2022-2023学年四川省成都市高一下册学期期末数学试题【含答案】

成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题
考试时间120分钟
满分150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
12i
12i -=+（
）
A.－1
B.i
- C.
43
i 55
- D.
43i 55
+2.化简PA PB AB -+
所得的结果是（
）
A.2AB
B.2BA
C.0
D.PA
3.已知4sin 5α=
，则3πcos 2α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（
）
A.
3
5
B.35
-
C.
45
D.45
-
4.下列化简不正确的是（）
A.1cos82sin 52sin 82cos1282
︒︒+︒︒=-
B.1sin15sin 30sin 758
︒︒︒=
C.223cos 15sin 152
︒-︒=
D.
tan 48tan 723
1tan 48tan 72︒+︒
=-︒︒
5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π
3
B =，则角A 为（）
A.
3π4
B.
π3
C.
π4
D.
π4
或
3π46.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）
A.
1
3
B.
23
C.
15
D.
25
7.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（
）
A.
63
B.
33
C.
22
D.
12
8.已知函数()4
4
cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2π
B.
π
C.
2π D.
4
π二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
9.已知复数ππ
sin
i cos 66
z =+，则（）
A.z 的虚部为3i 2
B.z 在复平面内对应的点在第四象限
C.z z z
+= D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根
10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）
A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥
B.,a a b b αα
⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.
,,b a b a βααββ
⊥⋂=⊥⇒⊥11.下列四个命题为真命题的是（
）
A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c
，则//a c
r r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b
可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D.若向量m 、n
满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7
m n +=
12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）
A.圆锥SO 的侧面积为62π
B.SAC 面积的最大值为
32
C.圆锥SO 的外接球的表面积为9π
D.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742
+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知tan 5α=，则22
4sin 3sin cos 4cos sin cos ααα
ααα
+=-____________.14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=
______.
15.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是
1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.
16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====
，底面ABCD 为平行四边
形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π
3．
（1）求a b -
；
（2）当k 为何值时，
()()
2a b ka b +⊥- ．18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC ⊥，点F 为线段BE 的中点.
（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .
19.已知函数()() sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，
的部分图像如图所示.
（1）求()f x 的解析式及对称中心；
（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的1
2倍，再向右平移
π
12
个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，上的单调减区间.
20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =
．
（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．
21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π
∠=∠=，3cos 5
CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．
（注：km 为千米）
请从①4
BAC π
∠=；②()
33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．
（1）求服务通道AD 的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．
22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；
（2）若12AB AC ⋅< ，求
11
a c
+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅
的最小值.
成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题
考试时间120分钟
满分150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
1.2i
12i -=+（
）
A.－1
B.i
- C.
43
i 55
- D.
43i 55
+B
【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】()()()()2i 12i 2i 5i
i 12i 12i 12i 5
----===-++-，故选：B
2.化简PA PB AB -+
所得的结果是（
）
A.2AB
B.2BA
C.0
D.PA
C
【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.
【详解】0PA PB AB PA AB PB P P B B -++=-=-=
.故选：C 3.已知4sin 5α=
，则3πcos 2α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（
）
A 3
5
B.35
-
C.
45
D.45
-
C
【分析】直接利用诱导公式求解.
【详解】由题得3π4
cos sin 25
αα⎛⎫+== ⎪⎝
⎭.故选：C
4.下列化简不正确的是（）
A.1
cos82sin 52sin 82cos1282
︒︒+︒︒=-
B.1sin15sin 30sin 758
︒︒︒=
C.223cos 15sin 152
︒-︒= D.
tan 48tan 723
1tan 48tan 72︒+︒
=-︒︒
D
【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin82cos128︒︒︒+︒
()
cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin 52si 5s 2n82co -=︒︒︒︒
()sin 528i 02
21
s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.
B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒
()1111
sin15sin 9015sin15cos15sin 302248
=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，223
cos 15sin 15cos302
︒-︒=︒=
，C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan12031tan 48tan 72︒+︒
=︒+︒=︒=--︒︒
，D 选项错误.
故选：D
5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π
3
B =，则角A 为（）
A.3π4
B.
π3
C.
π4
D.
π4或3π4
C
【分析】由正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理sin sin a b
A B
=，得
π
2sin
sin 23sin 23
a B A b
===，
又a b <，所以A B <，所以A 为锐角，所以π
4
A =．故选：C ．
6.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）
A.13
B.
23
C.
15
D.
25
B
【分析】设球的半径为r ，结合组合体的特征，利用圆柱和球的体积公式，求得圆柱和球的体积，即可求解.【详解】由题意，圆柱的木料内放置了一个可视为球体与木料的底面和侧面都相切，
设内切球的半径为r ，可得343V r π=球，23
22V r r r ππ=⋅=圆柱，所以23V V =球圆柱
.故选：B.
7.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（
）
A.6
3
B.
33
C.
22
D.
12
A
【分析】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，分析可知直线A D ''
与EF 所成角为EFG ∠或其补角，计算出FG 、EF 的长，即可求得EFG ∠的余弦值.【详解】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，
因为四边形ABCD 为正方形，则//AB CD 且2AB CD ==，F 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//AF DG 且AF
DG =，
所以，四边形ADGF 为平行四边形，故//FG AD 且2FG AD ==，
因为//A D AD ''，//A D FG ''∴，故直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，
AD ⊥ 平面CDD C ''，EG ⊂平面CDD C ''，则AD EG ⊥，故FG EG ⊥，
因为222EG CE CG =+=，226EF FG EG ∴=+=，
所以，26
cos 36
FG EFG EF ∠=
==
.因此，直线A D ''与EF 所成角的余弦值是6
3
.故选：A.
8.已知函数()4
4
cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（
）A.2π B.
π
C.
2π D.
4
πB
【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得()2cos(2)4
f x x π
=
+，根据三角函数性质求最小正周期.
【详解】由题设，44
()(cos sin )2sin cos cos 2sin 22cos(2)4
f x x x x x x x x π
=--=-=+，
所以最小正周期为22
T π
π=
=.
故选：B
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
9.已知复数ππ
sin
i cos 66
z =+，则（）
A.z 的虚部为3i 2
B.z 在复平面内对应的点在第四象限
C.z z z +=
D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根
BCD
【分析】把复数化成13i 22
z =+，利用复数的意义判断A ；求出z 、||z 判断BC ；利用复数的四则运算计算判断D 作答.
【详解】依题意，复数13
i 22z =
+，复数z 的虚部为
32
，A 错误；13i 22z =
-在复平面内对应的点13
(,)22
-在第四象限，B 正确；2213
||()()122z =+=，1313(i)(i)12222z z +=++-=，则z z z +=，C 正确；2213131313
1(i)(i)1(i)i+1022222222
z z -+=+-++=-+--=，
即z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根，D 正确.故选：BCD
10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）
A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥
B.,a a b b αα
⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.
,,b a b a βααββ
⊥⋂=⊥⇒⊥BCD
【分析】根据空间中的线与平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.【详解】A ：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A 正确；B ：由a α⊥，a b ⊥r r
可得b α∥或者b α⊂，故B 错误；
C ：由a α⊂，b β⊂，αβ∥可得a 与b 异面或//a b ，故C 错误；
D ：由βα⊥，b αβ= ，a b ⊥r r
，当a α⊄时，不能得到a β⊥，
只有当a α⊂时，才可以得到a β⊥，故D 错误.故选：BCD
11.下列四个命题为真命题的是（
）
A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c
，则//a c
r r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b
可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫
⎪
⎝⎭
D.若向量m 、n
满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7
m n += BC
【分析】取0b =
，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；
利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c
不一定共线，A 错；
对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b
不共线，
所以，a 、b
可作为平面向量的一组基底，B 对；
对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b =
，
所以，a 在b
上的投影向量为()2220
cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b
⋅⋅⋅=⋅⋅=
⋅=⋅
1612,55⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，C 对；
对于D 选项，因为向量m 、n
满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则(
)
2
222492319m n m n
m n m n +=
+=++⋅=++⨯=
，D 错.
故选：BC.
12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）
A.圆锥SO 的侧面积为62π
B.SAC 面积的最大值为
32
C.圆锥SO 的外接球的表面积为9π
D.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+BCD
【分析】对A ：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B ：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C ：根据题意可得圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，结合余弦定理分析运算.
【详解】对A ：由题意可知：222,1,3OA OB SO SA SB SC SO OB ======+=，
故圆锥SO 的侧面积为π236π⨯⨯=，A 错误；
对B ：SAC 面积113
sin 33sin sin 222
SAC S SA SC ASC ASC ASC =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠=∠ ，在SAB △中，2223381
cos 023233
SA SB AB ASB SA SB +-+-∠=
==-<⋅⨯⨯，故ASB ∠为钝角，由题意可得：0ASC ASB <∠<∠，故当π2ASC ∠=
时，SAC 面积的最大值为33
sin 22
ASC ∠=，B 正确；对C ：由选项B 可得：1cos 3ASB ∠=-
，SAB ∠为钝角，可得222
sin 1cos 3
SAB SAB ∠=-∠=，由题意可得：圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，设其半径为R ，
则
22
23
sin 22
3
AB R ASB =
==∠，即32
R =；故圆锥SO 的外接球的表面积为2
34π9π2⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
，C 正确；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，如图所示，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，此时π2,2
AC BC ACB ==∠=
，在SAC ，2224333
cos 023223
AC SC AS ACS AC SC +-+-∠===>⋅⨯⨯，则ACS ∠为锐角，
则26
sin 1cos 3
ACS ACS ∠=-∠=
，在SBC △，则()π6
cos cos cos sin 23
SCB SCA ACB SCA ACS ⎛⎫∠=∠+∠=∠+
=-∠=- ⎪
⎝
⎭，由余弦定理可得222
62cos 342327423SB SC BC SC BC SCB ⎛⎫
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝
⎭
，则742SB =
+，故SE BE +的最小值为742+，D 正确.
故选：
BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知tan 5α=，则22
4sin 3sin cos 4cos sin cos ααα
ααα+=-____________.115
-【分析】将分式的分子和分母同时除以2cos α，化简求值即可．
【详解】tan 5α =，
2224sin 3sin cos 4tan 3tan 425351154cos sin cos 4tan 45
ααααααααα++⨯+⨯∴===----故115
-14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，
AD 的中点，则BM BN ⋅=
______.
3
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示可得.【详解】如图，分别以BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，
由题意，(0,0),(0,2),(1,2),(3,0)B A D C ，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，
所以1(2,1),(,2)2M N ，所以1(2,1),(,2)2BM BN == ，所以1
21232
BM BN ⋅=⨯+⨯= ，
故3
15.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角
60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.
1002
【分析】先求得,AM AN ，再利用余弦定理求得MN .【详解】10031003
sin 60,200sin 60AM AM ︒=
==︒
，502502sin 30,1002sin 30AN AN ︒=
==︒
，在三角形AMN 中，由余弦定理得()
()2
2
2001002
2200100
2cos 45MN =+-⨯⨯⨯︒1002=米.
故1002
16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====
，底面ABCD 为平行四边
形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.
π
2
【分析】根据已知，结合图形，利用弧长公式、勾股定理、线面垂直计算求解.
【详解】如图，连接11D B ，直四棱柱1111ABCD A B C D -，2,1,60AB AD BAD ∠=== ，
所以11111112,1,60C D B C B C D ∠===
，在111B C D △中，由余弦定理有：
22211111111112cos 60D B C D C B C D C B =+-⋅ ，代入数据，解得113D B =，
所以222
111111D B C B C D +=，即1111D B C B ⊥，又111BB D B ⊥，1111BB C B B = ，
所以11D B ⊥平面11BCC B ，
在平面11BCC B 上，以点1B 为圆心，作半径为1的圆，交棱11,BB CC 于点1,M C ，
得到弧 1MC ，在 1MC 上任取一点与11,B D 都构成直角三角形，根据勾股定理可知弧 1
MC 上任取一点到点1D 的长度为2，所以以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为弧 1
MC 的长，因为11π2BB C ∠=
，所以根据弧长公式有：弧 1
MC 的长度为ππ122
⨯=.故答案为
π2
四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π
3．
（1）求a b -
；
（2）当k 为何值时，
()()
2a b ka b +⊥- ．（1）47
a b -=
（2）7
k =-
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -
的值；
（2）由已知可得出()()
20a b ka b +⋅-=
，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数k 的值.
【小问1详解】
解：因为4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3
，
则2π1cos 481632a b a b ⎛⎫
⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，所以，(
)
()2
22
2224216847a b a b
a a
b b -=
-=-⋅+=-⨯-+=
.
【小问2详解】
解：因为()()
2a b ka b +⊥-
，则()()
()222212a b ka b ka k a b b
+⋅-=+-⋅- ()161621264161120k k k =---⨯=--=，解得7k =-.
18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC
⊥，点F 为线段BE 的中点.
（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；
（2）连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，由中位线定理可得//FO DE ，再由线面平行的判定定理可得答案.【小问1详解】
因为AB ⊥平面BCE ，EC ⊂平面BCE ，所以AB EC ⊥，因为BE EC ⊥，AB BE B = ，、⊂AB BE 平面ABE ，所以CE ⊥平面ABE ；
连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，所以O 点为BD 中点，
因为点F 为线段BE 的中点，所以//FO DE ，因为FO ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，所以//DE 平面ACF .
19.已知函数()()
sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.
（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的
1
2
倍，再向右平移
π
12
个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，上的单调减区间.
（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭，对称中心为ππ023k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，Z k ∈（2）π3π24
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
，【分析】(1)由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.
(2)由题意利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图像变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论.
根据函数()()
sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像，可得2A =，
32π5π4123
πω⋅=+，2ω∴=．再根据五点法作图，5ππ2122ϕ⨯
+=，π3ϕ∴=-，
故有()π2sin 23f x x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
．根据图像可得，0π3
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
是()f x 的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，，Z k ∈.【小问2详解】
先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的
12
，可得πsin 23y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像，
再向右平移
12π
个单位，得到sin 2sin 2cos 212π32ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的图像，即()cos 2g x x =-，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，解得π
ππ2
k x k -
≤≤，Z k ∈，可得()g x 的减区间为πππ2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦，，Z k ∈，结合π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，可得()g x 在4π312π⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，上的单调递减区间为π3π24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =
．
（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；
（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．（1）证明见解析（2）2
【分析】（1）取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ，利用勾股定理证明1AO AO ⊥，易得1
AO ⊥平面111A B C ，再根据面面垂直判定定理即可证明；
（2）由（1）可证明AO 为三棱柱的高，利用同底等高的椎体与柱体的关系，通过割补法即可求解.【小问1详解】
取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ．
∵111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，
∴11AO B C ⊥，111AO B C ⊥，1
3AO AO ==．∴1AOA ∠为二面角111A B C A --的平面角．∵16AA =
，∴22211A O AO A A +=，∴1
AO AO ⊥．因为1AO AO ⊥，111AO B C ⊥，11O AO B C ⋂=，11,AO B C ⊂平面11AB C 所以1
AO ⊥平面111A B C ，又1A O ⊂平面111A B C ，∴平面11AB C ⊥平面111A B C ．
【小问2详解】
11111111111
2A BB C C ABC A B C A A B C A A B C V V V V ----=-=由（1）知，1
AO AO ⊥，11AO B C ⊥．∵111AO B C O ⋂=，11B C ⊂平面111A B C ，1A O ⊂平面111A B C ，
∴AO ⊥平面111A B C ．
∴AO 为三棱锥111A A B C -的高．
∴111111113431334
A A
B
C A B C V S AO -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ．∴四棱锥11A BB C C -的体积为2．
21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5
CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．
（注：km 为千米）
请从①4BAC π∠=
；②()
33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．
注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．
（1）52km
（2）106km 3
【分析】（1）选择条件①由正弦定理得32AC =，选择条件②由余弦定理得32AC =，再结合余弦定理可得AD 的长；
（2）根据余弦定理结合均值不等式即可求角线段和最大值．
【小问1详解】
解：若选择条件①，
在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即232sin sin 34
=AC ππ，解得32AC =；
若选择条件②，
在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC
=+-⋅⋅∠即()()()()2222332323323cos 183
=-+-⨯-⨯⋅=AC π解得32AC =；
在△ACD 中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅⋅∠，即()()2223
42322325
=+-⨯⨯AD AD 解得52AD =或725
=-
AD （舍去）∴服务通道AD 的长为52km ．【小问2详解】在△ADE 中，由余弦定理得：2222cos =+-⋅⋅∠AD AE ED AE DE AED ，∴()22252AE ED AE DE =++⋅，即()2
50AE ED AE ED =+-⋅，∵22AE ED AE ED +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭
，∴()23504+≤AE ED ，∴1063+≤AE ED （当且仅当563
AE ED ==时取等号）∴折线赛道AED 的最大值为
106km 3．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；
（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c
+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅
的最小值.
（1）2
B π=；（2）()
22,+∞；（3）2324
-.【分析】（1）由题目条件可证得222sin sin sin A C B +=,可得ABC 为直角三角形，可求出2
B π=.（2）由数量积的定义可求得2102c <<，设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则11sin cos sin cos a c θθθθ++=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则()
21122,1,211t t a c t t t +==∈--，判断出21y t t =-的单调性，即可得出答案.
（3）用PO 分别表示出PM PN ⋅ ，结合均值不等式即可求出答案.
【小问1详解】
因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-，
所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，所以2
B π=.【小问2详解】
221cos 2
AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< ，所以2102
c <<，而221a c +=，所以设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛
⎫==∈ ⎪⎝⎭
，所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ
++=+=，
令()
sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，又因为()2
2sin cos 12sin cos ,t θθθθ=+=+所以21sin cos 2t θθ-=，所以()
2112,1,21t t a c t +=∈-，令()222,1,211t y t t t t ==∈--，因为1t t -在()
1,2t ∈上单调递增，所以21y t t =-在()1,2t ∈上单调递减，所以222122y >=-.所以11a c +的取值范围为()
22,+∞【小问3详解】
ABC 的外接圆的半径为r ，12
r OA OC ===，设(),P m n ，则2222214PN PM PO ON PO ==-=-，其中214
PO >，所以()
2cos ,2cos 1PM PN PM PN PM PN PM PN NPO ⋅=⋅⋅=⋅⋅∠- ，而22
22214cos PO PN NPO PO PO -∠==，
222114214PO PM PN PO PO ⎛⎫- ⎪⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
2213238424PO PO +-≥-=，当且仅当3
42PO -=取等.
所以PM PN ⋅ 的最小值为2324
-.关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.。