高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质练习 理 北师大版-北师大

第4讲 三角函数的图象与性质
[基础题组练]
1．函数y ＝|cos x |的一个增区间是( ) A ．[－π2，π
2]
B ．[0，π]
C ．[π，3π
2
]
D ．[3π
2
，2π]
解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.
2．设函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )
A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上是减少的
解析：选D.函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，
如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上先减后增，D 选项错误．
3．(2020·某某某某第十三中学质检(四))同时满足f (x ＋π)＝f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫π
4－x 的函数f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝cos 2x
B ．f (x )＝tan x
C ．f (x )＝sin x
D ．f (x )＝sin 2x
解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x ＝π
4
对称．
A ．f (x )＝cos 2x 的周期为π，而f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝0不是函数的最值． 所以其图象不关于x ＝π
4
对称．
B ．f (x )＝tan x 的周期为π，但图象不关于x ＝π
4对称．
C ．f (x )＝sin x 的周期为2π，不合题意．
D ．f (x )＝sin 2x 的周期为π，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝1为函数最大值， 所以D 满足条件，故选D.
4．(2020·某某六市联考)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称中心完全相同，则φ为( )
A.π
6 B ．－π6
C.
π3
D ．－π3
解析：选 D.因为函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝
⎛⎭
⎪⎫
|φ|<π2
的图象的对称中心完全相同，
所以ω＝2，φ＝π6－π
2＋2k π(k ∈Z )，
即φ＝－π
3＋2k π(k ∈Z )，
因为|φ|<π2，所以φ＝－π
3
，选D.
5．(2020·某某中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π
3
时取最小值，则φ的值可能为( )
A.π12 B ．π3
C.
13π
6
D ．7π6
解析：选C.T ＝2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，故ω＝2，又2×π6＋φ＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
所以φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，所以φ的值可能为13π
6
.故答案为C.
6．函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的减区间为________．
解析：由已知可得函数为f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数f (x )的减区间，只需求y ＝
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )．
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12(k ∈Z )．
故所求函数f (x )的减区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )
7．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π
6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为
常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．
解析：由函数f (x )＝2sin(ωx －π
6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ
－π6＝k π＋π
2
，k ∈Z ， 所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5
.
答案：6π5
8．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．
解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，
所以π3ω＋π
3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值
为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π
2
.
答案：π2
9．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2
＋2cos 2
x －2. (1)求f (x )的增区间；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．
解：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4
.
(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
则k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
故f (x )的增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .
(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4，
所以3π4≤2x ＋π4≤7π
4，
所以－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，
所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4时，函数f (x )的最大值为1，
最小值为－ 2.
10．已知函数f (x )＝4sin(x －π
3)cos x ＋ 3.
(1)求函数f (x )的最小正周期和增区间；
(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π
2]上有两个不同的零点x 1，x 2，某某数m 的取值X 围，
并计算tan(x 1＋x 2)的值．
解：(1)f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋3＝4(12sin x －3
2cos x )cos x ＋3＝2sin x cos x
－23cos 2
x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3
)．
所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12(k ∈Z )．
所以函数f (x )的增区间为[k π－π12，k π＋5π
12
](k ∈Z )．
(2)函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π
2]上有两个不同的零点x 1，x 2，即函数y ＝f (x )与y ＝m
在[0，π2]上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y ＝f (x )＝2sin(2x －π3)
在[0，π
2
]上的图象，如图所示，
由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋
x 2＝2×
5π12＝5π6
， 故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33
.
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；
②f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π递增；
③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④
D ．①③
解析：选C.通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2，π是减少的，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时
取到，
所以f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C. 优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2，π是减少的，故②不正确，排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]
有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点
③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10递增
④ω的取值X 围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③
D ．①③④
解析：选D.如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈(0，π10)时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在(0，π10
)是增加的，所以③正确．
3．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6
，
π
2
)上是减少的，则ω＝________. 解析：因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π
3)，
由π2＋2k π≤ωx ＋π3≤3π
2＋2k π，k ∈Z ， 得
π6ω＋2k πω≤x ≤7π6ω＋2k πω，因为f (x )在区间(π6，π2)上递减，所以(π6，π2)⊆[π6ω
＋2k πω，7π6ω＋2k π
ω]，从而有⎩
⎪⎨⎪⎧π6≥π6ω＋2k π
ωπ2≤7π6ω＋2k π
ω
， 解得12k ＋1≤ω≤7＋12k
3，k ∈Z ，
所以1≤ω≤73，因为f (π6)＋f (π
2
)＝0，
所以x ＝π6＋
π22＝π3为f (x )＝2sin(ωx ＋π
3)的一个对称中心的横坐标，
所以π3ω＋π
3＝k π(k ∈Z )，ω＝3k －1，k ∈Z ，
又1≤ω≤7
3，所以ω＝2.
答案：2
4．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x 2
＋(y －1)2
＝m 2
至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
m x ＋5π12－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πm x ＋π3(m >0)的一个最大值点和一个最小值点，则m 的取值X
围是________．
解析：化简f (x )＝2sin 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫πm x ＋5π12－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πm
x ＋π3得f (x )＝2sin 2πx m ＋1，所以，函数f (x )的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，3，最小值点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m
4，－1，
所以只需⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42
＋（3－1）2
≤m 2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 42
＋（－1－1）2
≤m 2
，解得m ≥815
15.
答案：⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
81515，＋∞ 5．已知函数f (x )＝2sin 2
⎝
⎛⎭
⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 值；
(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，某某数m 的取值X 围．
解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12sin 2x －32cos 2x
＝2sin(2x －π
3)．
故f (x )的最小正周期为T ＝
2π
2
＝π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，
得t ＝
k π2
＋π
3
(k ∈Z )，
又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π
6
.
(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，
所以f (x )∈[1，2]． 又|f (x )－m |<3， 即f (x )－3<m <f (x )＋3， 所以2－3<m <1＋3， 即－1<m <4.
故实数m 的取值X 围是()－1，4.
6．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π
2]时，－5≤f (x )≤1.
(1)求常数a ，b 的值；
(2)设g (x )＝f (x ＋π
2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．
解：(1)因为x ∈[0，π
2]，
所以2x ＋π6∈[π6，7π
6]，
所以sin(2x ＋π6)∈[－1
2，1]，
所以－2a sin(2x ＋π
6
)∈[－2a ，a ]，
所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π
6
)－1，
g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋
7π
6
)－1 ＝4sin(2x ＋π
6)－1，
又由lg g (x )>0，得g (x )>1， 所以4sin(2x ＋π
6)－1>1，
所以sin(2x ＋π6)>1
2
，
所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π
6，k ∈Z ，
其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π
2
，k ∈Z 时，
g (x )是增加的，即k π<x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
所以g (x )的增区间为(k π，k π＋π
6]，k ∈Z .
又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π
6
，k ∈Z 时，
g (x )是减少的，即k π＋π6<x <k π＋π3
，k ∈Z .
所以g (x )的减区间为(k π＋
π6，k π＋π
3
)，k ∈Z . 所以g (x )的增区间为(k π，k π＋π
6]，k ∈Z ，
减区间为(k π＋π6，k π＋π
3)，k ∈Z .。