考研数学三(微积分)模拟试卷171(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷171(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设级数an发散(an＞0)，令Sn＝a1＋a2＋…＋an，则( )．
A．发散
B．收敛于
C．收敛于0
D．敛散性不确定
正确答案：B
解析：因为正项级数＝＋∞，令S’n＝，因为，所以选(B)．知识模块：微积分
2．设f(x，y)＝sin，则f(x，y)在(0，0)处( )．
A．对x可偏导，对y不可偏导
B．对x不可偏导，对y可偏导
C．对x可偏导，对y也可偏导
D．对x不可偏导，对y也不可偏导
正确答案：B
解析：因为不存在，所以f(x,y)在(0,0)处对x不可偏导；因为，所以f’y(0,0)＝0，即f(x,y)在(0，0)处对y可偏导，选(B)．知识模块：微积分
3．设f(x)二阶连续可导，f’(0)＝0，且＝－1，则( )．
A．x＝0为f(x)的极大点
B．x＝0为f(x)的极小点
C．(0，f(0))为y＝f(x)的拐点
D．x＝0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y＝f(x)的拐点．
正确答案：A
解析：因为＝－1＜0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，注意到x3＝ο(x)，所以当0＜｜x｜＜δ时，f’’(x)＜0，从而f’(x)在(－δ,δ)内单调递减，再由f’(0)＝0得故x＝0为f(x)的极大点，选(A)．知识模块：微积分
4．当x→0时，下列无穷小中，哪个是比其他三个更高阶的无穷小( )．A．x2
B．1－cosx
C．－1
D．x－tanx
正确答案：D
解析：1－cosx～，所以x－tanx是比其他三个无穷小阶数更高的无穷小，选(D)．知识模块：微积分
填空题
5．＝______．
正确答案：
解析：知识模块：微积分
6．设f(x)为奇函数，且f’(1)＝2，则f(x3)｜x＝－1＝______．
正确答案：6
解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，由f(x3)＝3x2f’(x3)得＝3f’(－1)＝3f’(1)＝6．知识模块：微积分
7．设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分∫1＋∞f(x)dx收敛，且满足f(x)＝∫1＋∞f(x)dx，则f(x)＝______．
正确答案：
解析：知识模块：微积分
8．设z＝xy＋xf，其中f可导，则＝______．
正确答案：z＋xy
解析：知识模块：微积分
9．设y＝y(x)可导，y(0)＝2，令△y＝y(x－△x)－y(x)，且△y＝△x＋α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)＝______ ．
正确答案：
解析：，再由y(0)＝2，得C＝2，所以y＝．知识模块：微积分
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10．求．
正确答案：涉及知识点：微积分
11．．
正确答案：涉及知识点：微积分
12．确定常数a，c的值，使得＝c，其中c为非零常数．
正确答案：由洛必达法则，涉及知识点：微积分
13．设y＝，求y’．
正确答案：涉及知识点：微积分
14．求常数a，b使得
正确答案：因为f(x)在x＝0处可导，所以f(x)在x＝0处连续，从而有f(0＋0)＝2a＝f(0)＝f(0－0)＝3b，由f(x)在x＝0处可导，则3＋2a＝10＋6b，解得．涉及知识点：微积分
15．证明方程lnx＝在(0，＋∞)内有且仅有两个根．
正确答案：∫0π，令f(x)＝lnx－＝0，得x＝e，因为f’’(e)＝，所以f(e)＝＞0为f(x)的最大值，又因为f(x)＝－∞，＝－∞，所以f(x)＝0在(0，＋∞)内有且仅有两个实根．涉及知识点：微积分
16．求．
正确答案：涉及知识点：微积分
17．．
正确答案：涉及知识点：微积分
18．(1)设f(t)＝∫1tex2dx，求∫01t2f(t)dt．(2)设f(x)＝∫0πecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．
正确答案：因为f(1)＝0，所以(2)∫0πf(x)cosxdx＝∫0πf(x)d(sinx)＝f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx＝－∫0πf’(x)sinxdx＝－∫0πecosxsinxdx＝∫0πecosxd(cosx)＝ecosx｜0π＝e－1－e 涉及知识点：微积分19．设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．
正确答案：令φ(x)＝x2f(x)，由积分中值定理得f(1)＝x2f(x)dx＝c2f(c)．其中c∈[0,]，即φ(c)＝φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)＝0．而φ’(x)＝2xf(x)＋x2f’(x)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f’(ξ)＝0．注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．涉及知识点：微积分
20．设u＝f(x＋y，x2＋y2)，其中f二阶连续可偏导，求．
正确答案：＝f’1＝f’1＋2xf’2，＝f’1＋2yf’2，＝f’’11＋2xf’’12＋2f’2＋2x(f’’21＋2xf’’22)＝f’’11＋4xf’’12＋4x2f’’12＋2f’2，＝f’’11＋2yf’’12＋2f’2＋2y(f’’21＋2yf’’22)＝f’’11＋4yf’’12＋4y2f’’12＋2f’2，则＝2f’’11＋4(x＋y)f’’12＋4(x2＋y2)f’’22＋4f’2．涉及知识点：微积分
21．设z＝f(x，y)由f(x＋y，x－y)＝x2－y2－xy确定，求dz．
正确答案：涉及知识点：微积分
22．求dxdy，其中D：x2＋y2≤π2．
正确答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤π)，则dxdy＝∫02πdθ∫0πrcosrdr＝2π∫0πrd(sinr)＝2πrsinr｜0π－2π∫0πsinrdr＝－4π．涉及知识点：微积分
23．若正项级数an与正项级数bn都收敛，证明下列级数收敛：
正确答案：涉及知识点：微积分
24．求微分方程xy’’＋2y’＝ex的通解．
正确答案：令y’＝p，则原方程化为，涉及知识点：微积分
25．设f(x)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．
正确答案：根据题意得，则有∫0xf(t)dt＝ax，两边求导得f(x)＝,即f’(x)＋，解得f(x)＝(C≥0)．涉及知识点：微积分。