2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷及答案

2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在有理数2，0，﹣1，−1
2
中，最小的是（）
A．2B．0C．﹣1D．−1
2
2．2019年6月9日中央电视台新闻报道，端午节期间天猫网共计销售粽子123000000个，将数据123000000用科学记数法表示为（）
A．12.3×107B．1.23×108C．1.23×109D．0.123×109
3．如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．3a2•2a3＝6a6C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+a D．a2+a3＝a5 5．如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（）
A．24m B．32m C．40m D．48m
6．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
7．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）
A．x＞3
2B．x＜3
2
C．x＞3D．x＜3
8．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，
连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③BC
CG =√2−1；④S△HOM
S△HOG
=2−√2，其
中正确的结论是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．函数y=√x+4中，自变量x的取值范围是．
10．一个不透明的口袋中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．进行大量的摸球试验（每
次摸出1个球）后，发现摸到黑球的频率在0.6附近摆动，据此可以估计黑球为个．
11．关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为．
12．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的周
长为．
13．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则BC
̂的长为．
14．为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单
价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数
相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为．
15．如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，
正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形A n B n∁n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，…，
A n+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3
于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面
积为S3……四边形A n
﹣1
B n﹣1
C n﹣1
D n的面积为S n，则S2019＝．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM=1
3
AD，BN=1
3
BC，
E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落
在直线MN上时，CE的长为．
三、解答题（本大题共2小题，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（x+3
x2−3x
−x−1
x2−6x+9
）÷x−9
x
，其中x＝3+√3．
18．（8分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．
四、解答题（本大题共2小题，共20分）
19．（10分）随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式．某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
组别家庭年旅游消费金额x/元户数
A0≤x≤500036
B5000＜x≤1000027
C10000＜x≤15000m
D15000＜x≤2000033
E x＞2000030
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的家庭有户，表中m＝．
（2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．
（3）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是多少度？
（4）若该社区有3000户家庭，请你估计年旅游消费在10000元以上的家庭户数．20．（10分）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快．是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形．我就先读，否则你先读．小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由．（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左至右分别用D，E，F表示）
五、解答题（本大题共2小題，共20分）
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=k
x
（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
22．（10分）如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
六、解答题（本大题共2小题，共20分）
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB 于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．24．（10分）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作Rt △BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF．
（1）若AC＝BC，BD＝DE．
①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为．
②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，CD
AC =4
5
，且E，C，F三点共线，求AF
CE
的值．
八、解答题（本大题共1小题，共14分）
26．（14分）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），
与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S
△
AQD
＝2S△APQ时，求点P的坐标．
（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作
射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请
直接写出线段BH的最小值．
2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷答案1．C．2．B．3．C．4．A．5．D．6．D．7．B．8．A．
9．x≥﹣4．10．15．11．13
4
．12．4√13．13．2π．14．
600
x
=
450
x−10
．15．
2
3
×42018．16．
5
2
或10．
17．解：原式＝[x+3
x(x−3)−
x−1
(x−3)2
]•
x
x−9
=
(x−3)(x+3)−x(x−1)
x(x−3)2
•
x
x−9
=
x−9
x(x−3)2
•
x
x−9
=
1
(x−3)2
，
当x＝3+√3时，原式=1 3．
18．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
∵C（3，2），C2（﹣3，﹣2），△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，
∴直线l垂直平分直线CC2，
∴直线l的函数解析式为y＝﹣x．
19．解：（1）本次被调查的家庭有：36÷24%＝150（户），m＝150﹣36﹣27﹣33﹣30＝24，故答案为：150，24；
（2）本次调查数据的中位数落在C组，
理由：∵本次抽查了150户，36+27＝63，36+27+24＝87，
∴本次调查数据的中位数落在C组；
（3）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是：360°×33
150
=79.2°；
（4）3000×24+33+30
150
=1740（户），
答：年旅游消费在10000元以上的家庭有1740户．20．解：不公平，理由如下：
根据题意，画树状图如图：
由树状图可知，共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种，分别为（A、D）、（A、F）、（B、E）、（C、D）、（C、F）．
∴P（小红先涂）=
5
9．
P（弟弟先涂）=
4
9．
∵
5
9
＞
4
9
．
∴小红设计的游戏对弟弟不公平．
21．解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y=
k
x（k≠0）的图象经过点B，
则﹣2=
k
−2，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=
4
x，
∵点A的纵坐标是4，
∴4=
4
x，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴{
m+n=4
−2m+n=−2，解得{
m=2
n=2，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），
∴OC＝MB＝2，
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．
22．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形．
又∵∠CFE＝90°，
∴▱CDEF为矩形，
∴CF＝DE．
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．
设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB=DE AE，
∴AE=
x
tan45°
=x（nmile）．
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE=DE BE，
∴BE=
x
tan60°
=√33x（nmile）．
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x−√3
3x＝6，解得：x＝9+3√3，
∴CF＝DE＝（9+3√3）nmile．
在Rt△CBF中，sin∠CBF=CF BC，
∴BC=
CF
sin45°
=9+3√3
√2
2
=3√2+3√6≈20（nmile）．
答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．
23．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴AC=√AB2−BC2=√82−42=4√3，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=
1
2
AC=2√3，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴DE=
1
2
AD=12×2√3=√3，
在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√42+(2√3)2=2√7，
在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(2√7)2−(√3)2=5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴
DF
BD
=
DE
BE
，即
2√7
=
√3
5
，
∴DF=
2√21
5．
24．解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（40，140），（60，120）代入得{
40k+b=
140
60k+b=120，，
解得：{k =−1
b =180
，
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；
当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ， 将（90，30），（60，120）代入得{90m +n =30
60m +n =120
，
解得：{m =−3，n =300， ∴y ＝﹣3x +300；
综上所述，y ={−x +180(40≤x ≤60)
−3x +300(60＜x ≤90)
；
（2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000， 综上所述，W ={−x 2+210x −5400(40≤x ≤60)−3x 2+390x −9000(60＜x ≤90)；
（3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400， ∵﹣1＜0，对称轴x =−
210
−2
=105， ∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，
∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000， ∵﹣3＜0，对称轴x =−390
−6=65， ∵60＜x ≤90，
∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，
∴当x ＝65时，W 最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 25．解：（1）①如图1中，连接CF ．设AC 交BF 于G ．
∵四边形AFED 是平行四边形， ∴AF ＝DE ，DE ∥AF ， ∵BD ＝DE ， ∴AF ＝BD ， ∵∠BDE ＝90°，
∴∠EDF ＝∠DF A ＝90°＝∠BCG ， ∵∠CGB ＝∠AGF ， ∴∠CBD ＝∠CAF ， ∵BC ＝AC ，
∴△BCD ≌△ACF （SAS ）， ∴∠BCD ＝∠ACF ，CD ＝CF ， ∴∠BCA ＝∠DCF ＝90°， ∴△CDF 是等腰直角三角形， ∴DF =√2CD ． 故答案为DF =√2CD ． ②结论仍然成立．
理由：如图2中，连接CF ．延长BD 交AF 的延长线于H ，设AC 交BH 于G ．
∵四边形AFED 是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵BD＝DE，
∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF=√2CD．
（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．
∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵BD
DE
=
BC
AC
=2，
∴BD
AF
=
BC
AC
，
∴△CBD∽△CAF，
∴
CD
CF
=
BC
AC
=2，∠BCD＝∠ACF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∵AD∥EF，
∴∠ADC+∠DCF＝180°，
∴∠ADC＝90°，
∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，∴CF=
1
2CD＝2k，
∴EC＝EF﹣CF＝k，
∴DE＝AF=√CD2+EC2=√(4k)2+k2=√17k，
∴
AF
CE
=
√17k
k
=√17．
26．解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，得：{
9a+3b+4=4
a−b+1=0，
解得{
a=−1
b=3，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，
∵A（3，4），AD⊥x轴，
∴D（3，0），
∵B（﹣1，0），
∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，∴
PQ
DQ
=
1
2
，
∵PE∥x轴，
∴△PQE∽△DQB，
∴PE
DB
=
PQ
DQ
=
1
2
，
∴PE
4
=
1
2
，
∴PE＝2，
∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，
设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），
将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x+2）2+3（x+2）+4＝x+1，解得x1＝3+√2，x2＝3−√2，
当x＝3+√2时，x﹣2＝3+√2−2＝1+√2，x+1＝3+√2+1＝4+√2，∴点P（1+√2，4+√2）；
当x＝3−√2时，x﹣2＝3−√2−2＝1−√2，x+1＝3−√2+1＝4−√2，∴P（1−√2，4−√2），
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，
∴﹣1＜x﹣2＜3，
∴点P的坐标为（1+√2，4+√2）或（1−√2，4−√2）；
（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
∴C（0，4），
∵A（3，4），
∴AC∥x轴，
∴∠OCA＝90°，
∴GH⊥MN，
∴∠GHM＝90°，
在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，
∴点C、G、H、M共圆，
如图2，连接CH，
则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，
∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，∵∠GCH＝60°，
∴∠HCM＝30°，
又BH⊥CH，
∴∠BHC＝90°，
∴∠BHP＝∠HCM＝30°，
设OP＝a，则CQ＝a，
∴QH=
√3
3a，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴BP＝1+a，
在Rt△BPH中，HP=
BP
tan30°
=√3（a+1），BH=BP
sin30°
=2（1+a），
∵QH+HP＝AD＝4，
∴
√3
3
a+√3（a+1）＝4，
解得a=
4√3−3
4，
∴BH最小＝2（1+a）=
4√3+1
2．。