圆系方程 高三数学复习圆系方程及教案 高三数学复习圆系方程及教案

圆系方程
在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。

这里主研究常用的一类圆系方程。

定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：
x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。

首先证明方程①表示圆。

由于直线l与圆C交，故方程组：
；有两组不同的实数解，消去y整理得：
(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；
Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；
整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②
将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.
要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,
即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.
将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：
Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③
而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).
它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。

其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。

设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，
∵点A既在直线L上又在圆C上，
∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,
∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,
即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。

故圆①经过A、B两点。

综上，定理1得证。

定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,
C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,
的交点的圆系方程为：
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）
特别地，当λ＝-1时，即
（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。

证明：两圆的圆心分别为(- ，- ),(- , - ),半径R1= , R2= 。

两圆相交的充要条件是
｜R1 - R2｜＜＜ R1+R2，
平方整理后，此式等价于
-4R1R2<D1D2+E1E2-2F1-2F2<4R1R2.
即｜D1D2+E1E2-2F1-2F2｜
＜o ①
原方程等价于
(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+D2λ)x+(E1+E2λ)y+F1+F2λ=0,
要证它表示圆，即证
(D1+D2λ)2+(E1+E2λ)2-4(1+λ)(F1+F2λ)>0，
此式等价变形为：
(D22+E22-4F2)λ2+2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)λ+(D12+E12-4F1)>0. ②
将②式视为关于λ的一元二次不等式，由于①式成立，故Δ<0，因此②式恒成立，其它与定理1证明类似。

例1 、求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程。

分析：本题可通过解方程组求出两圆交点，或由圆心坐标写出两圆连心线的方程，若利用圆系方程，解法较为简捷。

设所求圆的方程为
x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0，
圆心( ， )在直线x-y-4=0上，
∴ －－4=0，得λ＝- .
故所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.
例2 、已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线L，便L使圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线L的方程，若不存在，说明理由。

分析：设存在直线L:x-y+b=0，设圆系方程：x2+y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0,由圆过原点得λb-4＝0。

①
又∵圆心（，）在直线L上，
∴－+b=0. ②
联立①②可求出λ及b的值。

练习题：
1、求过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，且圆心在y轴上的圆的方程。

2、已知直线x+2y-3=0交圆x2+y2+x-6y+F=0于点P、Q、O为原点，问F为何值时，OP⊥OQ？
参考答案：1、x2+y2+4y-6=0, 2.F=3。