?
?w ( ?y )i
这其中设定单元位移模式，利用虚功原理 建立单元节点力与节点位移关系并组建单元刚 度矩阵的过程，我们将其称为单元分析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋小 时能够收敛于精确解，所构造的单元位移函 数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位移 项；
量为：
? ? ?? ?e ? ui u j T
单元位移模式可设为： u ? ? 1 ? ? 2 x
待定常数可由节点位移条件确定 :
? u ? ??ui
?
?
uj
? l
ui
? xi ?? ?
?
uj
? l
ui
x
拉压直杆单元仅有轴向应变 :
? ? du dx
相应： 用应变矩阵可写为 ：
? ? 1 ?? 1 1??? ?e
第三讲 单元类型及单元分析
仅供学习交流之用
平面问题的有限元分析说明了有限元方法 的基本方法和分析步骤，利用有限元方法来分 析诸如空间问题、杆梁结构问题、板壳结构等 问题时，也象分析平面问题一样，要对弹性体 进行离散，形成有限元离散体，构建不同问题 类型的单元模式，或是说建立不同类型的单元 以分别适应空间问题、杆系问题、板壳等不同 类型结构问题，而这也正是有限元理论本身的 核心问题，即构建不同类型的单元。
这样空间梁单元就由 3个节点组成，i, j, k点必须 在一个平面内，但不能共线。 i节点到j节点为单 元坐标系的 x轴，y轴(或z轴)在节点i、j和k构成 的平面上且与 x轴垂直，应用右手定则可以确定 另一坐标z轴(或y轴)。i, j, k 三点确定后，单元坐 标系即确定，梁单元的截面方位也就完全确定下 来。所增加的一个用于定向的参考点 k，也是构 建空间刚架有限元模型的内容，不能忽略。
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{?} ? [B]{? }e ? [[B1 ][B2 ]? [B20 ]]{? }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可以 表示成： [? ] ? [D][? ] ? [D][B]{? }e ? [S ]{? }e
单元刚度矩阵为 ：
[? k1e1 ]
[k ]e